Курсовая работа: Дифференциальные уравнения
Название: Дифференциальные уравнения Раздел: Рефераты по математике Тип: курсовая работа |
Министерство образования РФ Московский авиационный институт (государственный технический университет) Филиал "Восход" Кафедра МиПОИС Курсовая работа по курсу: Дифференциальные уравнения Студент гр. ДА 2-40 Воронцов О. В. Байконур 2005 г. 1. Теоретическая часть Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным Дифференциальные уравнения, которые приводятся к однородным, имеют вид: Возможны три случая: 1) Когда C1 =C2 =0 2) Когда Когда Вводятся новые переменные u и υ так, чтобы правая часть исходного уравнения в этих переменных была однородной функцией нулевого порядка. А именно, делается замена x=u+h, y= υ+k и подбираются постоянные h и k таким образом, чтобы в правой части исходного уравнения после подстановки пропали свободные члены. При подстановке x=u+h, y= υ+k в дробь приравниваются нулю свободные члены числителя и знаменателя, то есть записываются два равенства: Определитель данной системы линейных алгебраических уравнений: , не равен нулю по условию, поэтому система имеет единственное решение, то есть существует единственная пара чисел h и k, такая что при подстановке x=u+h, y= υ+k правая часть исходного уравнения принимает вид , а само уравнение: . Полученное уравнение является однородным 2. Практическая часть Задача 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения: Решение: – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными Разделим переменные: Проинтегрируем выражение: Ответ: Задача 2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения: Решение: Следовательно, исходное уравнение является однородным. Пусть Произведём замену в исходном уравнении: - дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными Разделим переменные: Проинтегрируем а затем пропотенцируем выражение: Но Ответ: Задача 3. Найти общий интеграл: Решение: - дифференциальное уравнение, приводящееся к однородному Введём новые элементы: , где h и k должны удовлетворять уравнениям: откуда Таким образом: откуда Подставляя это в исходное уравнение, получим Или Сделаем подстановку: - дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными Упростим левую часть выражения 1+z=A(z-1)+Bz Z1 : 1=A+B A=-1 z0 : 1=-A B=2 Проинтегрируем уравнение (**) ln|z|–2ln|z–1|=ln|U|+C Пропотенцируем и подставим значение z в выражение Упрощая данное выражение, получим: Ответ: Задача 4. Найти решение задачи Коши: Решение: – линейное уравнение Воспользуемся методом Бернулли: a) Разделим переменные: Проинтегрируем а затем пропотенцируем данное выражение: б) Разделяя переменные, подставляя значение υ и интегрируя выражение получим: Следовательно: Найдём значение С2 y|п /4 =1/2 Ответ: Задача 5. Решить задачу Коши: Решение: - линейное уравнение Воспользуемся методом интегрирующего множителя: Ответ: Задача 6. Найти решение задачи Коши: , y(0)=1 Решение: - уравнение Бернулли Подёлим данное уравнение на (:y2 ): Произведём замену и подставим её в исходное уравнение: z=y-1 Следовательно: - линейное уравнение Воспользуемся методом Бернулли: Откуда: Найдём значение С2 Следовательно: Ответ: Задача 7. Найти общий интеграл дифференциального уравнения: Решение: - дифференциальное уравнение в полных дифференциалах Следовательно, левая часть уравнения является полным дифференциалом некоторой функции (*) Интегрируем по x первое из уравнений (*), при этом считаем, что С является функцией от y: Дифференцируя полученное, имеем: Но Откуда: Следовательно: Ответ: Задача 8. Для данного дифференциального уравнения методом изоклин построить интегральную кривую, проходящую через точку М. Решение: Чтобы решить данное дифференциальное уравнение необходимо построить семейство изоклин, показать на них угол наклона касательных и построить интегральные кривые таким образом, чтобы они пересекали изоклины под соответствующим углом: Откуда В результате получим следующий график: Задача 9. Найти линию, проходящую через точку М0 и обладающую тем свойством, что в любой точке М нормальный вектор с концом на оси ординат имеет длину равную а и образует угол с положительным направлением оси ординат. М0 (6;4), a=10 Решение: Подставляя значения функции в точке M найдём значение С: Ответ: Задача 10. Найти общее решение дифференциального уравнения: Решение: - дифференциальное уравнение третьего порядка Пусть Подставив в исходное уравнение, получим: Проинтегрируем и поделим на х данное выражение: Следовательно: Разделяя переменные и вновь интегрируя, получим: Повторяем процедуру в третий раз и получаем искомое выражение для y Ответ: Задача 11. Найти общее решение дифференциального уравнения: Решение: Данное уравнение не содержит х в явном виде Предположим, что откуда Тогда исходное уравнение будет выглядеть так: Разделим переменные и проинтегрируем выражение: Но. Тогда Однако: . Поэтому разделим переменные и проинтегрируем выражение: Выясним значение С2 : Следовательно: Ответ: Задача 12. Найти общее решение дифференциального уравнения: Решение: - НЛДУ четвёртого порядка Решение будет записано в виде:
Запишем однородное линейное дифференциальное уравнение (ОЛДУ): Составим и решим для ОЛДУ характеристическое уравнение: k4 -3k3 +3k2 -k=0 k1 =0 k3 -3k2 +3k-1=0 k2 =1 по методу Горнера: 1 -3 3 -1 1 1 -2 1 0 k3 -2k2 +1=0 k3,4 =1 Общее решение будет равно: Найдём частное решение: 6A-2Ax-B=2x Откуда: Ответ: Задача 13. Найти общее решение дифференциального уравнения: Решение: - НЛДУ с постоянными коэффициентами Составим ОЛДУ и решим соответствующее характеристическое уравнение Решение НЛДУ запишется в виде: Общее решение: Найдём частное решение дифференциального уравнения: Подставим найдённое в исходное уравнение и выразим коэффициенты => Частное решение: Решение дифференциального уравнения: Ответ: Задача 14. Найти общее решение дифференциального уравнения Решение: - НЛДУ с постоянными коэффициентами
Общее решение Найдём частное решение: Подставим найдённое в исходное уравнение и выразим неизвестные коэффициенты: Частное решение уравнения: = Ответ: = Задача 15. Найти общее решение дифференциального уравнения: Решение: По определению гиперболического синуса: Найдём общее решение Найдём частное решение:
Подставив в исходные уравнения, найдём значения коэффициентов: Ответ: Задача 16. Решить задачу Коши: , , Решение: - НЛДУ Общее решение запишем в виде Запишем ОЛДУ и найдём корни его характеристического уравнения: Общее решение имеет вид: Найдём решение частное: , где С1 и С2 – решения системы дифференциальных уравнений По теореме Крамера: Интегрируя выражения, получим: Следовательно, решение будет выглядеть так: Найдём значения С1 и С2 Ответ: Задача 17. Решить систему дифференциальных уравнений Решение: Составим матрицу системы: Составим характеристическое уравнение det(A-λE)=0, то есть: Найдём собственные векторы 1) 2) Запишем общее решение системы уравнений Отсюда получаем: Ответ: Задача 18. Найти кривые, у которых точка пересечения любых касательных с осью абсцисс имеет абсциссу, вдвое меньшую абсциссы точки касания. Решение: Но => Разделим переменные: Проинтегрируем и пропотенцируем выражение: Ответ: |