Курсовая работа: Некоторые интерполяционные свойства конечномерных сетевых пространств и пространств Лоренца
Название: Некоторые интерполяционные свойства конечномерных сетевых пространств и пространств Лоренца Раздел: Рефераты по математике Тип: курсовая работа |
Министерство образования и науки республики Казахстан Северо-Казахстанский государственный университет им. М. Козыбаева Факультет информационных технологий Кафедра математики Курсовая работа "Некоторые интерполяционные свойства конечномерных сетевых пространств и пространств Лоренца" Петропавловск, 2007 Аннотация В данной курсовой работе исследованы свойства некоторых семейств конечномерных пространств и доказаны интерполяционные теоремы для этих классов пространств. Содержание Введение 1. Основные понятия и некоторые классические теоремы теории интерполяции 2. Общие свойства интерполяционных пространств 3. О норме и спектральном радиусе неотрицательныхматриц 4. Некоторые интерполяционные свойства семейств конечномерных пространств Заключение Список использованной литературы Теория интерполяции функциональных пространств как самостоятельная ветвь функционального анализа сформировалась за последние 40-45 лет. Она играет все возрастающую роль в анализе и его приложениях. Центральной темой теории является проблема интерполяции линейных операторов. Эта проблема тесно связана с задачей построения совокупности "промежуточных" пространств – арены, на которой действуют "промежуточные" операторы. Основополагающий вклад в теорию был сделан Эл.-Л. Лионсом, А.П. Кальдероном и С.Г. Крейном. При этом не следует, конечно, забывать, что исследованием названных авторов предшествовали (и стимулировали их) классические теоремы Рисса и Марцинкевича об интерполяции линейных операторов в пространствах lp . Теория интерполяция также применяется в других областях анализа (например, в теории уравнений с частными производными, численном анализе, теории аппроксимации). Рассматривают два существенно различных интерполяционных метода: метод вещественной интерполяции и метод комплексной интерполяции. Модельными примерами для этих методов служат доказательства теоремы Марцинкевича и теоремы Рисса-Торина соответственно. Один из самых ранних примеров интерполяции линейных операторов был предложен Шуром. Шур сформулировал свой результат для билинейных форм, или вернее для матриц, соответствующих этим формам. В 1926 году М. Рисс доказал первую версию теоремы Рисса-Торина с ограничением p≤q, которое как он показал, существенно в случае, когда в качестве скаляров берутся вещественные числа. Основным рабочим инструментом Рисса было неравенство Гельдера. Но в 1938 году Торин привел совершенно новое доказательство и смог устранить ограничение p≤q. В то время как Рисс пользовался вещественными скалярами и неравенством Гельдера, Торин использовал комплексные скаляры и принцип максимума. 1. Основные понятия и некоторые классические теоремы теории интерполяции Пусть (u,μ) – пространство с мерой μ, которую будем всегда предполагать положительной. Две рассматриваемые функции будем считать равными, если они отличаются друг от друга лишь на множестве нулевой μ-меры. При этом обозначим через lp (u,dμ) или просто (lp (dμ), lp (u) или lp ) лебегово пространство всех скалярнозначных μ-измерных функций f и u, для которых величина конечна, здесь 1≤p<∞. В случае, когда p=∞, пространство lp состоит из всех μ-измеримых ограниченных функций. В этом случае Пусть T- линейное отображение пространства lp =lp (u,dμ) в пространство lq =lq (v,dν). Это означает, что T(αf+βg)=αT(f)+βT(g). Если к тому же T- ограниченное отображение, то есть если величина конечна, то пишут T: lp®lq. Число μ называется нормой отображения T. Справедливы следующие известные теоремы: Теорема 1.1 (интерполяционная теорема Рисса-Торина) Предположим, что и что T: с нормой μ0 и T : с нормой μ1 . Тогда T: → с нормой μ, удовлетворяющей неравенству (*), при условии, что 0<θ<1 и ; . Неравенство (*) означает, что μ как функция от θ логарифмически выпукла, то есть lnμ – выпуклая функция. Доказательство теоремы приведено в [1]. Для скалярнозначной μ-измерной функции f, принимающей почти всюду конечные значения, введем функцию распределения m(σ,f) по формуле Ясно, что m(σ,f) представляет собой вещественнозначную функцию от σ, определенную на положительной вещественной полуоси . Очевидно, что m(σ,f) – невозрастающая и непрерывная справа функция. Кроме того, при 1≤p<∞ и . Используя функцию распределения m(σ,f), введем теперь слабые lp -пространства, обозначаемые через . Пространства , 1≤p<∞, состоит из всех функций f , таких что В предельном случае p=∞, положим . Заметим, что не является нормой при 1≤p<∞. Действительно, ясно, что Применяя неравенство , заключаем, что Последнее означает, что представляет собой так называемое квазинормированное векторное пространство. (В отличие от нормированных пространств, где выполняются неравенство треугольника , в квазинормированных пространствах имеет место лишь "квази-неравенство треугольника" для некоторого k≥1.) Однако, при p>1 в пространстве можно ввести норму, при наделении которой оно становится банаховым пространством. Теорема 1.2 (Интерполяционная теорема Марцинкевича) Пусть p0 ≠p1 и T: с нормой , T: с нормой . Положим ; , и допустим, что p≤q. Тогда T: →, с нормой μ, удовлетворяющей неравенству . Эта теорема, напоминает теорему Рисса-Торина, но отличается от нее во многих важных отношениях. Во-первых, здесь скаляры могут быть как вещественными, так и комплексными, в то время как в теореме Рисса-Торина обязательно нужно, чтобы скаляры были комплексными. Во-вторых здесь имеется ограничение p≤q. Наиболее важная особенность состоит в том, что в предпосылках теоремы пространства и заменены на более широкие пространства и . Таким образом, теорема Марцинкевича может оказаться применимой в тех случаях, где теорема Рисса-Торина уже не работает. 2 .Общие свойства интерполяционных пространствПусть A- векторное пространство над полем вещественных или комплексных чисел. Оно называется нормированным векторных пространством, если существует вещественнозначная функция (норма) , определенная на A, удовлетворяющая условием. 1) , причем 2) (λ-скаляр) 3) . Пусть A и B – два нормированных векторных пространства. Отображение T из A в B называется ограниченным линейным оператором, если , и . Ясно, что всякий ограниченный линейный оператор непрерывен. Пусть A0 и A1 – топологических векторных пространства. Говорят, что A0 и A1 совместимы, если существует отделимое топологическое векторное пространство U, такое, что A0 и A1 , являются подпространствами. В этом случае можно образовать сумму A0 + A1 , и пересечение A0 ∩A1 . Сумма состоит из всех aU, представимых в виде a=a0 +a1 , где a0 A, и a1 A, Справедлива следующая лемма Лемма 2.1. Пусть A0 и A1 -совместимые нормированные векторные пространства. Тогда A0 ∩A1 , есть нормированное векторное пространство с нормой
A0 + A1 , также представляет собой нормированное векторное пространство с нормой
При этом если A0 и A1 – полные пространства, то A0 ∩A1 и A0 + A1 также полны. Дадим некоторые важные определения: Категория σ состоит из объектов A,B,C…., и морфизмов R,S,T,…. между объектами и морфизмами определено трехместное отношение T: A↷B. Если T: A↷B и S: B↷C, то существует морфизм ST, называемый произведением (или композицией) морфизмов S и T, такой, что ST: A↷C. Операция взятия произведения морфизмов удовлетворяет закону ассоциативности: T(SR)=(TS)R. далее, для всякого объекта A из σ существует морфизм I=IA , такой, что для любого морфизма T: A↷ATI=IT=T Через σ1 обозначим категорию всех совместимых пар пространств из σ. Определение 2.1. Пусть =(A0 ,A1 )-заданная пара из σ1 . Пространство A из σ будем называть промежуточным между A0 и A1 (или относительно ), если имеют место непрерывные вложения. . Если, кроме, того T: ↷влечет T: A↷A, то A называется интерполяционным пространством между A0 и A1 . Более общим образом, пусть и - две пары из σ1 . Тогда два пространства A и B из σ называются интерполяционными относительно и соответственно и T: ↷влечет T: A↷B. Если выполнено , В этом случае, говорят, что A и B равномерные интерполяционные пространства. Определение 2.2 Интерполяционные пространства A и B называются пространствами типа θ (0≤θ≤1), если В случае с=1 говорят, что A и B- точные интерполяционные пространства типа θ. 3. О норме и спектральном радиусе неотрицательных матриц Хорошо известно, что проблема нахождения нормы линейного оператора, спектрального радиуса оператора являются трудной проблемой и в конечномерном случае. В то же время, иногда важно не вычисляя нормы оператора знать, как она изменится в случае некоторого преобразования. В данной работе изучается влияние распределения ненулевых элементов неотрицательной матрицы на норму соответствующего оператора и спектрального радиуса. Определим пространство как множество всех наборов вида a=(a1 , a2 ,…, aN ) с нормой . Множество Q={(k,l):k,l=1,…,N} назовем решеткой размерности NxN. Любое множество Q0 ={(ki ,lj ): , } будет являться подрешеткой размерности rxm. Спектральный радиус линейного оператора в конечномерном пространстве определяется следующим образом: r(A)=, где lk - собственные значения оператора A. Пусть m ≤ N, d1 ,…,dm - положительные числа. Через Dm обозначим множество неотрицательных матриц А, ненулевые элементы которых принимают значения d1 ,…,dm . Через P(A) обозначим множество индексов соответствующих положительным элементам. Пусть AÎDm . Если D={(ki ,lj ), i=1,…,q, j=1,…,p} подрешетка, содержащая P(A), то для соответствующего оператора А Как видно из этого определения, от перестановки строк и столбцов матрицы норма не меняется. Пусть даны положительные числа d1 ,…,dm и натуральное число m < N2 . Будем исследовать следующие вопросы: Как расположить числа d1 ,…,dm в решетке Q, чтобы норма линейного оператора AQ соответствующего решетке (матрице) Q была максимальной? Пусть в неотрицательной решетке Qm положительных элементов. Как расположить (m+1)-ый элемент, чтобы норма линейного оператора AQ соответствующей полученной решетке была максимальной? Как расположить числа d1 ,…,dm в решетке Q, чтобы спектральный радиус был минимальным (максимальным)? Справедливы следующие теоремы: Теорема 3.1 Пусть d1 ,…,dm положительные числа, Dm - класс неотрицательных матриц, ненулевые элементы которых принимают значения d1 ,…,dm . Если m ≤ N, Q0 -произвольная подрешетка размерности 1m, то . Доказательство. Воспользуемся определением и неравенством Коши-Буняковского, получаем Неравенство в обратную сторону очевидно. Теорема доказана. Данное утверждение говорит о том, что если ненулевых элементов меньше либо равно N, то своего максимума норма достигается когда все ненулевые элементы расположены в одной строке или в одном столбце. Теорема 3.2 Пусть d1 =…=dm =d, то есть Dm – множество всех матриц, имеющие m ненулевых элементов, которые равны числу d. Q0 -произвольная решетка, симметричная относительно главной диагонали размерности nn, где n=min{r: r2 ≥ m}. Тогда , где [m1/2 ] - целая часть числа m1/2 . Доказательство. Из свойства спектрального радиуса имеем для AÎDm . Пусть Q1 -подрешетка, также симметричная относительно главной диагонали размерности . Тогда для AÎDm , Q1 ÌP(A)ÌQ0 имеет место представление А=А1 +А0 , где А1 ,А0 ÎDm , Р(А1 )=Q1 , P(A0 )ÌQ1 \Q0 . Учитывая, что матрицы А0 и А1 неотрицательны, получаем , поэтому r(A0 )≤r(A). С другой стороны А1 – симметричная матрица и следовательно . Таким образом, . Теорема доказана. Теорема 3.3 Пусть множество GÌQ, где Q - решетка размерности nn таково, что, если (k,l)ÎG, то (l,m),(n,k)ÏG для всех n,mÎ{1,2,…,N}. Тогда, если P(A)ÌG, то r(P(A))=0. Доказательство. Не трудно проверить, что для матрицы А с ненулевыми элементами из G (т.е. P(A)ÌG) имеет место равенство А2 =0, т.е. А – нильпотентная матрица индекса 2 и следовательно у нее единственное собственное значение 0. Теорема доказана. Теорема 3.4 Пусть AÎDm . Пусть Q0 -минимальная подрешетка содержащая P(A), (Q0 ÉP(A)) такая, что в каждой строке и в каждом столбце находится хотя бы один элемент соответствующий нулевому элементу матрицы A. Пусть Ad – матрица, полученная из матрицы A добавлением элемента со значением d>0 в одно из свободных мест, тогда Доказательство. Так как норма оператора не зависит от перестановки строк и столбцов матрицы, то можно считать, что решетка A0 ={(i,j), i=1,…,l; j=1,…,m} расположена в левом верхнем углу матрицы A. Пусть добавлен еще один ненулевой элемент в с координатами (i0 ,j0 ) вне решетки Q0 . Возможны три случая: 1) 1 ≤ i0 ≤ l, j0 > m; 2) i0 > l, 1 ≤ j0 ≤ m; 3) i0 > l, j0 > m. Рассмотрим первый случай. Не уменьшая общности положим, что этот ненулевой элемент соответствует индексу (1, m+1). По условию теоремы в каждой строке и в каждом столбце имеется хотя бы один нулевой элемент и мы можем предположить, что a1 m =0. Получаем: Используя неравенства , имеем: Пусть z1 =x1 , z2 =x2 ,…,zm =и , тогда где элемент имеет координаты (1,m). Следовательно Рассмотрим второй случай. Пусть добавленный ненулевой элемент соответствует индексу (l+1,1). Учитывая, что в каждой строке и в каждом столбце решетки есть хотя бы один ненулевой элемент и то, что от перестановки строк норма матрицы не меняется, мы можем предположить, что al 1 =0. Аналогично первому случаю имеем: . Используя неравенства , получаем: . Пусть z1 =y1 , z2 =y2 ,…,zm =и , тогда где элемент имеет координаты (l,1). Следовательно Рассмотрим последний случай. Не уменьшая общности положим, что этот ненулевой элемент соответствует индексу (l+1, m+1). В этом случае нужно учесть, что от перестановки строк и столбцов норма матрицы не изменится, поэтому можно положить, что alm =0. Рассуждая также, как и в предыдущих случаях, получаем: где элемент имеет координаты (l,m). Теорема доказана. Аналогичные задачи для интегральных операторов были рассмотрены в работах [1], [5]. 4. Некоторые интерполяционные свойства семейств конечномерных пространств Пусть 1 ≤ p < ∞, 1 ≤ q ≤ ∞. Определим семейство конечномерных пространств: где невозрастающая перестановка последовательности . Обозначим через –множество всех непустых подмножеств из {1,2,...N} Пусть M , 1 ≤ p < ∞, 1 ≤ q ≤ ∞, множество M назовем сетью. Определим семейство конечномерных пространств |e| - количество элементов множества e. При q=∞ положим Данные пространства являются конечномерными аналогами сетевых пространств, введенных в [1]. Будем говорить что {AN } ↪ {BN } если существует константа c, такая что для любого , где c не зависит от . Лемма 4.1 Пусть 1 ≤ q <q1 ≤ ∞, 1 ≤ p ≤ ∞, . Тогда имеет место вложение ↪ то есть где с не зависит от выбора N. Доказательство. Пусть (1) то есть ↪ Теперь рассмотрим случай, когда 1 ≤ q <q1 < ∞, и воспользуемся неравенством (1) Лемма доказана. Лемма 4.2 Пусть 1≤p<p1 <∞, 1≤q,q1 ≤∞. Тогда имеем место вложение ↪ Доказательство. Согласно условию леммы, нам достаточно доказать вложения при p < p1 : ↪ Получаем: Лемма доказана. Лемма 4.3 Пусть 1<p<∞, 1≤q≤∞, M= . Тогда Равенства понимаются с точностью до эквивалентности норм, причем константы не зависят от. Доказательство. Сначала докажем соотношение: (2) Заметим, что Поэтому Теперь покажем обратное неравенство. Пусть . Учитывая выбор имеем. ~ ~ Заметим, что Согласно (2) получаем: то есть ↪. Докажем обратное включение. Пусть Введем следующие обозначения: Тогда . Пусть для определенности . Возможны следующие случаи: . В первом случае получаем, что . Во втором случае , следовательно . Представим , тогда . Здесь и далее - целая часть числа . Получаем Заметим, что существует такое, что Положим Тогда . . Таким образом, получаем Из того, что Имеем То есть . Следовательно ↪где соответствующие константы не зависят от N. Лемма доказана. Для пары пространств определим интерполяционные пространства аналогично [5] . Пусть , тогда где При q=∞ Лемма 4.4 Пусть , d>1. Тогда Справедлива следующая Теорема 4.1 Пусть ≤p0 <p1 <∞, 1<q0 ,q1 ≤∞, M – произвольная сеть. Тогда ↪ где Доказательство. Учитывая, что ↪нам достаточно, доказать следующее вложение ↪ Пусть Рассмотрим произвольное представление a=a0 +a1 , где тогда (3) Так как представление a=a0 +a1 произвольно, то из (3) следует Где Рассматривая норму элемента в пространстве и применяя лемму 4.4 , получаем: Теорема доказана. Теорема 4.2 Пусть 1≤p0 <p1 <∞, 1<q0 ,q1 ≤∞, Тогда имеет место равенство Это равенство понимается в смысле эквивалентности норм с константами, не зависящими N. Доказательство. По теореме 4.1 и того, что является обобщением пространств Лоренца нам достаточно доказать следующее вложение: ↩ . Определим элементы и следующим образом , тогда . Заметим что (4) где (5) где Тогда Из (4) и (5) имеем: Оценим отдельно каждое из слагаемых последнего равенства, используя неравенство Гельдера: ~ где . Таким образом, получаем, что Аналогично рассмотрим второе слагаемое: ~ ~ ~ Таким образом, получаем где c не зависит от . Теорема доказана. Теорема 4.3 Пусть - матрица , тогда ~ Причем соответствующие константы не зависят от Доказательство. Воспользуемся эквивалентными представлением нормы и неравенством о перестановках, получим ~ где - невозрастающая перестановка последовательности Применим неравенство Гельдера Учитывая лемму 3, имеем Обратно, пусть e произвольное множество из M1 , , где Тогда В силу произвольности выбора e из M1 получаем требуемый результат. Следствие. Пусть - матрица p0 <p1 , q0 <q1 , тогда Доказательство. Из теоремы 3 следует, что Воспользуемся интерполяционными теоремами 1,2, получаем то есть С другой стороны по лемме 1 и теореме 3 имеем , Следствие доказано. Заключение В данной курсовой работе приведены и доказаны некоторые свойства конечномерных пространств, а именно пространств Лоренца и сетевых пространств. Полученные результаты могут быть полезны для студентов, магистрантов, аспирантов и преподавателей. Кроме того, данный материал может быть использован для чтения спецкурсов и спецсеминаров. Список использованной литературы 1. Берг Й., Лефстрем Й. Интерполяционные пространства. Введение. М.: Мир, 1980. 2. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. М.: Наука, 1965. 3. Костюченко А.Г., Нурсултанов Е.Д. Об интегральных операторах в пространствах. Фундаментальная и прикладная математика. Т.5. №2, 1999. С. 475-491. 4. Костюченко А.Г., Нурсултанов Е.Д. Теория управления катастрофами. //Успехи математических наук, 1998. Т.53. Выпуск 2. 5. Нурсултанов Е.Д. Сетевые пространства и неравенства типа Харди-Литтлвуда //Матем.сборник.-1998.-Т.189, №3.-С.83-102. 6. Таджигитов А.А. О зависимости нормы матрицы от взаимного расположения ее элементов. // Материалы Международной научной конференции "Современные проблемы теории функций и их приложения", Саратов, Россия, 2004, с. 177-178. 7. Таджигитов А.А. О норме и спектральном радиусе неотрицательных матриц. //Материалы Международной научно-практической конференции "Современные исследования в астрофизике и физико-математических науках", Петропавловск, 2004, с. 104-107. 8. Таджигитов А.А. Интерполяционные свойства конечномерных пространств. //Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов 2005", Астана, 2005, с. 41-42. |