Реферат: Нормированное пространство. Банахово пространство
Название: Нормированное пространство. Банахово пространство Раздел: Рефераты по математике Тип: реферат |
Кустанайский государственный педагогический институт Естественно-математический факультет Кафедра высшей математики Реферат На тему: Нормированное пространство. Банахово пространство Ванжа Галина Проверила: ст. преподаватель Нурмагамбетова А.А. г. Кустанай 2010. Содержание Введение Основные понятия и определения 1. Линейные пространства 2. Нормированные пространства 3. Банаховы пространства 4. Компактные множества Введение В данной работе изучаются такие важные элементы функционального анализа как линейно-нормированные пространства. Изучение пространств актуально в современном процессе изучения теорий функций и поэтому необходимо рассмотреть все основные аспекты теории нормированных пространств. Цель: изучить структуру построения нормированного пространства, рассмотреть банахово пространство. Для того чтобы определить роль нормированных пространств, необходимо рассмотреть понятие линейного пространства и что оно собой представляет. На основе линейного пространства можно перейти к изучению нормы, а затем ввести понятие «нормированного пространства», определить, что является его подпространством. Одной из поставленных задач является: развить понятие Банахова пространства. Для ее решения используется внутренняя логика развития теории нормированных пространств. Основные понятия и определения 1. Линейные пространства Определение: Непустое множество элементов называется линейным, если оно удовлетворяет таким условиям: I. Для любых двух элементов определен единственный элемент, называемый суммой и обозначаемый, причем 1); 2); 3) в существует такой элемент 0, что для всех; 4) для каждого существует такой элемент, что. II. Для любого числа и любого элемента определен элемент, причем 1); 2); 3); 4); Примеры линейных пространств 1. Пространство действительных чисел является линейным пространством по операциям сложения и умножения. 2. – пространство, элементами которого являются последовательности чисел, удовлетворяющих условию с операциями, 3. Последовательности, сходящиеся к 0, с теми же операциями сложения и умножения, также образуют линейное пространство. Обозначаем его С0. 2. Нормированные пространства Нормированные пространства объединяют структуры линейных пространств. Будем рассматривать некоторое линейное пространство. Полунормой называют функционал p, определённый на и удовлетворяющий следующим аксиомам: 1. (неотрицательность), 2. (аксиома треугольника), 3. для любого числа (абсолютная однородность). Нормой называют функционал p, удовлетворяющий следующим аксиомам: 1., 2., 3. (аксиома треугольника), 4. для любого числа (абсолютная однородность). Таким образом, норма - это полунорма, на которую наложено дополнительное условие: норма равна нулю только на нулевом элементе. Определение: Нормированным пространством называют линейное пространство с заданной на нём нормой. Норму элемента линейного пространства обозначают. Любое нормированное пространство можно рассматривать как метрическое, если ввести в нём метрику следующим образом Такую метрику называют метрикой, индуцированной нормой. Это означает, что на нормированные пространства можно перенести все понятия и факты, относящиеся к метрическим пространствам. В частности, сходимостью по норме называется сходимость в метрике, индуцированной данной нормой. Непрерывность линейных операций и нормы. В нормированном пространстве сумма, произведение на число и норма непрерывны: если последовательности {xn} и {yn} сходятся по норме соответственно к x и y: и, а числовая последовательность {an} сходится к пределу a, то Рассмотрим, сумму двух элементов: Так как и, то правая часть неравенства сходится к нулю, а значит, к нулю сходится и его левая часть. Непрерывность суммы доказана. Докажем теперь непрерывность умножения вектора на число. Для этого нам нужно доказать, что числовая последовательность сходится к нулю. Представим разность anxn − ax следующим образом: Согласно аксиоме треугольника для нормы: Рассмотрим каждое из слагаемых по отдельности: Таким образом, мы установили, что непрерывность операции умножения на число доказана. Наконец, докажем непрерывность нормы. Каждый элемент xn можно представить в виде xn = (xn − x) + x, по аксиоме треугольника: или Аналогично можно доказать, что объединяя два этих неравенства, получим: По определению сходимости по норме, значит, то есть. Непрерывность нормы доказана. Примеры нормированных пространств 1. Вещественная прямая R1 является нормированным пространством, если в качестве нормы взять модуль вещественного числа. 2. В действительном конечномерном пространстве Rn норму можно ввести нескольким способами. Наиболее широко известна Евклидова норма: Другие возможные нормы: В комплексном n-мерном пространстве норму можно ввести следующим образом: 3. В пространстве непрерывных на отрезка [a,b] функций C[a,b] норму можно задать формулой 4. Пусть М – пространство ограниченных числовых последовательностей Х = (х1,х2,…,хп,…), положим: ||x||=sup|xn|. Подпространства нормированного пространства Рассматривая линейные пространства (без нормы), мы называли подпространством непустое множество L0 обладающее тем свойством, что если этому множеству принадлежат два элемента x и y пространства L, то любая линейная комбинация этих элементов также принадлежат этому множеству: Подпространством нормированного пространства мы будем называть только замкнутое подпространства. Определение: Линейным замыканием системы элементов {xn} или подпространством нормированного пространства, порождённым системой элементов {xn}, называется наименьшее замкнутое подпространство, содержащее все элементы данной системы. Произвольную (то есть не обязательно замкнутую) совокупность элементов, содержащую вместе с x и y произвольную их линейную комбинацию ax + by будем называть линейным многообразием. Система элементов нормированного пространства R называется полной, если её линейное замыкание есть само R. Фактор-пространства нормированного пространства. Пусть R — линейное нормированное пространство, а R' — некоторое его подпространство. Рассмотрим фактор пространство З = R / R'. Как известно, фактор-пространство является линейным пространством. В этом пространстве можно ввести норму, положив для данного класса Докажем, что все аксиомы нормы действительно выполняются. Так как, то и Нулевым элементом з0 фактор-пространства R / R' является подпространство R'. Так как всякое подпространство должно содержать нулевой элемент, то Обратно, если, то из непрерывности нормы следует, что в классе з можно указать последовательность элементов, сходящихся к нулевому элементу, но так как в подпространство линейного пространство замкнуто по определению, то замкнуты все классы смежности, а значит з = R' = з0 Для всякого элемента и числа имеет место равенство Возьмём слева и справа нижнюю грань по з: С другой стороны, в силу того, что фактор-пространство является линейным пространством, имеет место равенство Рассмотрим два класса смежности выберем в каждом классе по представителю Тогда возьмём нижнюю грань от левой и правой части этого неравенства: Таким образом, все аксиомы нормы действительно выполнены. 3. Банаховы пространства Определение: Расстоянием (метрикой) между двумя элементами и называется вещественное неотрицательное число, обозначаемое и подчиненное трем аксиомам: 1); 2); 3); Определение: Последовательность точек метрического пространства называется фундаментальной, если при Справедливы утверждения: 1. Если последовательность сходится к некоторому пределу, то она фундаментальна Доказательство: пусть, тогда, при 2. Всякая фундаментальная последовательность ограничена Определим расстояние в нормированном пространстве, полагая для любых. Тогда означает, что . Это сходимость по норме. Фундаментальная последовательность в нормированном пространстве в соответствии с определением расстояния характеризуется условием, при Определение: Нормированное пространство называется полным, если всякая фундаментальная последовательность его элементов имеет предел. Определение: Полное нормированное пространство называется банаховым пространством. Литература 1. Колмогоров, А.Н. Элементы теорий функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. ¬¬– М.: Физматлит, 1967. 2. Князев, П.Н. Функциональный анализ / П.Н. Князев– Изд. 2, перераб. М., 1979. 3. Люстерник, Л.А. Элементы функционального анализа/ Л.А. Люстерник В.И. Соболев– М., 1980. |