Контрольная работа: Вычисление пределов функций, производных и интегралов
Название: Вычисление пределов функций, производных и интегралов Раздел: Рефераты по математике Тип: контрольная работа | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Содержание
Задание № 1 Задание № 2 Задание № 3 Задание № 4 Задание № 5 Задание № 7 Задание № 8 Задача № 4 Задача № 5 Задача № 6 Список литературы
Задание № 1
3. б) Найти пределы функции: Решение Одна из основных теорем, на которой основано вычисление пределов: Если существуют и , то: Следовательно: Ответ: предел функции Задание № 2 3. б) Найти производную функции: Решение Воспользуемся правилом дифференцирования сложных функций: Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f. Тогда Применим это правило к заданной функции: Ответ: Задание № 3 3. Исследовать функцию и построить ее график: Решение 1. Найдем область определения функции: D(y)=R 2. Исследуем функцию на четность и нечетность, на периодичность. Условие четности: f(x)=f(-x) Условие нечетности: f(-x)=-f(x) при x=1: y=0 при x=-1: y=-4 Условия не выполняются, следовательно, функция не является четной и нечетной. Периодической называется такая функция, значения которой не изменяются при прибавлении к аргументу некоторого (отличного от нуля) числа – периода функции. Функция
не периодична. 3. Найдем промежутки знакопостоянства, выясним поведение функции на концах промежутков. y=0 при ; Следовательно, имеем три промежутка: Определим знак на каждом промежутке: при x= -1 y=-4 < 0 при x= 0,5 y=0,125 > 0 при x= 2 y=2 > 0 Тогда: для , для Рассмотрим поведение функции на концах промежутков: 4. Найдем промежутки монотонности функции, ее экстремумы. Найдем производную функции:
при , - точки экстремума, они делят область определения функции на три промежутка: Исследуемая функция в промежутке – возрастает – убывает - возрастает 5. Найдем промежутки выпуклости графика функции, ее точки перегиба. Найдем вторую производную функции: при - точка перегиба Для , следовательно, график функции на этом интервале выпуклый вверх. Для , следовательно, график функции на этом интервале выпуклый вниз. 6. По полученным данным построим график функции. Рис. 3 График функции Задание № 4
Найти интеграл: 3. Решение Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением: F(x) + C. Записывают: Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке. Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановки: Ответ: . Задание № 5 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, используя определенный интеграл. Сделать чертеж. , , , . Решение. Построим график функции: при х=-2: y = 12 при х=-1: y = 5 при х=0: y = 0 при х=1: y = -3 при х=2: y = -4 при х=3: y = -3 при х=4: y = 0 при х=5: y = 5 Рис. 1 График Найдем точки пересечения графика функции с осью Оx:
Определим площадь полученной фигуры через определенный интеграл: кв. ед. Ответ: площадь фигуры, ограниченной заданными линиями = 13 кв. ед. Задание № 7. Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения, решить задачу Коши для заданных начальных условий: , при Решение Общий вид дифференциального уравнения: Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция от переменной x и произвольной постоянной C, обращающая уравнение в тождество. Общее решение, записанное в неявном виде , называется общим интегралом. Решение, полученное из общего при фиксированном значении С: , где - фиксированное число, полученное при заданных начальных условиях , называется частным решением, или решением задач Коши . Найдем общее решение или общий интеграл: - общее решение дифференциального уравнения Найдем частное решение для при Получаем: Ответ: - любое число.
Задание № 8 Найти вероятность случайного события. Условие: Брошена игральная кость. Какова вероятность того, что выпадет нечетное число очков? Что выпадет шестерка»? Решение. Вероятностью события А называется математическая оценка возможности появления этого события в результате опыта. Вероятность события А равна отношению числа, благоприятствующих событию А исходов опыта к общему числу попарно несовместных исходов опыта, образующих полную группу событий. .................................................................................................................. Исход опыта является благоприятствующим событию А, если появление в результате опыта этого исхода влечет за собой появление события А. Обозначим в данной задаче выпадение нечетного числа – событие А, выпадение «шестерки» – событие В. На игральной кости шесть граней, очевидно, что на трех из них число нечетное, на одной – «шестерка». Тогда в соответствии с записанными выше формулами получаем: . Ответ: 1. вероятность выпадения нечетного числа равна ; 2. вероятность выпадения «шестерки» равна .
Методы вычислений и ЭВМ
Задача № 4. Внедрение автоматизированного способа обработки информации снизило расходы на ее обработку с 238200 руб. до 50175 руб. Определите, на сколько процентов снизились расходы на обработку информации. Приведите рациональный алгоритм вычислений на МК. Решение:
Задача № 5 Расходы на перевозку почты во II квартале уменьшились на 2,5 % по сравнению с I кварталом; в III квартале увеличились на 2,9 % по сравнению со II кварталом; IV квартале они вновь увеличились на 3,1 % по сравнению с III кварталом. Определите с точностью до 0,1 %, как изменились расходы в IV квартале по сравнению с I кварталом. Запишите рациональный алгоритм вычислений на МК. Решение: По условию задачи задано последовательное изменение начального показателя N=100 процентов на Р1=2,5 %, Р2=2,9 %, Р3= 3,1 %. Тогда: Nn = 100(1-2,5/100)(1+2,9/100)(1+3,1/100) = 100(1-0,025)(1+0,029)(1+0,031) = 100*0,975*1,029*1,031 = 103,4 % Алгоритм выполнения этого вычисления на МК: 100 – 2,5 % + 2,9 % + 3,1 % Задача № 6 Бригаде монтажников за месяц начислено 16713 руб. Распределите заработную плату между членами бригады пропорционально следующим данным. Приведите рациональный алгоритм вычислений на МК, а также решение задачи с помощью табличного процессора (Excel, Super Calc и др.). Точность 0,01 руб.
Алгоритм решения на МК: 6,6 * 165 М+ 8,8 * 72 М+ 7,5 * 216 М+ 16713 / MR MR * 1089 = М+ C C 633,6 = М+ 1620 = М+ MR C Решение задачи с помощью табличного процессора Excel: 1. Ввод названий граф документа:
2. Ввод исходных данных:
3. Ввод расчетных формул:
4. Конечный результат:
Список литературы
1. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: АСТ, 2005. – 991 с. 2. Гусак А.А., Гусак Г.М., Бричкова Е.А. Справочник по высшей математике. – Минск. ТетраСистемс, 2004. – 640 с. 3. Гмурман В.Е. Теория вероятности и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1998. – 479 с. 4. Миносцев В.Б. Курс высшей математики. Часть 2. М. 2005. – 517 с. 5. Пономарев К.К. Курс высшей математики. Ч. 2. – М.: Инфра-С, 1974. – 520 с. |