Контрольная работа: Линейные функции
Название: Линейные функции Раздел: Рефераты по математике Тип: контрольная работа | |||
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2 ВАРИАНТ 2.3 № 1. Записать общее уравнение прямой, переходящей через точку М (-2, 4) перпендикулярно прямой x+2y+5=0. Найти площадь треугольника, образованного данной прямой с осями координат. Запишем уравнение прямой в виде: . Коэффициент К найдем из условия перпендикулярности прямых: Получим уравнение прямой: Сделаем чертеж
№ 2. Записать общее уравнение прямой, проходящей точку М (-2, 2) и отсекающей от первого координатного угла треугольник площадью S= 4,5 кв.ед. Сделаем схематический чертеж Площадь треугольника будет равна . Координаты точек А и В найдем из уравнения прямой, которое запишем в виде Из уравнения Получим прямую с угловым коэффициентом Значение соответствует прямой, которая отсекает треугольник площадью S=4,5 от третьего координатного угла.. № 3. Даны вершины треугольника А (2,1,0), В (3,-1,1) и С (1,2,-4). Записать общее уравнение плоскости, проходящей через сторону АВ перпендикулярно плоскости треугольника АВС. Общее уравнение имеет вид: Для нахождения A,B,C и в необходимо составить три уравнения. Два уравнения получим из условия, что искомая плоскость проходит через точки А и В. Третье — из условия, что искомая плоскость перпендикулярна плоскости, проходящей через три точки А, В и С. условие перпендикулярности плоскостей: Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки А, В, С по формуле: Разложим определитель по первой строке, подготовив числовые значения: Получим уравнение плоскости: Запишем условие перпендикулярности плоскостей: Условие, что искомая плоскость: через точку А: ; через точку В: . Получим систему уравнений: Складываем 2-е и 3-е уравнения: , 1-е уравнение умножаем на 2 и вычитаем из полученного: Из 1-го уравнения: . Из 3-го уравнения: . Принимаем , получаем . Уравнение плоскости имеет вид: № 4. Найти расстояние от точки до прямой . Расстояние r найдем по формуле расстояния от точки до прямой, заданной уравнением в канонической форме: № 5. Найти длину отрезка, отсекаемого от оси ординат плоскостью, которая проходит через точку перпендикулярно вектору , где В — точка пересечения медиан треугольника, вершины которого совпадают с точками пересечения осей координат с плоскостью Для нахождения решения найдем уравнение плоскости, которая проходит через точку А в заданном направлении и подставим в это уравнение значение . Для этого вначале найдем координаты точки В. Точку пересечения заданной плоскости с осью ОХ найдем из уравнения: с осью OY: с осью OZ: Получим треугольник с вершинами: . Найдем координаты середины стороны по формуле: . — середина стороны . Теперь найдем точку В, используя свойство: медианы треугольника делятся в точке пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. Используем формулу: Точка пересечения медиан имеет координаты . Найдем координаты вектора . Уравнение искомой плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору имеет вид: № 6. Две прямые параллельны плоскости . Первая прямая проходит через точку и пересекает ось абсцисс, вторая — через точку и пересекает ось ординат. Найти косинус острого угла между направляющими векторами этих прямых. Для нахождения направляющих векторов прямых используем условие параллельности прямой и плоскости и условие, что прямая проходит через ось абсцисс, т.е. выполняется соотношение в точке (x,0,0). подставляем из 1-го уравнения во второе, получим Полагаем тогда . Получили направляющий вектор первой прямой (6,-2,-3). Аналогично для второй прямой (она проходит через точку (0,y,0) Из второго уравнения Косинус найдем по формуле: № 7. Найти координаты центра окружности радиусом 5, касающейся прямой в точке М (2,0), если известно, что точка С расположена в первой четверти. Переформулируем задачу: Найти точку, лежащую на прямой, перпендикулярной прямой , проходящей через точку М (2,0) и отстоящую от нее на 5 ед. Запишем уравнение прямой в виде , коэффициент k найдем из условия перпендикулярности прямых Получаем уравнение прямой Используем формулу расстояния между двумя точками: По условию второе решение не походит, т.к. x<0. № 8. Дана кривая 8.1. Доказать, что эта кривая — гипербола. — это каноническое уравнение гиперболы. Приведем исходное уравнение к этому виду Это каноническое уравнение гиперболы. 8.2 Найти координаты ее центра симметрии. Сделаем схематический чертеж: Центр симметрии гиперболы в точке . . 8.3. Найти действительную и мнимую полуоси. 8.4. Записать уравнение фокальной оси. Фокальная ось проходит через фокус , р-фокальный параметр (половина хорды, проведенной через фокус перпендикулярно действительной оси). Уравнение , где 8.5. Построить данную гиперболу построение проведено в п.8.2. № 9. Дана кривая . 9.1. Доказать, что данная кривая — парабола. Каноническое уравнение параболы , заданное уравнение приведем к этому виду следовательно, имеем параболу. 9.2. Найти координаты ее вершины. Если уравнение параболы записано в виде , координаты вершины . 9.3. Найти значение ее параметра р. Из уравнения—— видно, что . 9.4. Записать уравнение ее оси симметрии. Данная ось проходит через вершину параболы перпендикулярно оси ОХ, ее уравнение . 9.5. Построить данную параболу. Все параметры известны. Найдем пересечение с осью OY. № 10. Дана кривая . 10.1. Доказать, что эта кривая — эллипс. Каноническое уравнение эллипса Общее уравнение кривой второго порядка: . Перепишем заданное уравнение: Введем обозначения: Если имеем эллипс. Проводим вычисления при a=8, b=6, c=17,d=-14, l=-23, f=-43. следовательно, исходная кривая — эллипс. 10.2. Найти координаты центра его симметрии. Применим формулу: 10.3. Найти его большую и малую полуоси. Для этого приведем уравнение к каноническому виду, вычислим: Уравнение запишем в виде: где Получим уравнение эллипса в новых координатах, где осями координат являются оси, полученные переносом начала координат в центр эллипса и поворотом осей на угол α, определяемый уравнением , при этом угловой коэффициент новой оси 10.4. Записать общее уравнение фокальной оси. Фокальная ось проходит через фокус перпендикулярно оси . В новых координатах . Воспользуемся формулой преобразования координат: Осталось составить уравнение прямой, проходящей через точку с коэффициентом наклона 2. Общий вид такой прямой , получим: 10.5. Построить данную кривую. Для этого в старой системе координат строим новую систему. Новые оси направлены по прямым — y=2x-1 и . Далее, определим вершины эллипса. В новых координатах они равны . В старых: |