По плану на 1998 г. завод должен был выпустить продукции на 150 млн. руб. при средней численности работающих 1950 человек. Фактически выпущено продукции на 113 млн. руб. при средней численности работающих 1898 человек.

Определить выполнение плана заводом по:

1) выпуску продукции;

2) численности работающих;

3) производительности труда (выработка продукции на одного работающего).

Решение:

Для решения используем формулу:

Фактический уровень

Показатель выполнения плана, (%) = -------------------------------- ∙ 100

Плановый уровень

1) выполнение плана по выпуску продукции

113

---------- ∙ 100 = 75%

150

2) выполнение плана по численности работающих

1898

---------- ∙ 100 = 97%

1950

3) выполнение плана по производительности труда

113 : 1898 0,06

------------------ = --------- = 85%

150 : 1850 0,07

Задача 5.11.

Высшими учебными заведениями области выпущено специалистов (тыс. чел.):

В 1993 г. – 38,9; в 1994 г. – 38,0; в 1995 г. – 39,1; в 1996 г. – 41,1; в 1997 г. – 42,8.

Из числа окончивших высшие учебные заведения на дневных отделениях обучалось (тыс. чел.):

В 1993 г. – 16,7; в 1994 г. – 16,0; в 1995 г. – 16,4; в 1996 г. – 17,2; в 1997 г. – 18,0.

Вечернее отделение вузов окончили (тыс. чел.):

В 1993 г. – 5,7; в 1994 г. – 5,2; в 1995 г. – 5,7; в 1996 г. – 6,0; в 1997 г. – 6,2.

Число окончивших заочно, соответственно, по годам составило (тыс. чел.): 16,5; 16,8; 17,0; 17,9; 18,6.

Представить эти данные в табличной форме.

Решение:

В левой части таблицы расположим перечень специалистов по форме получения образования (дневная, вечерняя или заочная), а в правой года.

Таблица 2

Перечень специалистов высших учебных заведений по форме получения образования (тыс. чел.)

Форма получения образования	Годы
1993	1994	1995	1996	1997
Всего:	38,9	38,0	39,1	41,1	42,8
Дневное отделение	16,7	16,0	16,4	17,2	18,0
Вечернее отделение	5,7	5,2	5,7	6,0	6,2
Заочное отделение	16,5	16,8	17,0	18,6

Задача 6.27.

Распределение рабочих трех заводов одного объединения по тарифным разрядам характеризуются следующими данными (таблица 3):

Таблица 3

Распределение рабочих по тарифным разрядам

Тарифный разряд	Численность рабочих на заводах
№ 1	№ 2	№ 3
1	50	20	40
2	100	80	60
3	150	150	200
4	350	300	400
5	200	150	250
6	150	100	150

Определить:

1) групповые дисперсии;

2) среднюю из групповых дисперсий (внутригрупповую дисперсию);

3) межгрупповую дисперсию;

4) общую дисперсию.

Решение:

1) групповая дисперсия определяется по формуле:

Σ (X_i– X¹_j)² ∙ f_i

D_j_гр = ----------------------- ,

N_j

где f_i – частота значений X_i;

j – номер группы;

X¹_j – групповая средняя группы j;

N_j = Σ f_i – объем группы j.

Найдем групповые средние:

Σ X_if_i

Х¹₁ = ---------- ,

Σ f_i

50 ∙1 + 100 ∙2 + 150 ∙3 + 350 ∙4 + 200 ∙5 + 150 ∙6 4000

Х¹₁ = -------------------------------------------------------------- = ---------- = 4

50 +100 + 150 + 350 + 200 + 150 1000

20 ∙1 + 80 ∙2 + 150 ∙3 + 300 ∙4 + 150 ∙5 + 100 ∙6 3180

Х¹₂ = -------------------------------------------------------------- = ---------- = 4

20 +80 + 150 + 300 + 150 + 10 800

40 ∙1 + 60 ∙2 + 200 ∙3 + 400 ∙4 + 250 ∙5 + 150 ∙6 4510

Х¹₃ = -------------------------------------------------------------- = ---------- = 4

40 +60 + 200 + 400 + 250 + 150 1100

Рассчитаем групповые дисперсии:

Σ (X_i– X¹_j)² ∙ f_i

D₁_гр = ----------------------- =

N_j

(1-4)²∙50 + (2–4)²∙100 + (3-4)²∙150 + (4–4)²∙350 + (5–4)² ∙200 + (6–4)²∙150

= ----------------------------------------------------------------------------------------------- =

1000

1800

= ---------- = 1,8

1000

(1-4)²∙20 + (2–4)²∙80 + (3-4)² ∙150 + (4–4)² ∙300 + (5–4)² ∙150 + (6–4)²∙100

D_2гр = ---------------------------------------------------------------------------------------- =

800

1200

= ---------- = 1,5

800

(1-4)² ∙40 + (2–4)² ∙60 + (3-4)² ∙200 + (4–4)² ∙ 400 + (5–4)² ∙250 + (6–4)²∙150

D_3гр = ---------------------------------------------------------------------------------------- =

1100

1050

= ---------- = 0,9

1100

2) внутригрупповая дисперсия определяется по формуле:

Σ D_j_гр ∙ N_j

D_внгр = ------------------ ,

Σ N_j

где N_j- объем группы j;

Σ N_j– объем всей совокупности, т.е. суммарное количество единиц во всех группах.

D_{1 гр} ∙ N₁+ D_{2 гр} ∙ N₂+ D_{3 гр} ∙ N₃

D_внгр = ------------------------------------------------------

N₁+ N₂ + N₃

1,8 ∙ 1000 + 1,5 ∙ 800 + 0,9 ∙ 1100 4050

D_внгр = ---------------------------------------------------------- = ---------- = 1,4

1000 + 800 + 1100 2900

3) межгрупповая дисперсия определяется по формуле:

Σ (X¹_j - Х¹)² ∙ N_j

D_межгр = ----------------------- ,

Σ N_j

где X¹_j – групповая средняя группы j;

N_j – объем группы j;

Х¹ – общая средняя.

Найдем общую среднюю:

50 ∙1 + 100 ∙2 + 150 ∙3 + 350 ∙4 + 200 ∙5 + 150 ∙6 + 20 ∙1 + 80 ∙2 + 150 ∙3 + 300 ∙4 + 150 ∙5 + 100 ∙6 + 40 ∙1 + 60 ∙2 + 200 ∙3 + 400 ∙4 + 250 ∙5 + 150 ∙6

Х¹ = ------------------------------------------------------------------------------------------- =

1000 + 800 + 1100

4000 + 3180 + 3710 1089

= ------------------------------- = ----------- = 3,7

1000 + 800 + 1100 2900

так как Х¹₁ = 4; Х¹₂ = 4; Х¹₃ = 4, то межгрупповая дисперсия

(X¹₁ - Х¹)² ∙ N₁ + (X¹₂ - Х¹)² ∙ N₂+ (X¹₃ - Х¹)² ∙ N₃

D_межгр = ----------------------------------------------------------------------- ,

N₁+ N₂ + N₃

(4 – 3,7)² ∙1000 + (4 – 3,7)² ∙800 + (4 – 3,7)² ∙1100 272

D_межгр = ------------------------------------------------------------------ = ---------- = 0,1

1000 + 800 + 110 2900

4) общая дисперсия определяется по формуле:

Σ (X_i - Х¹)² ∙ f_i

D_общ = ----------------------- ,

Σ f_i

где f_i – частота значений Х_i

X¹ – общая средняя;

Σ f_i – объем всей совокупности.

(1-3,7)² ∙50 + (2-3,7)² ∙100 + (3-3,7)² ∙150 + (4-3,7)² ∙350 + (5-3,7)² ∙200 + (6-3,7)² ∙150 + (1-3,7)² ∙20 +(2-3,7)² ∙80 +(3-3,7)² ∙150 +(4-3,7)² ∙300 +(5-3,7)² ∙150 +(6-3,7)² ∙100 +(1-3,7)² ∙40 +(2-3,7)² ∙60 +(133,7)² ∙200 +(4-3,7)² ∙400 +(5-3,7)² ∙250 +(6-3,7)² ∙150

D_общ = ----------------------------------------------------------------------------------------- =

1000 + 800 + 1100

4605

= -------------- = 1,5

2900

Д_общ = Д_внгр + Д_межгр

Это выражение называют правилом сложения дисперсий.

Д_общ = 1,4 + 0,1 = 1,5

Задача 7.5.

Имеются следующие данные по группе совхозов (таблица 4):

Таблица 4

Распределение совхозов по расходу кормов и удоям на одну корову

№ совхоза	Удой на одну среднефуражную корову, ц	Среднегодовое поголовье коров, голов	Расход кормов на одну корову, ц.к.е.
1	26,2	520	28,2
2	30,2	600	39,2
3	38,5	612	35,0
4	36,2	584	40,5
5	33,6	695	41,0
6	30,0	700	37,6
7	37,0	717	38,9
8	38,4	684	45,4
9	33,4	715	43,1
10	38,0	686	49,2
11	27,3	580	30,2
12	29,5	544	34,8
13	34,3	595	37,0
14	40,0	685	42,3
15	31,5	638	36,0
16	38,5	613	40,2
17	34,0	705	35,4
18	32,5	620	38,2
19	40,7	682	46,0
20	30,8	644	35,8

1. Используя данные, приведенные в таблице 4, сгруппировать совхозы по расходу кормов на одну среднегодовую фуражную корову. Разбить совокупность на три группы с равными интервалами.

2. Охарактеризовать каждую группу числом совхозов, средним удоем и средним расходом кормов на корову.

3. Результаты расчетов оформить в виде таблицы и сделать краткие выводы о взаимосвязи продуктивности коров с уровнем кормления (расходом кормов).

Решение:

Величину интервала определим по формуле:

Х _max – Х _min

i = ------------------------- ,

где К – число групп, равное 3;

Х _max – 49,2 ц.к.е.;

X _min – 28,2 ц.к.е..

49,2 – 28,2

i = ------------------ = 7

Группировка совхозов по расходу кормов на одну среднегодовую фуражную корову представлена в таблице 5.

Таблица 5

Группировка совхозов по расходу кормов на одну среднегодовую корову

Группы совхозов по расходу кормов	Совхозы	Удой на одну среднегодовую фуражную корову, ц	Расход кормов
число совхозов	в % к итогу	ц	в % к итогу	ц.к.е	в % к итогу
28,2-35,2	4	20	30,6	29,8	22,3	21,1
35,3-42,3	12	60	34,7	33,8	37,8	35,8
42,4-49,2	4	20	37,2	36,4	45,2	43,1
	20	100	102,5	100	105,3	100

1. Определим средний удой по группам совхозов:

1 группа:

26,2 ∙ 520 + 38,5 ∙ 612 + 27,3 ∙ 580 + 29,5 ∙ 544 69092

------------------------------------------------------------ = ---------- = 30,6

520 + 612 + 580 + 544 2256

2 группа:

30,2 ∙ 600 + 36,2 ∙ 584 + 33,6 ∙ 695 + 30 ∙ 700 + 37 ∙ 717 + 34,3 ∙ 595 + 40 ∙ 685 + 31,5 ∙ 638 + 38,5 ∙ 613 + 34 ∙ 705 + 32,5 ∙ 620 + 30,8 ∙ 644

------------------------------------------------------------------------------------------ =

600 + 584 + 695 + 700 + 717 + 595 + 685 + 638 + 613 + 705 + 620 + 644

265603

= ----------- = 34,7

7796

3 группа:

38,4 ∙ 684 + 33,4 ∙ 715 + 38 ∙ 686 + 40,7 ∙ 682 103972

---------------------------------------------------------- = ----------- = 37,2

684 + 715 + 686 + 682 2767

2. Определим средний расход кормов по группам совхозов:

1 группа:

28,2 ∙ 520 + 35 ∙ 612 + 30,2 ∙ 580 + 34,8 ∙ 544 60531

---------------------------------------------------------------- = ----------- = 22,3

520 + 612 + 580 + 544 2256

2 группа:

39,2 ∙ 600 + 40,5 ∙ 584 + 41 ∙ 695 + 37,6 ∙ 700 + 38,9 ∙ 717 + 37 ∙ 595 + 42,3 ∙ 685 + 36 ∙ 638 + 40,2 ∙ 613 + 35,4 ∙ 705 + 38,2 ∙ 620 + 35,8 ∙ 644

------------------------------------------------------------------------------------------ =

600 + 584 + 695 + 700 + 717 + 595 + 685 + 638 + 613 + 705 + 620 + 644

295090

= ----------- = 37,8

7796

3 группа:

45,4 ∙ 684 + 43,1 ∙ 715 + 49,2 ∙ 686 + 46 ∙ 682 125193

---------------------------------------------------------- = ----------- = 45,2

684 + 715 + 686 + 682 2767

Таким образом, результаты анализа с помощью группировки показывают, что в совхозах с высоким уровнем кормления коров получают больше продукции на голову скота, чем в совхозах с низким уровнем кормления.

Задача 8.9.

На заводе с числом рабочих 15 тыс. человек в порядке механической выборки предполагается определить долю рабочих со стажем работы 20 лет и более. Какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала 0,03, если на основе предыдущих обследований известно, что дисперсия равна 0,2?

Решение:

Определим численность выборки по формуле:

t² {w (1 – w)} N

n = ---------------------------

δ² N + t² {w (1 – w)}

Предварительно находим по приложению значение t, соответствующее доверительной вероятности 0,954.

t = 2

2² {0,2 (1 – 0,2)} 15000

n = --------------------------------------------- = 671 чел.

0,03² ∙ 15000 + 2² {0,2 (1 – 0,2)}

Задача 9.7.

Получены следующие данные о производстве продукции промышленным предприятием за 1995-1999 гг. (в сопоставимых ценах, млн. руб.):

1995 1996 1997 1998 1999

23,3 24,9 26,6 28,8 32,3

Для анализа ряда динамики определить:

1) показатели, характеризующие рост производства продукции по годам и по отношению к базисному 1995 г.:

- темпы роста;

- темпы прироста;

- абсолютные приросты;

2) абсолютное значение одного процента прироста (для каждого года);

3) представить полученные данные в табличной форме;

4) определить средний абсолютный прирост за отчетный период 1995-1999 годы.

Решение:

1. Рассчитаем темпы роста цепным и базисным способом (%):

Цепные:

у₂ 24,9

1996 К_р1 = ---- = ---------- ∙ 100 = 106

у₁ 23,3

у₃ 26,6

1997 К_р2 = ---- = ---------- ∙ 100 = 106

у₂ 24,9

у₄ 28,8

1998 К_р3 = ---- = ---------- ∙ 100 = 104

у₃ 26,6

у₅ 32,3

1999 К_р4 = ---- = ---------- ∙ 100 = 112

у₄ 28,8

Базисные:

у₂ 24,9

1996 К_р1 = ---- = ---------- ∙ 100 = 106

у₁ 23,3

у₃ 26,6

1997 К_р2 = ---- = ---------- ∙ 100 = 114

у₁ 23,3

у₄ 28,8

1998 К_р3 = ---- = ---------- ∙ 100 = 123

у₁ 23,3

у₅ 32,3

1999 К_р4 = ---- = ---------- ∙ 100 = 138

у₁ 23,3

2. Темпы прироста:

Используем формулу:

К_пр = К_р – 100%

1996 К_пр_(цепн) = 106 -100 = 6

1997 К_пр_(цепн) = 106 -100 = 6

1998 К_пр_(цепн) = 104 -100 = 4

1999 К_пр_(цепн) = 112 -100 = 12

1996 К_пр_{(базисн)} = 106 – 100 = 6

1997 К_пр_{(базисн)} = 114 – 100 = 14

1998 К_пр_{(базисн)} = 123 – 100 = 23

1999 К_пр_{(базисн)} = 138 – 100 = 38

3. Абсолютный прирост (ΔУ):

ΔУ₁ = у₂ – у₁ = 24,9 – 23,3 = 1,6

ΔУ₂ = у₃ – у₂ = 26,6 – 24,9 = 1,7

ΔУ₃ = у₄ – у₃ = 28,8 – 26,6 = 2,2

ΔУ₄ = у₅ – у₄ = 32,3 – 2883 = 3,5

4. Показатель абсолютного значения одного процента прироста (А%):

Используем формулу:

А% = 0,01 ∙ У_i_-1

1996 А% = 0,01 ∙ 23,3 = 0,233

1997 А% = 0,01 ∙ 24,9 = 0,249

1998 А% = 0,01 ∙ 28,8 = 0,288

1999 А% = 0,01 ∙ 32,3 = 0,323

Результаты расчета представлены в таблице 6.

Таблица 6

Расчетные показатели ряда динамики

Годы	Выпуск продукции, млн. руб.	Темпы роста, %	Абсолют- ный прирост, млн. руб.	Темпы прироста, %	Абсолют- ные значения 1% прироста, млн. руб.
цепные	базис- ные	цепные	базис- ные
у	К_рц	К_рб	ΔУ	К_прц	К_прб	А%
1995	23,3
1996	24,9	106	106	1,6	6	6	0,233
1997	26,6	106	114	1,7	6	14	0,249
1998	28,8	104	123	2,2	4	23	0,288
1999	32,3	112	138	3,5	12	38	0,323

Данные таблицы 6 показывают, что в период с 1995 по 1997 гг. происходило систематическое повышение выпуска продукции.

ΣΔУ 1,6 + 1,7 + 2,2 + 3,5

ΔУ¹ = -------- = ---------------------------- = 2,25 млн. руб.

m 4

Для того, чтобы проследить, как изменились темпы роста и прироста в целом за весь период, используем формулу:

К_р = ^n-1 √ К₁ ∙ К₂ ∙ … К_n-1

К_р = ⁴√ 1,06 ∙ 1,07 ∙ 1,12 = 1,02 = 102%

К_пр = К_р – 100% = 102 – 100 = 2%

Средний темп роста и прироста можно определить и по абсолютным уровням ряда:

К_р = К_р = ⁿ^-1 √у _n: у₁ = ⁴ √ 32,3 : 23,3 = 1,02 = 102%

Отсюда К_пр = 2%.

Задача 10.7.

Производство зерновых на ферме характеризуется следующими данными (таблица 7):

Таблица 7

Производство зерновых на ферме

Культуры	Затраты на производство, тыс. руб.	Изменение себестоимости продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным, %
базисный период	отчетный период
Озимая пшеница	68,0	89,2	- 1,5
Ячмень озимый	23,2	32,0	+ 0,5
Яровая пшеница	87,5	89,9	без изменений
Рожь озимая	14,4	15,9	+ 9,2
Кукуруза	94,5	89,4	- 6,7

Определить:

1) общий индекс затрат на производство;

2) общий индекс себестоимости продукции;

3) сумму экономии или дополнительных затрат за счет изменения себестоимости культур в отчетном периоде по сравнению с базисным.

Решение:

1. Определим общий индекс затрат на производство:

Σ p₁q₁

I_pq = -----------

Σ p₀q₀

89,2 + 32 + 89,9 + 15,9 + 89,4 316,4

I_pq = ------------------------------------------ = ---------- = 1,1 или 110%

68 + 23,2 + 87,5 + 14,4 + 94,5 287,6

Таким образом, затраты на производство в отчетном периоде по сравнению с базисным повысились на 10%.

2. Определим общий индекс себестоимости продукции:

Σ z₁q₁

I_z = -----------

Σ z₀q₁

z₁

i_z = -----

z₀

z₁

z₀ = -----

i_z

Σ z₁q₁

I_z = -----------

z₁q₁

Σ --------

i_z

89,2 + 32 + 89,9 + 15,9 + 89,4 316,4

I_z = ------------------------------------------------------------------------------- = -------- =

89,2 : 0,985 + 32 : 1,005 + 89,9 : 1,0 + 15,9 :1,092 + 89,4 : 0,933 327

= 0,96 или 96%

Таким образом, в отчетном периоде по сравнению с базисным себестоимость продукции уменьшилась на 4%.

В числителе индекса – фактическая стоимость товаров, проданных в ценах отчетного периода, а в знаменателе – стоимость этих же товаров в ценах базисного периода. Как видно, стоимость проданных товаров в ценах базисного периода меньше фактической на 10,6 тыс. руб. (327 – 316,4), что обусловлено повышением затрат на производство в отчетном периоде.