Контрольная работа: Типовой расчет
Название: Типовой расчет Раздел: Рефераты по математике Тип: контрольная работа |
1. Найти сумму ряда: Решение. Разложим знаменатель на множители. Значит, Разложим дробь , используя метод неопределённых коэффициентов. то есть: , , Следовательно, Тогда, исходный ряд примет вид: Найдём n – первые членов ряда, записывая дроби с одинаковыми знаменателями друг под другом: = = = = = = = = Сложим n – первых членов ряда и найдём их сумму. . Тогда искомая сумма равна: . Ответ: . 2. Найти сумму ряда: Решение. Разложим дробь , используя метод неопределённых коэффициентов. то есть: , , , Следовательно, Тогда, исходный ряд примет вид: Найдём n – первых членов ряда , записывая дроби с одинаковыми знаменателями, друг под другом: = = = = = = = = Сложим n – первых членов ряда и найдём их сумму. . Тогда искомая сумма равна: Ответ: . 3. Исследовать ряд на сходимость Решение. Так как , то рассмотрим ряд , тогда Воспользуемся признаком Даламбера. , Тогда, Так как , то ряд сходится. Значит, исходный ряд сходится по теореме о сравнении рядов. Ответ: Ряд сходится. 4. Исследовать ряд на сходимость Решение. Преобразуем n – член этого ряда. Сравним ряд с рядом , пользуясь предельным признаком сравнения: , Тогда, Поскольку А = 1 (0<A<+∞) – действительное число. Следовательно, ряды либо сходятся, либо расходятся. Ряд - является рядом Дирихле. Так как α = 3 > 1, то данный ряд сходится. Следовательно, и сравниваемый ряд тоже сходится. Ответ: ряд сходится. 5. Исследовать ряд на сходимость Решение. Воспользуемся признаком Даламбера. , Находим m по формуле: Тогда: Так как , то ряд расходится. Ответ: ряд расходится. 6. Исследовать ряд на сходимость Решение. Рассмотрим ряд . Поскольку при : Воспользуемся признаком Даламбера. , Находим m по формуле: Тогда: Так как , то ряд сходится. Согласно признаку сравнения сходится и ряд . Ответ: ряд сходится. 7. Вычислить сумму ряда с точностью α.. α. = 0,001. Решение. Прежде чем находить сумму ряда необходимо убедиться, что данный ряд сходится. Проверим исходный ряд на сходимость. - числовой знакочередующейся. Воспользуемся признаком Лейбница: 1) 2) Следовательно, ряд условно сходится. Проверим абсолютную сходимость ряда . Рассмотрим ряд . Воспользуемся признаком Даламбера: , Находим m по формуле: Тогда: Следовательно, ряд сходится абсолютно. Вычисляем члены ряда с точностью до 4 цифр после запятой до тех пор, пока какой-нибудь член ряда по модулю не будет меньше α. = 0,001: а1 = -1,5 а2 = 0,1042 а3 = - 0,0016 а4 = 0,0000093 Для приближённого вычисления ряда достаточно первых трех членов ряда (по следствию признака Лейбница: сумма сходящегося знакопеременного числового ряда не превышает его первого члена). Следовательно, ошибка при вычислении не превысит 0,0000093, а, значит, и . Требуемая точность достигнута. Следовательно: . Ответ: . 8. Найти область сходимости функционального ряда Решение. Рассмотрим два интервала: 1) Проверим необходимый признак сходимости рядов: Необходимый признак не выполняется. Следовательно, при ряд расходится. 2) , то есть Проверим необходимый признак сходимости рядов: Необходимый признак не выполняется. Следовательно, при ряд расходится. При имеем: то есть ряд расходится. Окончательно, получаем ряд расходится при любом Х Ответ: 9. Найти область сходимости функционального ряда Решение. Воспользуемся признаком Даламбера: . В данном примере: , . Следовательно, ряд сходится при любом Х, т.е. Ответ: . 10. Найти сумму ряда: Решение. Найдём область абсолютной сходимости ряда, пользуясь признаком Даламбера: то есть . Ряд сходится для тех значений Х, для которых , то есть , . При ряд расходится, так как . Следовательно, . Перепишем данный ряд: Обозначим сумму трёх рядов через , и соответственно, тогда . Определяем область сходимости этих рядов, пользуясь признаком Даламбера: 1) : то есть . Ряд сходится для тех значений Х, для которых , то есть , . Следовательно, . 2) : то есть . Ряд сходится для тех значений Х, для которых , то есть , . Следовательно, . 3) : то есть . Ряд сходится для тех значений Х, для которых , то есть , . Следовательно, . Найдём сумму ряда . Это сумма бесконечной геометрической прогрессии: , тогда: . Найдём сумму ряда . . Обозначим сумму ряда в скобках за и проинтегрируем: . Продифференцируем : . Отсюда: сумму ряда . . Обозначим сумму ряд в скобках за и проинтегрируем: . Тогда, продифференцируем : Отсюда: . Следовательно: для всех . Ответ: для всех . |