Контрольная работа: Теория вероятностей
Название: Теория вероятностей Раздел: Рефераты по математике Тип: контрольная работа |
Министерство образования и науки Российской Федерации Бузулукский гуманитарно-технологический институт (филиал) государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Факультет заочного обучения Кафедра физики, информатики, математики Контрольная работа по дисциплине Математика Руководитель работы: Шабалина Л.Г. Исполнитель: Студент з-09 ПГС группы Сушков Е.А. Бузулук 2010 Задание 1 1. Рабочий обслуживает три станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа 1-й станок не потребует внимания рабочего, равна 0,9; для второго - 0,8; для третьего – 0,85. Какова вероятность того, что в течение часа: а) ни один станок не потребует внимания рабочего; б) все три станка потребуют внимания рабочего; в) какой-нибудь один станок потребует внимания рабочего; г) хотя бы один станок потребует внимания рабочего? Решение: IIIIII P0, 9 0, 8 0, 85 а) А (i =1,2,3) – не потребует внимания станок в течение часа В – событие, где все 3 станка не потребуют внимания рабочего в течение часа Р (В) = Р (А1 × А2 × А3) = Р(А1) × Р(А2) × Р(А3) = 0,9 × 0,8 × 0,85 = 0,612 б) А (i =1,2,3) – не потребует i-й внимания станок Ᾱ (i =1,2,3) – потребует i-й внимания станок, независимое событие Р (Ᾱ 1) = 1 – 0,9 = 0,1 Р (Ᾱ 2) = 1 – 0,8 = 0,2 Р (Ᾱ 3) = 1 – 0,85 = 0,15 Р (Ᾱ 1 × Ᾱ 2 × Ᾱ 3) = (0,1 × 0,2 × 0,15) = 0,003 в) Ᾱ 1 = 0,1; Ᾱ 2 = 0,2; Ᾱ 3 = 0,85 Аi – один станок потребует внимания рабочего в течение часа Р (В) = Р (А1 × Ᾱ 2 × А3 + Ᾱ 1 × А2 × А3 + А1 × А2 × Ᾱ 3) = (0,9× 0,2 × 0,85 + 0,1 × 0,8 × 0,85 + 0,9 × 0,8 × 0,15) = 0,329 г) Найдём вероятность через противоположное событие, т.е. ни один станок не потребует внимания рабочего в течение часа Р (А1 × А2 × А3) = Р (А1) × Р (А2) × Р (А3) = 0,9 × 0,8 × 0,85 = 0,612 Р ( С) = 1 – 0,612 = 0,388 Ответ: а) вероятность равна 0,612, что в течение часа ни один станок не потребует внимания рабочего; б) вероятность равна 0,003, что в течение часа все три станка потребуют внимания рабочего; в) вероятность равна 0,329, что в течение часа какой-нибудь один станок потребует внимания рабочего; г) вероятность равна 0,388, что в течение часа хотя бы один станок потребует внимания рабочего. Задание 2 Ящик содержит 10 деталей, среди которых 3 стандартные. Найти вероятность того, что среди отобранных 5 деталей окажутся: а) только 2 стандартные детали; б) все детали нестандартные; в) все детали стандартные; г) хотя бы одна деталь стандартная. Решение: а) число способов, где взяли 5 деталей из 10 детали, можно подсчитать по формуле: С2 – число способов, где взяли 2 стандартные детали из 3-х нестандартных С3 – число способов, где взяли 3 стандартные детали из 7-ми нестандартных С5 – всего способов, где взяли 5 стандартных деталей из 10-ти С2 =__3!___ = 3 С3 = __7!___ = 35 С5 = __10!___ = 252 2! × 1! 3! × 4! 5! × 5! С3 × С7 = 3 × 35 = 0,417 С5 252 б) С7 – число способов выбора, где взяли 5 деталей из 7-ми С5 = __7!__ = 21 5! × 2! Число выбора деталей считается в сочетании С5 = 1 С7 – число способов, где взяли 5 деталей из 7-ми С10 – всего способов, где взяли 5 деталей из 10-ти Искомая вероятность Р ( Д): Р (Д) = С7 × С3 = 21 × 1 = 0,083 С10 252 в) Событие, где взяли 5 стандартных деталей из 3-х стандартных деталей невозможно. Вероятность равна нулю. г) Найдём искомую вероятность через противоположное событие: С7 – число способов, где взяли 5 нестандартных деталей из 7-ми С3 – число способов выбора из 3-х С10 – всего способов, где взяли 5 деталей из 10-ти С7 × С3 = 0,083 - искомая вероятность равна результату под пунктом б). С10 Ответ: а) Если среди отобранных 5 деталей окажутся только 2 стандартные детали, то вероятность равна 0,417; б) если среди отобранных 5 деталей окажутся все детали нестандартные, то вероятность равна 0,083; в) если среди отобранных 5 деталей окажутся все детали стандартные, то вероятность равна 0; г) если среди отобранных 5 деталей окажется, хотя бы одна деталь стандартная, то вероятность равна 0,083. Задание 3 Имеется 2 ящика изделий, причем в одном ящике все изделия доброкачественны, а во втором - только половина. Изделие, взятое наудачу из выбранного ящика, оказалось доброкачественным. На сколько отличаются вероятности того, что изделие принадлежит первому и второму ящику, если количество изделий в ящиках одинаково? Решение: I ящик II ящик Доброкачественные 50 × 50 изделия Н1 – взяли из I ящика с доброкачественными изделиями, то Р ( Н1) = 0,5 Н2 – взяли из II ящика, то Р ( Н2) = 0,5 Событие А, где взяли доброкачественную деталь, Р ( А ǀ Н1) = 1 Событие А ǀ Н1 – доброкачественная деталь из I ящика Событие А ǀ Н2 – из II ящика, Р ( А ǀ Н2) = 0,5 Тогда искомая вероятность Р ( А ) =Р ( Н1 ) × Р ( А ǀ Н1 ) + Р ( Н2 ) × Р (А ǀ Н2) Р ( А) = 0,5 × 1 + 0,5 × 0,5 = 0,5 + 0,25 = 0,75 Р ( Н1 ) × Р ( А ǀ Н1 ) ˃ Р ( Н2 ) × Р ( А ǀ Н2) Ответ: Если изделие принадлежит первому и второму ящику, и количество изделий в ящиках одинаково, то вероятности отличаются на 0,75. Задание 4 В ящике находятся изделия, сделанные на трех станках: 20 – на первом станке, 18 - на втором и 14 - на третьем. Вероятности того, что изделия, изготовленные на первом, втором и третьем станках, отличного качества, соответственно, равны 0,7; 0,85; 0,9. Взятое наудачу изделие оказалось отличного качества. Какова вероятность того, что оно изготовлено на втором станке? Решение: IIIIII 20 18 14 0,7 0,85 0,9 Р ( А ǀ Н1 ) = 0,7 Р ( А ǀ Н2 ) = 0,85 Р ( А ǀ Н3 ) = 0,9 Р ( А) = 0,7 × 0,85 × 0,9 = 0,536 А – взятое изделие отличного качества из II станка Искомая вероятность равна: Р ( Н2 ǀ А ) = ________ Р ( Н2 ) × Р ( А ǀ Н2) Р ( Н1 ) × Р ( А ǀ Н1 ) + Р ( Н2 ) × Р ( А ǀ Н2 ) + Р ( А ǀ Н3) Где Н1, Н2, Н3 – соответственно изготовлено изделий на станках I, II и III. Р ( А ǀ Н1) = 0,7 – вероятность отличной детали I станка Р ( А ǀ Н2) = 0,85 – вероятность отличной детали II станка Р ( А ǀ Н3) = 0,9 – вероятность отличной детали III станка Р ( Н2 ǀ А) = ________ 0,346 × 0,85 ______________ = 0,294 = 0,365 0,385 × 0,7 + 0,346 × 0,85 + 0,269 × 0,9 0,806 Ответ: Вероятность равна 0,365, что взятое наудачу изделие оказалось отличного качества изготовлено на втором станке. Задание 5 Найти вероятность того, что событие А произойдет не менее 2 раз в 4 независимых испытаниях, если вероятность наступления события А в одном испытании равна 0,6. Решение: Событие А произойдёт не менее 2-х раз в 4 независимых испытаниях Р ( А ) = р Р ( А) = Сm × рm × qn - m Р = 0,6 q = 1 – р = 1 – 0,6 = 0,4 – вероятность противоположного события. Нет наступления события А в 1-ом испытании. Найдём произведение npq и определим формулу вычисления: вероятность случайный величина интегральный n = 4 npq = 4 × 0,6 × 0,4 = 0,96 Можно использовать формулу Бернули: Р ( А) = С2 × p2 × q2 + С3 × р3 × q1 + С4 × р4 × q0 Найдём через противоположное событие: Р ( А) = 1 – С0 × p0 × q4 + С1 × p1 × q3 = 1 – 1 × 1 × (0,4)4 + 4 × 0,6 × (0,4)3 = 1 – 0,0256 + 4 × 0,6 × 0,064 = 0,9744 + 0,1536 = 1,128 С4 = __4!__ = 4 1! × 3! Ответ: Если событие А произойдет не менее 2 раз в 4 независимых испытаниях, то вероятность равна 1,128. Задание 6 Вероятность того, что пара обуви, наудачу из изготовленной партии, окажется 1-го сорта, равна 0,7. Определить вероятность того, что из 2100 пар, поступающих на контроль, число пар первосортной обуви окажется не менее 1000 и не более 1500. Решение: Для решения задачи используем интегральную формулу Муавра – Лапласа. Вероятность событий Рn (m1 ˂m˂m2) = Ф (х2) – Ф (х1) р = 0,7; n = 2100; m1 = 1000; m2 = 1500; q = 0,3 х1 = _m1 – np_ = 1000 – 2100 × 0,7 = 1000 – 1470 = – 470 = – 22,38 √ npq√2100 × 0,7 × 0,3 √441 21 х2 = _m2 – np_ = 1500 – 2100 × 0,7 = 1500 – 1470 = _30_ = 1,43 √ npq√2100 × 0,7 × 0,3 √441 21 Ф ( – х) = – Ф (х) Ф (– 22,38) = 0,5 Ф (– 22,38) = 0,4236 Ф (х2) – Ф (х1) = Ф (х2) + Ф (х1) = 0,5 + 0,4236 = 0,9236 Ответ: Если число пар первосортной обуви окажется не менее 1000 и не более 1500, то из 2100 пар, поступающих на контроль, равна вероятности 0,9236. Задание 7 Случайная величина Х задана интегральной функцией F(x). Требуется: а) найти дифференциальную функцию f(х) (плотность вероятности), б) найти математическое ожидание и дисперсию Х, в) построить графики интегральной и дифференциальной функций, г) вероятность попадания случайной величины Х в интервал . Решение: По определению Fʹ (х) = f(х) 0, при х ≤ 0 f ( х) = х2 , при 0 ˂ х ≤ 2 1, при х ˃ 2 Fʹ ( х ) = 0ʹ = 0 Fʹ ( х ) = ( х2 ÷ 4 )ʹ = 0,5х Fʹ ( х ) = 1ʹ = 0 в) Построение графиков интегральной и дифференциальной функции. б) М (Х) = х f (х) dx = 0 dx+ х × _1_ dx + 0 dx =_ 1_ × х3 ÷ 3 = х3 ÷ 6 = 2 2 =_ 23_ – _03 = 8 – 0 = 4 = а 6 6 6 3 Д (Х) = (х – _4_)2 f (х) dx = 0 (х – _4)2 f (х) dx + (х – 4)2 1 х dx+ 3 3 3 2 + (х – 4_)2 f(х) dx = (1 х3 – 4 х2 + 8 х) dx = (1_× х4 - 4_× х3 + 8_× х2) = 3 2 3 9 2 3 9 = 1_ × 24 – 4 × 23 + 8_ × 22 = 16 – 32 + 16 = 144 – 128 = 16 = _2_ 2 4 3 3 9 2 8 9 9 72 72 9 г) Р ( 1 ˂ Х ˂ 2) = F(в) – F(а) 22 × 1 – 12 × 1 = _1 – _1 = _1_ –– 3 4 3 4 9 12 12 вероятность попадания в этот промежуток. Ответ: М (Х) = _4 = а ; Д (Х) = _2 ; Р ( 1 ˂ Х ˂ 2) =_ 1_ 3 9 12 Задание 8 Найти вероятность попадания в заданный интервал ( a,b ) нормально распределенной случайной величины Х, если известны ее математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение s. a = 2, b = 13, а = 10, s = 4. Решение: Если случайная величина Х нормально распределена, то она является непрерывной случайной величиной, и М (Х) вычисляется, как: (a + b) ÷ 2, а Д (Х) вычисляется, как: (b-a) ÷ (в-а), и s связаны формулой √ Д. Тогда вероятность: Р { Х ϵ [a,b] } будет вычисляться по формуле: Ф ( ( b–a ) ÷ s) – Ф ( (a–b) ÷ s ). М (Х) = (a + b) ÷ 2 = (2 + 13) ÷ 2 = 7,5 Д (Х) = (b - a)2 ÷ 12 = 9 ÷ 12 = 0,75 s = √ Д = √ 0,75 = 0,87 × 100 = 87 То искомая вероятность находится по формуле: Р (a˂ Х ˂b ) = Ф ( ( b–a ) ÷ s ) – Ф ( (a–b) ÷ s ) = Ф ((13 – 10) ÷ 4) – Ф ((2 – 10) ÷ 4) = Ф (0,75) – Ф (– 2) = Ф (0,75) + Ф (2) = 0,2734 + 0,5 = =0,773 Где Фх – функция Лапласа, которую находим по таблице. Ответ: Вероятность попадания в заданный интервал ( a,b ) нормально распределенной случайной величины Х, равна 0,773. Задание 9 Найти доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения с надежностью 0,95, если выборочная средняя , объем выборки n и среднее квадратическое отклонение s. = 12, 15, n = 169 s = 5 Решение: Находим доверительные интервалы: х – t γ ˂ а ˂ х + t γ √ n √ n где Ф (t) = Ф (γ ÷ s) → t = (γ ÷ s) = (0,95 ÷ 5) = 0,19 х – t γ = 12,15 – 0,19 × 0,95 = 12,15 – 0,01 = 12,14 √ n √ 169 х + t γ = 12,15 + 0,19 × 0,95 = 12,15 + 0,01 = 12,16 √ n √ 169 Ответ: Доверительные интервалы 12,14 ˂ а ˂ 12,16. Литература 1. Севастьянов Б.А., Чистяков В.П, Зубков А.М. Сборник задач по теории вероятностей – М.: Наука, 1980. 2. Шипачев В.С. Высшая математика. М.: Высшая школа, 2004. 3. Чистяков В.П. Курс теории вероятности, М.: 2001. 4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.- М.: Высшая школа, 2003. 5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.- М.: Высшая школа, 2003. 6. Данко П.Е и др. Высшая математика в упражнениях и задачах (I и II часть).-М, 2005. 7. Богаров П.П., Печинкин А.В. Теория вероятностей. Математическая статистика – М.: 1998. 8. Венцель Е.С. Теория вероятностей – М.: 1962. 9. Солодовников А.С. Теория вероятностей М.: Просвещение, 1978. 10. Виленкин Н.Я., Потапов В.Т. Задачник-практикум по теории вероятности с элементами комбинаторики и математической статистики. 11. Кремер Н.Ш.: «Теория вероятностей и математическая статистика»; М.ЮНИТИ – Дана, 2003. |