Контрольная работа: Классический метод наименьших квадратов
Название: Классический метод наименьших квадратов Раздел: Рефераты по экономико-математическому моделированию Тип: контрольная работа |
Алтайский институт труда и права (филиал)Академии труда и социальных отношенийФинансово-экономический факультетКОНТРОЛЬНАЯ РАБОТАпо дисциплине Эконометрика на тему Классический метод наименьших квадратов Студента 3 курса 681 группы Бахтеевой Татьяны Михайловны 2010 Метод наименьших квадратов (МНК) – один из наиболее широко используемых методов при решении многих задач восстановления регрессионных зависимостей[1] . Впервые МНК был использован Лежандром в 1806 г. для решения задач небесной механики на основе экспериментальных данных астрономических наблюдений. В 1809 г. Гаусс изложил статистическую интерпретацию МНК и тем самым дал начало широкого применения статистических методов при решении задач восстановления регрессионных зависимостей. Строгое математическое обоснование и установление границ содержательной применимости метода наименьших квадратов даны А.А. Марковым и А.Н. Колмогоровым. Ныне способ представляет собой один из важнейших разделов математической статистики и широко используется для статистических выводов в различных областях науки и техники. Приведу краткое описание данного метода. Метод наименьших квадратов — один из методов регрессионного анализа для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащих случайные ошибки. Применяется также для приближённого представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто оказывается полезным при обработке наблюдений. В настоящее время широко применяется при обработке количественных результатов естественнонаучных опытов, технических данных, астрономических и геодезических наблюдений и измерений. Можно выделить следующие достоинства метода: а) расчеты сводятся к механической процедуре нахождения коэффициентов; б) доступность полученных математических выводов. Основным недостатком МНК является чувствительность оценок к резким выбросам, которые встречаются в исходных данных. Рассмотрю применение классического метода наименьших квадратов для нахождения неизвестных параметров уравнения регрессии на примере модели линейной парной регрессии. Пусть подобрана эмпирическая линия, по виду которой можно судить о том, что связь между независимой переменной и зависимой переменной линейна и описывается равенством: (1) Необходимо найти такие значения параметров и , которые бы доставляли минимум функции (1), т. е. минимизировали бы сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений результативного признака от теоретических значений (значений, рассчитанных на основании уравнения регрессии): (2) При минимизации функции (1) неизвестными являются значения коэффициентов регрессии и Значения зависимой и независимой переменных известны из наблюдений. Для того чтобы найти минимум функции двух переменных, нужно вычислить частные производные этой функции по каждой из оцениваемых параметров и приравнять их к нулю. В результате получаем стационарную систему уравнений для функции (2): регрессивный оценка обработка результат Если разделить обе части каждого уравнения системы на (-2), раскрыть скобки и привести подобные члены, то получим систему: Эта система нормальных уравнений относительно коэффициентов и для зависимости Решением системы нормальных уравнений являются оценки неизвестных параметров уравнения регрессии и : Где - среднее значение зависимого признака; - среднее значение независимого признака; - среднее арифметическое значение произведения зависимого и независимого признаков; - дисперсия независимого признака; - ковариация между зависимым и независимым признаками. Рассмотрим применение МНК на конкретном примере. Имеются данные о цене на нефть (долларов за баррель) и индексе акций нефтяной компании (в процентных пунктах). Требуется найти эмпирическую формулу, отражающую связь между ценой на нефть и индексом акций нефтяной компании исходя из предположения, что связь между указанными переменными линейна и описывается функцией вида Зависимой переменной в данной регрессионной модели будет являться индекс акций нефтяной компании, а независимой - цена на нефть. Для нахождения коэффициентов и построим вспомогательную таблицу (1). Таблица 1. Таблица для нахождения коэффициентов и Запишем систему нормальных уравнений исходя из данных таблицы: Решением данной системы будут следующие числа: Таким образом, уровень регрессии, описывающее зависимость между ценой на нефть и индексом акций нефтяной компании, можно записать как: На основании полученного уравнения регрессии можно сделать вывод о том, что с изменением цены на нефть на 1 денежную единицу за баррель индекс акций нефтяной компании изменяется примерно на 15, 317 процентных пункта. Метод наименьших квадратов является наиболее распространенным методом оценивания параметров уровня регрессии, и применим только для линейных относительно параметров моделей или приводимых к линейным с помощью преобразования и замены переменных[2] . Список использованной литературы: 1. Крянев А.В. Применение современных методов математической статистики при восстановлении регрессионных зависимостей на ЭВМ. Учебное пособие. М.: 1988. С. 4. 2. Мамаева З.М. Математические методы и модели в экономике. ч 2. Учебное пособие. Н. Новгород.: 2010. С 17 3. Эконометрика. Конспект лекций. Яковлева А.В. М.: Эксмо, 2008.С. 126. [1] Крянев А.В. Применение современных методов математической статистики при восстановлении регрессионных зависимостей на ЭВМ. Учебное пособие. М.: 1988. 4 с. [2] Мамаева З.М. Математические методы и модели в экономике. ч 2. Учебное пособие. Н.Новгород.: 2010. С 17 |