1. -
1.1.
1.1.1.
1.1.2.
1.1.3.
1.1.4.
1.2.
1.2.1.
1.2.2.
2:
2.1.
2.2.
2.2.1.
2.2.2. -
2.2.3.
2.3.
2.3.1.
2.3.2.
2.3.3.
3.
3.1.
3.2.
3.2.1.
3.2.2.
, . . , .
: , .
, .
: .
, , , .
, I-V , ; . , , .. .
, .. , .
, , , , . , , , , .. .
, , . , .
1) , - , ..
2) . , , .
3) , , . , . , , , .
, . , , , .
. . , , .. , .. , , .
.
:
- ;
- .
1. -
1.1.
1.1.1.
, .
, (24), , , (16), - , (19). : - , , ; - .
. , , , , . , . , , (8).
, , , , , . , . . , , , , , . , , , .
, : , , , , . , .
(16).
1.1.2.
, , , . , , ; , . , .
, , , . , , . , .. .
, : , , , .., , . . , , , , . , , .
, , . : , , , , , .
. , , , , , . , , , , , . , . , , , (21).
1.1.3.
, , . , , , , , (16).
, : , .
, , , . , , (17).
, , , . . , . . , , , , , . . , .
, (8).
, , .. , :
- , , .. , ;
- ;
- , , , ;
- , , (17).
, . .
, , , , .
, .. , , .
. , , (, , , , .) (26).
1.1.4.
. , . , , . , , .
.. , , , . , , , , , , , , , .
, X-XI . , , , .
, , , , . , , , .
. , ; , . , . , , , , , , . .
, , .
. , : -, , ; -, : (9).
, , ?
, - , , . : , (17).
1.2.
1.2.1.
. , , , .. , , . , . , , () (21).
, . ( ) , . (12).
, , .
, (14).
, , () (13).
: , , , ( ); , ( , ).
. , , , . , , . , , . . , , .
, , ( ) .
.
, . ( ), ( ) .
: , , , , , .
, . , , , .
, , .
. , .. , , . () , , , , .
, . , (21).
. , ( ), ( ). , , , . . ; (13).
, , . , . , . , , ( , ) (12).
, :
- , .. ;
- ;
- ;
- (21).
, , , .
, . () . , , .
, , , , , (12).
1.2.2.
, : .
: , , , , .
, , (14).
, . . . : , , , . .
, , . , . .
, (6).
, : , , .
; ; ; , , . .
, .
, , : , , . .
: ( ), , ; , - , (21).
, . , ( ), , , . , , , , , , . , . .
, , , , .
, , .. . , , , . , . , .
, , , , , , . , , , , . . , , . . , , , . , .
, , . , , , , .
. , . , , .
, , , (12).
.. , , .
, , .
: , . . , , .. . , , , .
. . , . , . , , .
: , .
2.
2.1.
, , , , (5), (14) , (13).
, , , , . , , , , , . , . , , , , , , . , , , , .
, (3).
, .
? , , , , , , .
? , : ? .
? . , , , , , , .
, ? , , , , -, (5).
. . . , .. , . , , .
, , , , , , . (12)
2.2.
2.2.1.
.
: , , , , , .
, : , , , . , , .
. . , , . .. , .
, . , , , , . , , , . , . . , , ( , , ) .
. , , , . , . , . - , . , , , , .
:
- , , , ;
- , , ;
- , ;
- , .
2.2.2. -
, , . .
. , , , , . . , . .
- . , . , . , : , , ; , , . , .
, , . .
- , , , , . , - , . , , - , , .
, . , , , .
2.2.3.
X-XI , , , .
, , , . . . , , , , .
, , , , , , , , (22).
2.3.
2.3.1.
, .
:
1. ;
2. ;
3. .
, , , .
: , . : , , , , , ; .
10 I , .
, ; , :
2.3.2.
(14 ).
1 , ,
,
, .
.
, . 3
2 ,
. . 2
3 .
. 2
4 ,
. .
. 3
5 . . 3
6 . 1
2.3.3.
. , 2. , . .
1
, , , , . . , .
: ; , .
: . . , , , , , , , ..
.
: , , ; ; ; ; : , , , , , .
: , ; , .
.
. .
. . , , , .
.
1. . . .
2. .
3. .
4. .
.
. .
.
. : , .. , , . , . , , .
. , , , . , , .. , :
) z1
+ z2
= z2
+ z1
; z1
z2
= z2
z1
;
) (z1
+z2
) + z3
= z1
+(z2
+z3
); (z1
z2
)z3
= z1
(z2
z3
);
) z1
(z2
+ z3
) = z1
z2
+ z1
z3
.
, .. RÌC.
. .
.
.
2
, . .
: , .
: , . .
.
: , ; , .
.
. .
. , , , , .
.
. . . .
. .
.
. 2 6 .
.
.
3
. .
: , .
: , , , , .
.
: ; .
: .
.
. .
. , , , , . , , .
.
1. .
2. .
.
.
. ; ; , .
. .
. .
. : , , , 2π. , .
:
1. r r?
2. j j ?
. 2 6 .
.
.
4
, . . .
: , .
: , .
.
: .
: .
.
. .
. , , . , , .
.
1. , (, , , ).
2. .
.
. .
. .
. : , , , ; . .
. , , , , .
. .
. .
.
.
5
. .
: .
: . , , , , .
.
. .
. . - , , . .
.
. . , , .
. .
.
. .
. 2 6 .
.
.
6
(25).
3.
3.1.
, .
: , .
, .
, , , , . , , , , .. .
, , . , .
.
.
, - .
.
:
- , ;
- , ;
- ;
- , , , ,
.
,
:
1. .
2. .
:
I :
.
; , .
, .
II :
.
, , .. .
, .
III :
.
, , , . .
.
: I .
, 10ª . , , , .
, :
- ;
- , ;
- , , ;
- ;
- , , ;
- ;
- ;
- , ;
- , .
, , , 10
.
, , , , , , , , , , ..
III .
.
, , , .
3 : ) (3-2i)(4+i)+10i;
) 1-i
+ 1+i
; ) (2-i)³
1+i 1-i
: , , , , .
: ++(-)i=8+2i .
: ) 2
4+5=0; ) 4
1=0 , .
: ) z=5-2i; ) 1<Rez≤2 , , .
, z1
=i z2
=2+√3i , (z2
)³ , z3
=z1
·z2
, .
.. .
: II .
. . : 1 , , , . .
2 : , . , .
3 : . . .
4 : . . . - .
5 : . . , .
, , .. , D<0.
: . :
1. .
2. .
3. .
4. .
5. ?
6. .. ?
7. ?
8. ? .. .
9. R?
10. 2
+1=0 (, 9, ).
, .
, , . , - . , , . , , , .
. , , , , . , .
. , , . , .. .. .
. , .
, . . , . , , , ..
.
, . , 2, , , , .
.
, , .
, .
, , 2. , , .
. , . ( 2), . , , , , .
. , . .
, .
, . . , , . , .. , .
.
.
, . .. . , : , , .
, .
, , , , .. , , .
, . , ..
.
3, 10ª . 27 (16 11 ). , : 2 , 7 , 4 . 910 . 11% , 15% - , 1 . , , .
3.2.
10
3. 14 : , . , , , . 10 , 14, .. .
3.2.1.
: , , , , , .
2 , , , , . . , , , .
. , , , . , , , , ..
, , . , , .
, , . , 50% .
, , 7% - , .. . , . , , , .
14 , , . , , , , D<0. , . , , , , , 4 . .
, . 65% ; 92% . .. , , .. .
.
.
, , (. 2).
100%, .. , , . 79%, .
1 :
, (, , , , ) 86% . , 7% , .. - ( ). 7% , - . (‑i) 1 i, (‑i). , .
2 :
86%. 7% , .. . , , , .. . , . 7% , , .
3 :
79% . 7% . x4
‑1=0 , - . . 14% () . .. . , .
4 :
16% . 7% - . , .., , , . 7% - . - , , , , - , , .
5 :
, (, ) 65%. 14% - . 7% , .. , . ; , , . 14% - , , 43
, - , .. , .
3 :
1. ( , ).
2. ( , , ).
3. ( , , ).
: 1 21%; 2 42%; 3 49%.
, , . , , .. .
, , .
2.2.
, 10 . , , . , . , , , , (, ) . , , . . , , .
, , , , , . .. - . , . , , , ..
, , .
. . , , , , , , . , , , , , . , , +bi, i2
=‑1. , a bÎR.
, , , , , z2
‑(5+2i)z+5+5i=0 z x+yi, . , .
. , .. . , : , ?. , . . , , , .
, , , n‑ . . , , . , . , .
k n 0 (n-1). . , , . : , . , , . .
, . , , , . .., , , . . , , , , , . , , . , , .
, , , , . , , .. . , .. . . .
, , , . .
, :
- , , ;
- ;
- . , .
:
1) :
- ;
- ;
- .
2) 10 , .
3) , , .
, :
(85).
1. (15).
2. (13).
3. (14).
4. (16).
5. (20).
6. . (7).
XI (68).
1. . (6).
2. (16).
3. , (26).
4. . (20).
10 I , .
1. ./ . .. 2 - .: 1987.
2. .. . .: , 1975.
3. .. . .: 1951.
4. .. 11. .: , 1995.
5. . .: , 1979.
6. .. . , 1976.
7. .. . .: , 1981.
8. .. . .: , 1980.
9. .. . .: , 1976.
10. .., .. . .: . , 1939.
11. .. .// . , 1994.
12. .. . : - . .. , 1982.
13. . ./ .. . .: , 1980.
14. . . .: , 1985.
15. 9-10 . . .: , 1983.
16. .. . . 1. .: 1995.
17. .. . . 2. .: 1995.
18. ./ . .. .: . , 1998.
19. .. . . .: , 1998.
20. .. . .: , 1996.
21. .. . . .: , 1989.
22. - . 5-11 . . .: , 1998.
23. - . 5-11 . . .: , 1998.
24. . . .: . , 1990.
25. .. . . .: , 1987.
26. .. . . .: 1998.
27. .. . .: . , 1963.
28. .. .// . , 1997.
2
1 , , , , . . , .
. . , . , 2
+ 1=0 2
+4 +5=0 , . . .
. , .. - . , , XVI ., - , . , . (1646-1716) , , : , . , , , . . (1777-1855) . XIX ., . . .
:
) N={1,2,3,,n,};
) Z={,-2,-1,0,1,2,};
) Q={,nZ, nN};
) R.
, . . , .
, , , i, , i2
=-1. , , . i , .. bi, bR, , .. a+bi, a,bR. , .. a, bi.
: a+bi (a b - , i2
=-1).
z=+bi - , , b- . a=Rez, b=Jmz ( re¢ele - imaginaire - ). a+bi, b¹0, , bi, b¹0,- .
.
z1
=a+bi z2
=+di , = b=d. , a+bi , a=0 b=0.
z=a+bi .
:
1. : (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
, (2+3i)+(5-7i)=(2+5)+(3-7)i=7-4i.
2. : (a+bi)*(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i , , i2
=-1. ,
(a+bi) (c+di) .
, (1+2i)(3-i) =3*1-1*i+6i-2i2
=3+2-i+6i=5+5i.
i :
i1
=i ; i2
=-1; i3
=i2
*i =-1*i =-i; i4
=i2
*i2
=(-1)(-1) =1; i5
=i3
*i2
=-i(-1)=i; i6
= =i5
*i=i*i=-1=i2
;
, i4n+r
=(i4
)n
*ir
=(1)n
*ir
=ir
.
, i4m
=1; i4m+1
=i; i4m+2
=-1; i4m+3
=-i.
, i218
=i4*54+2
=i2
=-1.
3. : (a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i
, (5+4i) - (2-3i) = (5-2) + (4+3)i = 3+7i.
: , .
z=a+bi, z=a-bi. , z+z=(a+bi)+(a-bi)=2a; z*z=(a+bi)(a-bi)=a2
+b2
. , .
4. : , :
a+bi
= (a+bi)(c-di)
= (ac+bd)+(bc-ad)i
= ac+bd
+ bc-ad
i
c+di (c-di)(c-di) c2
+ d2
c2
+d2
c2
+d2
, 10+15i
= (10+15i)(1-2i)
_ 10-20i +15i +30
= 40-5i
= 8-i
1+2i (1+2i)(1-2i) 1 + 4 5
.
, . .
a+bi M(a;b) , .. , , - . M(a; b) a+bi (.1).
, . . , , - , .
a+bi - (. .1), .. , (,) (;b). , - .
, . z1
=a1
+b1
i z2
=a2
+b2
i . 1
2
. , z1
1
, z1
- 2
, z1
+z2
1
+2
, z1
-z2
- 1
- 2
.
. : .
z /Z/ r. (. .1) z=a+bi : /Z/=Ö
a2
+b2
, . , /z/ = /-z/ = /z/, z*z = /z/2
= /z/2
.
:
1. (2Ö3 - 4iÖ2) - (Ö27 - iÖ32) + (2 + 2i
Ö3 Ö3 ;
2. (m - n i) + ( n - m i - (( 1 - 1 i) - 1 - 1 i)) ;
n m m n n m m n
3. 2i (1
+ Ö
3
i) ( -1
+ Ö
3
i );
2 2 2 2
4. :
) z =i + 6i+1
) z = i13
+ i14
+ i15
+i16
; ) z = 3+1
: 2
1+7i 3-i 5(1-i)
) z = (1+2i)3
- (1-i)3
; ) z = (2+i)5
) z = 5+12i + (1+2i)2
(3+2i)3
- (2+i)2
8-6i 2+i
) z = (-0,5 + i Ö3) 3
2
5. :
) 3+0i; ) 0-5i; ) -3+2i; ) 1+i.
6. :
z= (1+2i) + i19
;
: z= (2-i)3
(2-11i).
7. .. z= -2+ i*5, , , .
8. : z= z1
+z2
+z3
, z1 = 3-2i; z2
=-3+4i; z3
= 2- i.
9. , :
) 2i + i -2 = 3i - 3 =
) (1+i)x + (1-i) = 3-i;
) (2x-3i)(2x+3i) +xi = 97+2i.
2. ,
. .
. :
1. .
2. ?
3. , , .
4. , .
5. , .
6. , ( ).
7. , .
8. ( ).
9. ?
10. .
. :
1. : ) (3+5i) + (2+i) = . . . . .; ) (3+5i) - (4-i) = . . . .;
2. : ) i123
= . . . ; ) (i-1)2
= . . . .
3. : (Ö3 + iÖ2) (Ö3 - iÖ2) = . . . .
4. : z1
=1-5i; z2
=2+3i.
5. , : z1
=1-i; z2
=3i.
:
1. : ) [2i (3-4i)]2
=; ) a-bi - ib-ai = ;
b+ai a+bi
) i100
+ i98
+i63
=;
2. , , ) 2+5ix - 3i = 14i + 3x -5y; ) x2
-7x +9yx = y2
i +20i -12.
3.
) 5 + ixy x + y +4i; ) 9y2
- 4 - 10x 8y2
+ 20i7
?
4. : ) (i-z) (1+2i) + (2-iz) (3-4i) = 1+7i;
) z2
- (5+2i) z + 5 + 5i =0; ) z2
+ z =0; ) (1-i) z - 3iz = 2-i; ) z*z + 2z =3+2i;
) z*z + 3(z-z) - 4+3i.
5. : ) /z/ = 2i (z+1); ) /z/ = i (2z+i); ) /z/ - iz = i-2i;
) z2
+ 3/z/ =0; ) z2
+ /z/2
=0.
8. :
) /z/ <1; ) /z/ =2; ) Rez > 1; ) Jm
z < -2; ) /z+i/ =2; ) /z-2/ <3; ) /z-4 +i/ £5.
7. z = 3+ i4. , : )
; )
; ) ?
8. z1
, z2
, z3
. , , .
9. : ) /z/ £3 )/z/³ 1 ) /z-1/³ 2
/z-3i/³3 /z-2i/£2 -1< Rez<2
) 1£ /z-1/£ 2 ) /z/ £3
0£Jm
z£Ö3 1< Jm
z <2.
3 .
.
; ; , .
z=a+bi.
z, ,
, - Z. , , , . /z/ = r, - argz = j (. . 2).
z=0 , . , , /z/ .
. , , . , 2p.
. 2 , sinj = b/r, cosj =a/r, =rcosj b=rsinj, r =Öa2
+ b2
, .. z=a+bi /z/=r j. , z z=rcosj + irsinj=r(cosj+isinj) - .
:
1. r = Öa2
+ b2
2. tgj1
=|b/a|.
3. a b , z.
4. j, , :
) I , j = j1
;
) II , j = p - j1
;
) III , j = p + j1
;
) IV , j = -j1
, j = 2p -j1
.
5. :
z = r (cos j + i sin j).
, , j sinj cosj, :
j |
0 |
p
6
|
p
4
|
p
3
|
p
2
|
p |
5
p
6
|
3
p
4
|
2
p
3
|
3
p
2
|
4
p
3
|
4
p
4
|
7
p
6
|
5
p
3
|
7
p
4
|
11
p
6
|
2p |
sinj |
0 |
1
2
|
Ö
2
2
|
Ö
3
2
|
1 |
0 |
1
2
|
Ö
2
2
|
Ö
3
2
|
-1 |
-
Ö
3
2
|
-
Ö
2
2
|
-1
2
|
-
Ö
3
2
|
-
Ö
2
2
|
-1
2
|
0 |
cosj |
1 |
Ö
3
2
|
Ö
2
2
|
1
2
|
0 |
-1 |
-
Ö
3
2
|
-
Ö
2
2
|
- 1
2
|
0 |
-1
2
|
-
Ö
2
2
|
-
Ö
3
2
|
1
2
|
Ö
2
2
|
Ö
3
2
|
1 |
z=r (cosj + isinj) cosj sinj, .
: 1) z = 1+i /z/ r =Ö 12
+12
=Ö2
sinj = 1 =2 cosj = 1 = 2 Þj = 450
Ö2 2 Ö2 2
. z = a + bi = 1 + i = Ö2 (cos 450
+ isin 450
=Ö2 (cos p + sin p)
4 4
2. z = 6( cosp + isin p) = 6 (-1 + i*0) = 6*-1 = -6 Þz = -6.
:
1. :
) Ö3-i ; ) 6+6i ; ) -2 ; ) i ; ) -1
- Ö
3
i ) -3 (cos p
+ isin p
2 2 ; 7 7 ;
) sin 48 + cos 48 ; ) 1 + cos 10
p
+ isin 10
p
9 9
2. :
) z = 2 (cos 225 + isin 225) ; ) z=3 (cos0 + isin 0) ;
) z = 5(cos p
+ isin p
; ) z = 2(cos p
+ isin p
2 2 3 3
3. ? ) z=2 (cos p
+ isin p
)
4 4
) z = cosp + isin p ; ) z =2 (cos 3
p
+ isin 3
p
4 4
|