Статья: Доказательство Великой теоремы Ферма за одну операцию

Название: Доказательство Великой теоремы Ферма за одну операцию
Раздел: Рефераты по математике
Тип: статья

Идея предлагаемого вниманию читателя элементарного доказательства Великой теоремы Ферма исключительно проста: после разложения чисел a, b, c на пары слагаемых, затем группировки из них двух сумм U ' и U '' и умножения равенства a ^ n + b ^ n c ^ n = 0 на 11^ n (т.е. на 11 в степени n , а чисел a , b , c на 11 ) ( k +3) -я цифра в числе a ^ n + b ^ n c ^ n (где k – число нулей на конце числа a + b c ) не равна 0 (числа U ' и U '' умножаются по-разному!). Для постижения доказательства нужно знать лишь формулу бинома Ньютона, простейшую формулировку малой теоремы Ферма (приводится), определение простого числа, сложение двух-трех чисел и умножение двузначного числа на 11 . Вот, пожалуй, и ВСЁ! Самое главное (и трудное) – не запутаться в десятке цифр, обозначенных буквами. Формальное описание истории теоремы и библиография в русском тексте опущены.

Доказательство приводится в редакции от 1 июня 2005 года (с учетом дискуссии на мехматовском сайте).

В.С.

Элементарное доказательство Великой теоремы Ферма

ВИКТОР СОРОКИН

ИНСТРУМЕНТАРИЙ: [В квадратных скобках приводится поясняющая, не обязательная информация.]

Используемые обозначения:

Все числа записаны в системе счисления с простым основанием n > 10 .

[Все случаи с составным n, кроме n = 2 k (который сводится к случаю n = 4 ), сводятся к случаю

простого n с помощью простой подстановки. Случаи n = 3, 5 и 7 здесь не рассматриваются.]

ak k -я цифра от конца в числе a (a 1 – последняя цифра).

[Пример для a = 1043: 1043 = 1 x53 + 0 x52 + 4 x51 + 3 x50 ; a1 = 3 , a2 = 4 , a3 = 0 , a4 = 1 .]

a( k ) – окончание (число) из k цифр числа a (a (1) = a 1 ; 1043(3) = 043 ). Везде в тексте a 1 0 .

[Если все три числа a , b и c оканчиваются на ноль, следует разделить равенство 1° на nn .]

(ai n )1 = ai и(ai n - 1 )1 = 1 (см. Малую теорему Ферма для ai 0 ). (0.1°)

( n + 1) n = (10 + 1) n = 11 n = …101 (см. Бином Ньютона для простого n ).

Простое следствие из бинома Ньютона и малой теоремы Ферма для s 1 [a 1 0 ]:

если цифра as увеличивается/уменьшается на 0 < d < n ,

то цифра an s +1 увеличивается/уменьшается на d (или d + n , или d n ). (0.2°)

[В отрицательных числах цифры считаются отрицательными.]

***

(1°) Допустим, что an + bn cn = 0 .

Случай 1 : ( bc )1 ? 0.

(2°) Пусть u = a + b c , где u ( k ) = 0, uk +1 ? 0 ,k > 0 [известно, что в 1° u > 0 иk > 0 ].

(3°) Умножим равенство 1° на число d 1 n (см. §§2 и 2a в Приложении) с целью превратить

цифру uk +1 в 5 . После этой операции обозначения чисел не меняются

и равенство продолжает идти под тем же номером (1°).

Очевидно, что и в новом равенстве (1°) u = a + b c , u ( k ) = 0 ,uk +1 = 5 .

(1*°) И пусть a * n + b * n c * n = 0 , где знаком “*” обозначены записанные в каноническом виде числа в равенстве (1°) после умножения равенства (1°) на 11 n .

(4°) Введем в указанной здесь очередности следующие числа:u ,u ' = a ( k ) + b ( k ) c ( k ) ,

u'' = u – u' = (a – a(k) ) + (b – b(k) ) – (c – c(k) ) , v = (ak+2 + bk+2 – ck+2 )1 , u*' = a*(k) + b*(k) – c*(k) ,

u*'' = u* – u*' = (a* – a*(k) ) + (b* – b*(k) ) – (c* – c*(k) ) , 11u' , 11u'' ,v* = (a*k+2 + b*k+2 – c*k+2 )1 ,

и вычислим две последние значащие цифры в этих числах:

(3a°) uk+1 = (u'k+1 + u''k+1 )1 =5 ;

(5°) u'k+1 = (–1 , 0 или1 ) – таккак – nk < a'(k) < nk , – nk < b'(k) < nk , – nk < c'(k) < nk

и числа a , b , c имеют различные знаки;

(6°) u '' k +1 = (4 , 5 или6 )(см. 3a° и 5°) [важно :1 < u '' k +1 < n – 1 ];

(7°) u ' k +2 = 0 [всегда!] – так как \ u '\ < 2 nk ;

(8°) u '' k +2 = uk +2 [всегда!];

(9°) u '' k +2 = [ v + ( ak +1 + bk +1 ck +1 )2 ]1 , где ( ak +1 + bk +1 ck +1 )2 = (–1 , 0 или1 );

(10°) v = [ uk +2 – ( a ( k +1) + b ( k +1) c ( k +1) ) k +2 ]1 [где ( a ( k +1) + b ( k +1) c ( k +1) ) k +2 = (–1 , 0 или1 )] =

= [ uk +2 (–1 , 0 или1 )]1 ;

(11°) u * k +1 = uk +1 = 5 – т.к. u * k +1 иuk +1 – последние значащие цифры в числах u * и u ;

(12°) u *' k +1 = u ' k +1 – т.к. u *' k +1 иu ' k +1 – последние значащие цифры в числах u *' и u ' ;

(13°) u*''k+1 = (u*k+1 – u*'k+1 )1 = (3 – u*'k+1 )1 = (4 , 5 или6 )[важно : 1 < u*''k+1 < n – 1 ];

(14°) (11 u ') k +2 = ( u ' k +2 + u ' k +1 )1 (затем – в результате приведения чисел к каноническому виду –

величина u ' k +1 «уходит» в u *'' k +2 , поскольку u *' k +2 = 0 );

(14a°) важно: числа (11 u ')( k +2) и u *'( k +2) отличаются только k +2 -ми цифрами, а именно:

u *' k +2 = 0 , но (11 u ') k +2 0 в общем случае;

(15°) (11 u '') k +2 = ( u '' k +2 + u '' k +1 )1 ;

(16°) u*k+2 = (uk+2 + uk+1 )1 = (u''k+2 + uk+1 )1 = (u''k+2 + 5)1 ;

(16а°) к сведению: u *' k +2 = 0 (см. 7°);

(17°) u*''k+2 = (u*k+2 +1 , u*k+2 илиu*k+2 1 )1 = (см. 9°) = (u''k+2 + 4 ,u''k+2 + 5 или u''k+2 + 6)1 ;

(18°) v* = [u*k+2 – (a*(k+1) + b*(k+1) – c*(k+1) )k+2 ]1

[гдеu*k+2 = (uk+2 + uk+1 )1 (см. 16°), а(a*(k+1) + b*(k+1) – c*(k+1) )k+2 = (–1 , 0 или1 ) см. 10°] =

= [(uk+2 + uk+1 )1 (–1 , 0 или1 )]1 .

(19°) ВведемчислаU' = (ak+1 )n + (bk+1 )n – (ck+1 )n , U'' = (an + bn – cn ) – U' , U = U' + U'' ,

U*' = (a*k+1 )n + (b*k+1 )n – (c*k+1 )n , U*'' = (a*n + b*n – c*n ) – U*' , U* = U*' + U*'' ;

(19а°) к сведению: U '(k+1) = U *'(k+1) = 0 .

(20°) Лемма: U(k+2) = U'(k+2) = U''(k+2) = U*(k+2) = U*'(k+2) = U*''(k+2) = 0 [всегда!].

Действительно, из 1° мы имеем:

U = an + bn – cn =

= (a(k+1) + nk+1 ak+2 + nk+2 Pa )n + (b(k+1) + nk+1 bk+2 + nk+2 Pb )n – (c(k+1) + nk+1 ck+2 + nk+2 Pc )n =

= (a(k+1) n + b(k+1) n – c(k+1) n ) + nk+2 (ak+2 a(k+1) n - 1 + bk+2b(k+1) n - 1 – ck+2c(k+1) n - 1 ) + nk+3 P =

= U' + U'' = 0 , где

U' = a(k+1) n + b(k+1) n – c(k+1) n ,

(20a°)U'' = nk+2 (ak+2 a(k+1) n -1 + bk+2b(k+1) n -1 – ck+2c(k+1) n -1 ) + nk+3 P ,

где(ak+2 a(k+1) n -1 + bk+2 b(k+1) n -1 – ck+2 c(k+1) n -1 )1 = (см. 0.1°)=

(20b°) = (ak+2 + bk+2 – ck+2 )1 = U''k+3 = v (см. 4°).

(21°) Следствие: (U'k+3 + U''k+3 )1 = (U*'k+3 + U*''k+3 )1 = 0 .

(22°) Вычислимцифру(11n U')k+3 :

[так как числа (11 u ')( k +2) и u *'( k +2) отличаются только k+2-ми цифрами на величину

(11 u ') k +2 ) , то на эту величину будут отличаться и цифры (11 n U ') k +3 и U *' k +3 , это означает,

что цифра (11 n U ') k +3 будет на (11 u ') k +2 превышать цифру U *' k +3 (см. 0.2°)]

(11n U')k+3 = U'k+3 = (U*'k+3 + (11u')k+2 )1 = (U*'k+3 + u'k+1 )1 .

(23°) ОткудаU*'k+3 = U' k+3 – u'k+1 .

(24°) Вычислим цифру U *'' k +3 :

U*'' k+3 = v* = (uk+2 + uk+1 )1 (–1 , 0 или1 ) – см. (18°);

(25°) Наконец, вычислим цифру ( U *' k +3 + U *'' k +3 )1 :

(U*'k+3 + U*''k+3 )1 = (U*'k+3 + U*''k+3 – U'k+3 – U''k+3 )1 = (U*'k+3 – U'k+3 + U*''k+3 – U''k+3 )1 =

(см. 23° и 24°) = (– u ' k +1 + v* v) = (см. 18° и 10°) =

= (– u'k+1 + [uk+2 + uk+1 (–1 , 0 или1 )] [uk+2 (–1 , 0 или1 )])1 =

= (– u ' k +1 +uk +1 + (–2 , –1 , 0 , 1 , или2 ))1 = (см. 3a°) =

( u '' k +1 + (–2 , –1 , 0 , 1 , или2))1 = (см. 6°) = (2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 или 8 ) 0 ,

что противоречит 21°и, следовательно, выражение 1° есть неравенство .

Случай 2 [доказывается аналогично, но намного проще]: b (или c ) = nt b ' , где b 1 = 0 и bt +1 = b '1 0 .

(26°) Введем число u = c a > 0 , где u ( nt – 1) = 0unt ? 0 (см. §1 в Приложении).

(27°) После умножения равенства 1° на число d 1 n (с целью превратить цифру unt в 5 )

(см. §§2 и 2a в Приложении) обозначения чисел сохраняются.

(28°) Пусть: u ' = a ( nt – 1) c ( nt – 1) , u '' = ( a a ( nt – 1) ) – ( c c ( nt – 1) ) (где, очевидно, u '' nt = ( a nt c nt )1 );

U ' = a ( nt ) n + bn c ( nt ) n (гдеU '( nt + 1) = 0 см. 1° и 26°),U '' = ( an a ( nt ) n ) – ( cn c ( nt ) n ) ,

U *' = a *( nt ) n + b * n c *( nt ) n (гдеU *'( nt + 1) = 0 ),U *'' = ( a * n a *( nt ) n ) – ( c * n c *( nt ) n ) ,

v = ant+1 – cnt+1 .

Вычисления, полностью аналогичные вычислениям в случае 1, показывают, что nt+2-я цифра в равенстве Ферма не равна нулю. Число b во всех расчетах (кроме самой последней операции и в п. 27°) можно проигнорировать, т.к. цифры bn nt +1 и bn nt +2 при умножении равенства 1° на 11n не меняются (т.к. 11n (3) = 101).

Таким образом, для простых n > 7 теорема доказана.

==================

ПРИЛОЖЕНИЕ

§1. Если числа a , b , c не имеют общих сомножителей и b 1 = ( c a )1 = 0 ,

тогда из числа R = ( cn an )/( c a ) =

= cn –1 + cn –2 a + cn –3 a2 + … c2 an - 3 + can - 2 + an - 1 =

= (cn –1 + an –1 ) + ca(cn –3 + an –3 ) + … + c(n –1)/2 a(n –1)/2 =

= (cn –1 – 2c(n –1)/2 a(n –1)/2 + an –1 + 2c(n –1)/2 a(n –1)/2 ) + ca(cn –3 – 2c(n –3)/2 a(n –3)/2 + an –3 + 2c(n –3)/2 a(n –3)/2 ) +

+ … + c ( n –1)/2 a ( n –1)/2 = ( c a )2 P + nc ( n –1)/2 a ( n –1)/2 следует, что:

c a делится на n 2 , следовательно R делится на n и не делится на n 2 ;

так как R > n , то число R имеет простой сомножитель r не равный n ;

c a не делится на r ;

если b = nt b ' , где b '1 0 , то число c – a делится на ntn – 1 и не делится ntn .

§2. Лемма . Все n цифр ( a 1 di )1 , где di = 0, 1, … n – 1 , различны.

Действительно, допустив, что ( a 1 d 1 *)1 = ( a 1 d 1 **)1 , мы находим: (( d 1 * – d 1 **) a 1 )1 = 0 .

Откуда d 1 * = d 1 ** . Следовательно, множества цифр a 1 (здесь вместе с a 1 = 0 ) и d 1 совпадают.

[Пример для a 1 = 2 : 0: 2 x0 = 0 ; 1: 2 x3 = 11 ; 2: 2 x1 = 2 ; 3: 2 x4 = 13 ; 4: 2 x2 = 4 .

При составном nЛемма несправедлива: в базе 10 и (2х2)1 = 4 , и (2х7)1 = 4 .]

§2a. Следствие . Для любой цифры a 1 0 cуществует такая цифра di , что ( a 1 di )1 = 1 .

[Пример для a 1 = 1, 2, 3, 4: 1x1 = 1 ; 2x3 = 11 ; 3x2 = 11 ; 4x4 = 31 .]

ВИКТОР СОРОКИН

e - mail : victor.sorokine@wanadoo.fr

4 ноября 2004, Франция

P.S. Доказательство для случаев n = 3, 5 , 7 аналогично, но в (3°) цифра uk +1 превращается не в 5 , а в 1 , и в (1*°) равенство (1°) умножается не на 11 n , а на некоторое hn , где h – некоторое однозначное число.