ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

Кафедра ПМиИОЭ

Контрольная работа

по курсу

Эконометрика

(вариант 8)

Задача 1

В исходной таблице (вариант 8) представлены статистические данные о размерах жилой площади и стоимости квартир:

Требуется:

1. Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о виде уравнения регрессии (линейное, показательное, гиперболическое и т.п.).

2. Построить наиболее подходящее уравнение регрессии.

3. Оценить величину влияния фактора на исследуемый показатель с помощью коэффициента корреляции и детерминации.

4. Оценить качество построенной модели с точки зрения адекватности и точности. Для этого оценить математическое ожидание значений остаточного ряда, проверить случайность уровней остатков ряда, их независимость и соответствие нормальному закону. Для оценки точности использовать среднюю относительную ошибку аппроксимации.

5. С помощью коэффициента эластичности определить силу влияния фактора на результативный показатель.

6. Проверить значимость коэффициента регрессии и провести его интервальную оценку.

7. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличилось на 10 % от среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости .

8. Сделать выводы по полученным результатам.

Решение:

Для удобства вычислений в ходе решения будем достраивать исходную таблицу данных до вспомогательной (см. Приложение 1), округляя и занося в расчетную таблицу промежуточные результаты.

1. Построим поле корреляции:

Визуальный анализ полученного графика показывает, что точки поля корреляции располагаются вдоль некоторой воображаемой прямой линии, но не очень плотно, рассеиваясь около неё. Поэтому делаем предположение о линейном виде уравнения регрессии. Нельзя сказать, что прослеживается тесная зависимость, но заметно, что с увеличением размера жилой площади х наблюдается тенденция к увеличению стоимости квартир у. Можно предположить, что связь размера жилой площади и ее стоимости положительная, не очень тесная, и на цену квартир оказывают влияние и другие факторы (район места ее расположения, этаж, наличие коммуникаций, состояние квартиры и т.п.).

2. Построим в соответствии с выбранным линейным видом уравнение регрессии:

Чтобы определить параметры линейной модели с помощью метода наименьших квадратов, решим систему уравнений на основе исходных и расчетных данных:

Рассчитав на основе исходных данных необходимые значения (графы 3, 5 таблицы Приложения 1), получаем систему:

Решив полученную систему уравнений при помощи надстройки «Поиск решения» приложения MSExcel, находим:

b₀ = 9,308595

b₁ = 0,52076

Составим уравнение парной линейной регрессии:

В декартовой системе координат ХОУ на поле корреляции строим график линии регрессии по найденному уравнению (рис.1).

3. Для оценки влияния фактора на исследуемый показатель вычислим линейный коэффициент корреляции и коэффициент детерминации.

Используя надстройку приложения MSExcel «Пакет анализа» - инструмент «Корреляция», находим величину линейного коэффициента корреляции.

По величине коэффициента корреляции , принадлежащей интервалу (0,7; 1), оценим качественную характеристику связи как сильную прямую.

Находим парный коэффициент детерминации:

Изменение У примерно на 74 % определяется вариацией фактора х, на 26 % - влиянием других факторов. То есть изменения величины стоимости жилой площади на 74% обусловлены колебаниями ее размеров, и на 26 % - колебаниями и изменениями других факторов и условий.

4. Оценим качество построенной модели

Производим расчеты данных для граф 6-10 вспомогательной таблицы (Приложение 1).

Оценим качество построенной модели с точки зрения адекватности. Для этого проверим выполнение следующих требований:

1) Уровни ряда остатков имеют случайный характер. Для проверки выполнения данного требования воспользуемся критерием поворотных точек (пиков).

Число поворотных точек р = 8

Поскольку р > 5, требование считаем выполненным.

2) Математическое ожидание уровня ряда остатков равно нулю.

Поскольку полученное значение близко к 0, требование считаем выполненным.

3) Дисперсия каждого отклонения одинакова для всех х. Для проверки выполнения данного требования используем критерий Гольдфельда-Квандта. Исходные значения х расположим в возрастающем порядке:

Делим полученную таблицу на 2 равные части

По каждой группе строим уравнение регрессии:

Жилая площадь, х	Цена кв., у
16	13,5	256	216
17,7	22	313,29	389,4
20	15,9	400	318
20	15,1	400	302
21,4	34,4	457,96	736,16
28	21,1	784	590,8
31,1	28	967,21	870,8
154,2	150	3578,46	3423,16

Чтобы определить параметры линейной модели с помощью метода наименьших квадратов, решим систему уравнений:

Решив полученную систему уравнений при помощи надстройки «Поиск решения» приложения MSExcel, находим:

b₀ = 7,01310810173176

b₁ = 0,65439846490193

Составим уравнение парной линейной регрессии:

На его основе найдем расчетные значения результативного показателя, а также ряд остатков и остаточные суммы квадратов для первой группы:

Жилая площадь, х	Цена кв, у					()2
16	13,5	256	216	17,477	-3,977	15,816529
17,7	22	313,29	389,4	18,5888	3,4112	11,636285
20	15,9	400	318	20,093	-4,193	17,581249
20	15,1	400	302	20,093	-4,993	24,930049
21,4	34,4	457,96	736,16	21,0086	13,3914	179,3296
28	21,1	784	590,8	25,325	-4,225	17,850625
31,1	28	967,21	870,8	27,3524	0,6476	0,4193858
154,2	150	3578,46	3423,16	176,0978	0,0622	267,5637

Рассчитаем аналогичные параметры для второй группы данных:

Жилая площадь, х	Цена кв, у					()2
40,5	27	1640,25	1093,5	28,6765	-1,6765	2,81065225
45,9	27,2	2106,81	1248,48	31,9003	-4,7003	22,0928201
46,3	28,7	2143,69	1328,81	32,1391	-3,4391	11,8274088
47,5	28,3	2256,25	1344,25	32,8555	-4,5555	20,7525803
48,7	45	2371,69	2191,5	33,5719	11,4281	130,60147
65,8	51	4329,64	3355,8	43,7806	7,2194	52,1197364
87,2	52,3	7603,84	4560,56	56,5564	-4,2564	18,116941
381,9	259,5	22452,17	15122,9	259,480	0,0197	258,3216

Решив полученную систему уравнений

при помощи надстройки «Поиск решения» приложения MSExcel, находим:

b₀ = 4,49765806824428

b₁ = 0,59705785159018

Составим уравнение парной линейной регрессии:

По критерию Гольдфельда-Квандта найдем расчетное значение

(табличные значения критерия Фишера – в Приложении 5).

Поскольку <, то условие гомоскедастичности выполнено.

4) Значения уровней ряда остатков независимы друг от друга. Проверку на отсутствие автокорреляции осуществим с помощью d-критерия Дарбина-Уотсона:

Поскольку d< d₁ 0,31<1,08 (табличные значения критерия – в Приложении 2), то гипотеза об отсутствии автокорреляции отвергается, и имеется значительная автокорреляция.

5) Уровни ряда остатков распределены по нормальному закону. Проверку выполнения требования проведем по RS-критерию:

Для объема генеральной совокупности, равного 14, и уровня вероятности ошибки в 5 %, табличные значения нижней и верхней границ RS-критерия равны соответственно 2,92 и 4,09 (табличные значения критерия – в Приложении 3). Поскольку рассчитанное значение критерия не попадает в интервал табличных значений, гипотеза о нормальном распределении отвергается.

Оценим качество построенной модели с точки зрения точности. Для этого используем среднюю относительную ошибку аппроксимации, рассчитав данные для графы 11 вспомогательной таблицы (Приложение 1).

В среднем смоделированные значения стоимости квартир отклоняются от фактических на 19,8 %. Подбор модели к фактическим данным можно оценить как не очень точный, отклонения фактических значений от теоретических заметные.

5. С помощью коэффициента эластичности определим силу влияния фактора на результативный показатель.

Рассчитаем средние значения фактора и результативного показателя:

Средний коэффициент эластичности показывает, что в среднем при повышении размера жилой площади на 1% от своего среднего значения ее стоимость увеличивается на 0,682% от своего среднего значения.

6. Проверим значимость коэффициента регрессии и проведем его интервальную оценку.

Значимость коэффициента b₁ определим с помощью t-критерия Стьюдента (табличные значения критерия приведены в Приложении 4). Рассчитаем опытное значение критерия:

При этом среднеквадратическое отклонение коэффициента b₁ найдем по формуле:

,

где остаточное среднеквадратическое отклонение найдем:

Поскольку , то и коэффициент b₁ , как и все уравнение регрессии, является значимым.

Таким образом, можно считать, что предполагаемая зависимость стоимости квартиры от ее размера подтвердилась и статистически установлена.

Проверим значимость выбранного коэффициента с помощью критерия Фишера:

Наблюдаемое значение F–критерия превышает табличное: 34,083 > 4,75, т.е. выполнено неравенство , а значит, в 95 % случаев уравнение регрессии статистически значимо и отражает существенную зависимость между размером цены квартиры от ее жилой площади. Уравнение можно признать надежным и значимым, доказывающим наличие исследуемой зависимости.

Доверительный интервал для рассчитывается по формуле:

При выбранной надежности g=0,95 получим:

, откуда .

Таким образом, с надежностью 95% можно утверждать, что истинное значение параметра b₁ будет заключено в пределах от 0,3227 до 0,7193.

7. Рассчитаем прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от среднего уровня.

Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза численных значений стоимости жилой площади. Но как уже говорилось, точность модели невысока.

В случае увеличения фактора на 10 % от своего среднего значения размер данного увеличения составит:

Прогнозное значение фактора при этом составит:

Точечный прогноз:

Т.е. по модели предсказываем, что если жилая площадь квартиры, увеличившись на 10 % от своего среднего значения, составит 42,12 условных единиц, то ожидаемая (прогнозная) величина ее стоимости составит 31,25 условных единиц.

Доверительный интервал для среднего размера стоимости квартиры при условии, что ее жилая площадь составляет х = 42,12 условных единиц с надежностью g=0,95:

где стандартная ошибка для средних значений:

Т.е. средний размер стоимости жилой площади размером 42,1223 условные единицы находится в границах от 27,2719 до 35,2375 условные единицы.

Доверительный интервал для индивидуальных значений размера стоимости квартир с жилой площадью 42,1223 условные единицы с надежностью g=0,95:

,

где стандартная ошибка для индивидуальных значений:

Таким образом, если размер жилой площади будет находиться на уровне 42,1223 условные единицы, то возможный размер ее стоимости в 95% случаев может находиться внутри интервала от 16.046 до 46.463 условные единицы. Этот интервал определяет границы, за пределами которых могут оказаться не более 5% значений стоимости квартир, которые могли быть зафиксированы при размере их жилой площади в 42,1223 условные единицы.

Выводы, сделанные ранее подтвердились. Интервальный прогноз не отличается высокой точностью, но вполне пригоден для практического использования.

8. Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы:

Статистически значимый коэффициент регрессии b₁ и коэффициент корреляции r_ух свидетельствуют о наличии сильной зависимости стоимости квартиры от размера ее жилой площади. Можно считать, что наличие этой зависимости статистически доказано, направление и общая тенденция отражена уравнением регрессии верно и согласуется с экономической теорией. Высокое значение коэффициента детерминации R² указывает, что на формирование стоимости квартир существенное влияние оказывает именно размер их жилой площади и в значительно меньшей мере (порядка 26 %) - другие экономические факторы.

С другой стороны, относительная ошибка аппроксимации свидетельствует, что модель подобрана не точно: в среднем теоретические (смоделированные данные) отличаются от фактических на 19,8 %. В целом применение полученного уравнения регрессии возможно в случае повышения его прогностической силы и практической ценности за счет увеличения объема выборки.

Задача 2

В исходной таблице (вариант 8) представлены статистические данные о различных параметрах уровня жизни населения в 2004 г.:

№	Страны	Х1	Х3	Х6	Х8	Х9	У
1	Россия	55	30	20,4	28	124	84,98
2	Австралия	100	47	71,4	121	87	30,56
3	Австрия	93	37	78,7	146	74	38,42
4	Азербайджан	20	12,4	12,1	52	141	60,34
5	Армения	20	4,3	10,9	72	134	60,22
6	Белоруссия	72	28	20,4	38	120	60,79
7	Бельгия	85	48	79,7	83	72	29,82
8	Болгария	65	18	17,3	92	156	70,57
9	Великобритания	67	39	69,7	91	91	34,51
10	Венгрия	73	40	24,5	73	106	64,73
11	Германия	88	35	76,2	138	73	36,63
12	Греция	83	24	44,4	99	108	32,84
13	Грузия	21	36	11,3	55	140	62,64
14	Дания	98	38	79,2	89	77	34,07
15	Ирландия	99	31	57	87	102	39,27
16	Испания	89	26	54,8	103	72	28,46
17	Италия	84	27	72,1	169	118	30,27
18	Казахстан	61	19,2	13,4	10	191	69,04
19	Канада	98	44	79,9	123	77	25,42
20	Киргизия	46	23,5	11,2	20	134	53,13
21	Нидерланды	86	37	72,4	176	59	28,00
22	Португалия	73	27	48,6	150	83	38,79
23	США	115	29	100	99	103	32,04
24	Финляндия	62	36	63,9	82	94	38,58
25	Франция	91	36	77,5	84	85	18,51
26	Чехия	82	45	34,7	65	114	57,62
27	Япония	40	20	83,5	60	119	20,80
∑	1966	837,4	1385,2	2405	2854	1181,05
	72,81	31,01	51,3	89,07	105,7	43,74

Х₁ - потребление мяса и мясопродуктов на душу населения (кг),

Х₃ - потребление сахара на душу населения (кг),

Х₆ - оценка ВВП по паритету покупательной способности в 1994 г. на душу населения (в % к США),

Х₈ - потребление фруктов и ягод на душу населения (кг),

Х₉ - потребление хлебных продуктов на душу населения (кг),

У – смертность населения по причине болезни органов кровообращения на 100000 населения.

Требуется:

1) Рассчитать параметры линейного уравнения множественной регрессии.

2) Определить сравнительную оценку влияния факторов на результативный показатель с помощью коэффициентов эластичности.

3) Оценить статистическую значимость параметров регрессионной модели с помощью t-критерия. Адекватность модели проверить с помощью F-критерия.

4) Оценить качество построенного уравнения с помощью средней ошибки аппроксимации.

5) Используя метод многошагового регрессионного анализа, построить регрессионную модель только со значимыми факторами и оценить ее параметры.

6) Определить прогнозное значение результата, если прогнозные значения факторов составляют 80 % от их максимальных значений.

7) Рассчитать ошибки и доверительный интервал прогноза для уровня значимости и .

8) Сделать выводы по полученным результатам.

Решение:

1. Рассчитаем параметры линейного уравнения множественной регрессии

Для удобства в ходе решения будем достраивать исходную таблицу данных до вспомогательной (см. Приложение 6), округляя и занося в ее промежуточные результаты. Уравнение множественной линейной регрессии для нашего случая имеет общий вид:

Параметры данного уравнения найдем с помощью инструмента «Регрессия» надстройки «Анализ данных» приложения MS Excel (результаты вычисления – в Приложении 7):

b₀ = 40,0007992

b₁ = 0,071828228

b₂ = 0,295651645

b₃ = -0,500054859

b₄ = -0,500054859

b₅ = 0,15192311

Получаем уравнение линейной множественной регрессии:

2. Определим сравнительную оценку влияния факторов на результативный показатель с помощью коэффициентов эластичности.

Т.к. факторы имеют различную природу и размерность, непосредственная оценка их влияния затруднена. Поэтому для каждого из них необходимо рассчитать свой коэффициент эластичности.

Для расчета коэффициентов найдем средние значения факторов и результативного показателя:

Подставим полученные значения в формулу:

Таким образом, смертность населения по причине болезни органов кровообращения на 100000 населения увеличивается примерно на 0,12 % при увеличении потребления мяса и мясопродуктов на душу населения на 1 %, на 0,21% при увеличении на 1% потребления сахара на душу населения и на 0,37% при увеличении потребления хлебных продуктов на душу населения на 1%.

А при увеличении оценки ВВП по паритету покупательной способности в 1994 г. на душу населения на 1% результативный показатель, наоборот, уменьшится на 0,59%. Увеличение же потребления фруктов и ягод на душу населения на 1% повлечет снижение смертности примерно на 1,02%.

3. Оценим статистическую значимость параметров регрессионной модели с помощью t -критерия.

Расчетные значения критерия для пяти заданных параметров получили с помощью инструмента «Регрессия» надстройки «Анализ данных» приложения MS Excel (результаты вычисления – в Приложении 7):

Поскольку , то коэффициенты b₁ , b₂ , b₃ , b₄ , b₅ не являются значимыми для построенной модели.

Адекватность модели проверим с помощью F -критерия.

Величина множественного коэффициента детерминации R² =0,799, также рассчитана с помощью инструмента «Регрессия» надстройки «Анализ данных» приложения MS Excel (результаты вычисления – в Приложении 7). Построенную модель на основе этого параметра можно признать достаточно качественной. А изменение результативного показателя примерно на 80 % обусловлено влиянием факторов, включенных в модель.

Наблюдаемое значение F–критерия превышает табличное: 16,65 > 4,52, т.е. выполнено неравенство , а значит, в 95 % случаев уравнение регрессии статистически значимо и отражает существенную зависимость между факторами и результативным показателем.

Уравнение можно признать надежным и значимым, доказывающим наличие исследуемой зависимости.

4. Оценим качество построенного уравнения с помощью средней ошибки аппроксимации.

Проведем необходимые дополнительные расчеты с вспомогательной таблицей (графа 11 Приложения 6). На основе полученных данных найдем значение средней ошибки аппроксимации:

Полученное значение средней ошибки аппроксимации подтверждает удовлетворительную точность построенной модели.

5. Используя метод многошагового регрессионного анализа, построим регрессионную модель только со значимыми факторами и оценим ее параметры.

Поскольку модель со всеми заданными факторами уже построена, и значимость каждого фактора рассчитана, можем перейти к следующему шагу анализа, исключив из модели самый незначимый фактор.

Исключаем фактор Х₆ - оценка ВВП по паритету покупательной способности в 1994 г. на душу населения (в % к США). Строим новую модель с оставшимися факторами:

Параметры данного уравнения найдем с помощью инструмента «Регрессия» надстройки «Анализ данных» приложения MS Excel (результаты вычисления – в Приложении 8):

b₀ =11,3789103724081

b₁ = -0,140477614195711

b₂ = 0,334073328849854

b₄ = -0,0590948468841696

b₅ = 0,354719169807746

Получаем уравнение линейной множественной регрессии:

Расчетные значения критерия для заданных параметров получили с помощью инструмента «Регрессия» надстройки «Анализ данных» приложения MS Excel (результаты вычисления – в Приложении 8):

Поскольку , то коэффициенты b₁ , b₂ , b₄ не являются значимыми для построенной модели. Исключаем самый незначимый фактор:

Исключаем фактор Х₁ - потребление мяса и мясопродуктов на душу населения (кг).

Строим новую модель с оставшимися факторами:

Параметры данного уравнения найдем с помощью инструмента «Регрессия» надстройки «Анализ данных» приложения MS Excel (результаты вычисления – в Приложении 9):

b₀ = 5,45597214112287

b₂ = 0,200539077387593

b₄ = -0,0847616134509301

b₅ = 0,374792925415136

Получаем уравнение линейной множественной регрессии:

Расчетные значения критерия для заданных параметров получили с помощью инструмента «Регрессия» надстройки «Анализ данных» приложения MS Excel (результаты вычисления – в Приложении 8):

Поскольку , то коэффициенты b₂ , b₄ не являются значимыми для построенной модели. Исключаем самый незначимый фактор:

Исключаем фактор Х₈ - потребление фруктов и ягод на душу населения (кг). Строим новую модель с оставшимися факторами:

Параметры данного уравнения найдем с помощью инструмента «Регрессия» надстройки «Анализ данных» приложения MS Excel (результаты вычисления – в Приложении 10):

b₀ = -14,5137453627595

b₂ = 0,272342209805998

b₅ = 0,471219957359132

Получаем уравнение линейной множественной регрессии:

Расчетные значения критерия для заданных параметров получили с помощью инструмента «Регрессия» надстройки «Анализ данных» приложения MS Excel (результаты вычисления – в Приложении 10):

Поскольку

,

то коэффициент b₂ не является значимым для построенной модели. Исключаем незначимый фактор:

Исключаем фактор Х₃ - потребление сахара на душу населения (кг). Строим новую модель с оставшимся фактором:

Параметры данного уравнения найдем с помощью инструмента «Регрессия» надстройки «Анализ данных» приложения MS Excel (результаты вычисления – в Приложении 11):

b₀ = 0,166147

b₅ = 0,412251

Получаем уравнение линейной парной регрессии:

Расчетное значение критерия для параметра b₅ получили с помощью инструмента «Регрессия» надстройки «Анализ данных» приложения MS Excel (результаты вычисления – в Приложении 11):

Поскольку

,

то коэффициент b₅ является значимым для построенной модели. Таким образом, посредством пошагового регрессионного анализа, осуществленного методом исключения факторов, получили модель, содержащую только один значимый фактор Х₉ - потребление хлебных продуктов на душу населения (кг).

6. Определим прогнозное значение результата, если прогнозные значения факторов составляют 80 % от их максимальных значений.

Поскольку в уравнении регрессии остался лишь один значимый фактор, именно на основе данных о потреблении хлебных продуктов на душу населения будем рассчитывать прогнозное значение результативного показателя.

Если прогнозное значение фактора составит 80% от своего максимального значения

,

тогда точечное прогнозное значение результативного показателя составит

Т.е. еслипотребление хлебных продуктов на душу населения составит 152,8 кг, то прогнозное значение смертности населения по причине болезни органов кровообращения на 100000 населения составит примерно 63.

7. Рассчитаем ошибки и доверительный интервал прогноза для уровня значимости и .

Доверительный интервал для среднего размера смертности населения по причине болезни органов кровообращения на 100000 населения при условии, что потребление хлебных продуктов составляет х = 152,8 кг с надежностью g=0,95:

где стандартная ошибка для средних значений:

Т.е. средний размер смертности населения по причине болезни органов кровообращения на 100000 населения при условии, что потребление хлебных продуктов составляет х = 152,8 кг, находится в интервале от 53 до 72 человек. Доверительный интервал для индивидуальных значений размера смертности населения по причине болезни органов кровообращения на 100000 населения при условии, что потребление хлебных продуктов составляет х = 152,8 кг с надежностью g=0,95:

,

где стандартная ошибка для индивидуальных значений:

Таким образом, если потребление хлебных продуктов будет находиться на уровне 152,8 кг, то возможный размер смертности населения по причине болезни органов кровообращения на 100000 населения в 95% случаев может находиться внутри интервала от 35 до 90 человек.

Рассчитаем те же показатели для уровня значимости

Доверительный интервал для среднего размера смертности населения по причине болезни органов кровообращения на 100000 населения при условии, что потребление хлебных продуктов составляет х = 152,8 кг с надежностью g=0,90:

Т.е. средний размер смертности населения по причине болезни органов кровообращения на 100000 населения при условии, что потребление хлебных продуктов составляет х = 152,8 кг, находится в интервале от 55 до 70 человек.

Доверительный интервал для индивидуальных значений размера смертности населения по причине болезни органов кровообращения на 100000 населения при условии, что потребление хлебных продуктов составляет х = 152,8 кг с надежностью g=0,90:

Таким образом, если потребление хлебных продуктов будет находиться на уровне 152,8 кг, то возможный размер смертности населения по причине болезни органов кровообращения на 100000 населения в 90% случаев может находиться внутри интервала от 40 до 85 человек.

8. Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы:

На основе сравнительной оценки влияния факторов на результативный показатель посредством расчета коэффициентов эластичности удалось установить, что смертность населения по причине болезни органов кровообращения на 100000 населения увеличивается примерно на 0,12 % при увеличении потребления мяса и мясопродуктов на душу населения на 1 %, на 0,21% при увеличении на 1% потребления сахара на душу населения и на 0,37% при увеличении потребления хлебных продуктов на душу населения на 1%.

А при увеличении оценки ВВП по паритету покупательной способности в 1994 г. на душу населения на 1% результативный показатель, наоборот, уменьшится на 0,59%. Увеличение же потребления фруктов и ягод на душу населения на 1% повлечет снижение смертности примерно на 1,02%.

Величина множественного коэффициента детерминации R² =0,799 свидетельствует о том, что изменение результативного показателя примерно на 80% обусловлено влиянием факторов, включенных в модель. Оценка качества построенного уравнения с помощью средней ошибки аппроксимации подтверждает удовлетворительную точность построенной модели.

Оценка адекватности построенной модели с помощью F-Критерия Фишера подтвердила, что в 95 % случаев уравнение регрессии статистически значимо и отражает существенную зависимость между факторами и результативным показателем. А значит, уравнение можно признать надежным и значимым, доказывающим наличие исследуемой зависимости.

Посредством пошагового регрессионного анализа, осуществленного методом исключения факторов, получили модель, содержащую только один значимый фактор - потребление хлебных продуктов на душу населения. С его использованием построили новое уравнение регрессии, с помощью которого рассчитали прогнозное точечное значение результативного показателя и доверительный интервал для уровня значимости и .

Задача 3

В исходной таблице (графы 2 и 3 Приложения 13) представлены статистические данные об объеме продаж продовольственных товаров с 1 января 1990 г. в относительных единицах.

Требуется:

1. Представить временной ряд графически, провести его сглаживание методом простой скользящей средней, оценить наличие тренда.

2. Построить уравнение неслучайной составляющей (тренда) временного ряда, проверить значимость построенного уравнения по F-критерию при уровне значимости .

3. Дать точечную, интервальную оценки прогноза среднего и индивидуального значений с надежностью на 1 и 2 шага вперед.

4. Построить авторегрессионную модель временного ряда, дать точечный, интервальный прогноз среднего и индивидуального значений с надежностью на 1 и 2 шага вперед.

5. Сделать выводы по полученным результатам.

Решение:

1. Представим временной ряд графически:

Проведем его сглаживание методом простой скользящей средней. Выбрав величину скользящей средней, равную 3, доработаем исходную таблицу данных – найдем средние значения для каждых трех исходных (графа 4 Приложения 13).

На основе средних значений строим диаграмму сглаженных данных:

По графику можно сделать предположение о наличии тренда линейного типа. Для наглядности еще более сгладим исходные данные, построив с помощью инструмента «Скользящее среднее» надстройки «Анализ данных» приложения MS Excel график пятичленной скользящей средней.

Предположение о наличии тренда подтверждается, очевидно, также имеет место сезонная компонента.

2. Построим уравнение неслучайной составляющей (тренда) временного ряда

Для определения параметров модели временного ряда из линейного уравнения

воспользуемся инструментом «Регрессия» надстройки «Анализ данных» приложения MS Excel (результаты вычислений – в Приложении 14).

Получаем уравнение тренда временного ряда следующего вида:

Проверим значимость построенного уравнения по F -критерию при уровне значимости

Величина коэффициента детерминации R² =0,324 также рассчитана с помощью инструмента «Регрессия» надстройки «Анализ данных» приложения MS Excel (результаты вычисления – в Приложении 14). Судя по этому параметру, изменение результативного показателя примерно на 32 % обусловлено влиянием временного фактора. Построенную модель на основе парного коэффициента корреляции =0,57 можно признать умеренно качественной.

Наблюдаемое значение F–критерия меньше табличного: 250,476 > 16,2, т.е. выполнено неравенство , а значит, в 95 % случаев уравнение регрессии статистически незначимо и не отражает зависимости между временем и объемом продаж продовольственных товаров, что подтверждается экономической теорией.

3. Дать точечную, интервальную оценки прогноза среднего и индивидуального значений с надежностью на 1 и 2 шага вперед.

Чтобы сделать точечный прогноз на 1 и 2 шага вперед, подставим соответствующие значения фактора в полученное уравнение регрессии:

Доверительный интервал для среднего размера объема продаж продовольственных товаров на 01.12.1995 г. (t=36) с надежностью g=0,95:

где стандартная ошибка для средних значений:

,

Т.е. средний размер объема продаж продовольственных товаров на 01.12.1995 г. (t=36) примерно находится в интервале от 249 до 292 относительных единиц.

Доверительный интервал для индивидуальных значений размера объема продаж продовольственных товаров на 01.12.1995 г. (t=36) с надежностью g=0,95:

где стандартная ошибка для индивидуальных значений:

Таким образом, размер объема продаж продовольственных товаров на 01.12.1995 г. (t=36) в 95% случаев может находиться внутри интервала примерно от 205 до 335 относительных единиц.

Для прогноза на 2 шага вперед:

Доверительный интервал для среднего размера объема продаж продовольственных товаров на 01.01.1996 г. (t=37) с надежностью g=0,95:

где стандартная ошибка для средних значений:

,

Т.е. средний размер объема продаж продовольственных товаров на 01.01.1996 г. (t=37) примерно находится в интервале от 250 до 294 относительных единиц.

Доверительный интервал для индивидуальных значений размера объема продаж продовольственных товаров на 01.01.1996 г. (t=37) с надежностью g=0,95:

где стандартная ошибка для индивидуальных значений:

Таким образом, размер объема продаж продовольственных товаров на 01.01.1996 г. (t=37) в 95% случаев может находиться внутри интервала примерно от 207 до 304 относительных единиц.

4. Построим авторегрессионную модель временного ряда.

Для построения авторегрессионной модели 1-го порядка вида

Определим ее параметры с помощью МНК из системы уравнений:

Воспользовавшись надстройкой «Поиск решения» приложения MSExcel, находим коэффициенты модели:

Получаем модель:

Дадим точечный прогноз по полученной авторегрессионной модели на 1 и 2 шага вперед:

Дадим интервальный прогноз среднего и индивидуального значений по полученной авторегрессионной модели с надежностью на 1 и 2 шага вперед.

Доверительный интервал для среднего размера объема продаж продовольственных товаров по полученной авторегрессионной модели на 01.12.1995 г. (t=36) с надежностью g=0,95:

где стандартная ошибка для средних значений:

,

Доверительный интервал для индивидуальных значений размера объема продаж продовольственных товаров по полученной авторегрессионной модели на 01.12.1995 г. (t=36) с надежностью g=0,95:

где стандартная ошибка для индивидуальных значений:

Итак, с надежностью 0,95 среднее значение объема продаж продовольственных товаров на момент t=36 будет заключено в пределах от 233,17 до 275,99 относительных единиц, а его индивидуальное значение — от 189,44 до 319,72 относительных единиц.

Для прогноза на 2 шага вперед:

Доверительный интервал для среднего размера объема продаж продовольственных товаров по полученной авторегрессионной модели на 01.12.1995 г. (t=37) с надежностью g=0,95:

где стандартная ошибка для средних значений

Доверительный интервал для индивидуальных значений размера объема продаж продовольственных товаров по полученной авторегрессионной модели на 01.01.1996 г. (t=37) с надежностью g=0,95:

где стандартная ошибка для индивидуальных значений:

Итак, с надежностью 0,95 среднее значение объема продаж продовольственных товаров на момент t=37 будет заключено в пределах от 212,28 до 254,64 относительных единиц, а его индивидуальное значение — от 169,06 до 299,86 относительных единиц.

5. Выводы по полученным результатам:

Проведя сглаживание временного ряда методом простой скользящей средней, по графику сделали предположение о наличии тренда линейного типа. Вычислив параметры модели, получаем уравнение тренда

Величина коэффициента детерминации R² =0,324 свидетельствует о том, что изменение У на 32% обусловлено влиянием времени. Построенную модель на основе коэффициента корреляции можно признать умеренно качественной.

Проверив значимость построенного уравнения по F-критерию, приходим к выводу, что в 95% случаев уравнение регрессии статистически незначимо и не отражает зависимости между временем и объемом продаж продовольственных товаров, что подтверждается экономической теорией.

Точечный прогноз на 1 шаг вперед на основе полученной модели примет значение

Интервальный прогноз позволяет установить, что размер объема продаж на 01.12.1995 г. в 95% случаев может находиться в интервале от 205 до 335 относительных единиц, а средний размер объема продаж - в интервале от 249 до 292 относительных единиц.

Точечный прогноз на 2 шага вперед на основе полученной модели примет значение

Интервальный прогноз позволяет установить, что размер объема продаж на 01.01.1996 г. в 95% случаев может находиться внутри интервала примерно от 207 до 304 относительных единиц, а средний размер объема продаж – внутри интервала от 207 до 304 относительных единиц.

Поскольку построенное ранее уравнение линейного тренда не является значимым, для прогнозирования значений временного ряда построили авторегрессионную модель

Даем точечный прогноз на 1 шаг вперед

и интервальный на уровне значимости 0,05 для среднего и индивидуального значений –

и

А такжеточечный прогноз на 2 шага вперед

,

и интервальный на уровне значимости 0,05 для среднего и индивидуального значений –

и .

линейный множественный регрессия модель

Приложение 1

Жилая пло щадь, x	Цена квартиры,у						()2		()2
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
20	15,9	400	252,81	318	19,729	-3,829	14,66124	-	-	-0,241
40,5	27	1640,25	729	1093,5	30,4095	-3,4095	11,62469	0,4195	0,175980	-0,126
16	13,5	256	182,25	216	17,645	-4,145	17,18103	-0,7355	0,540960	-0,307
20	15,1	400	228,01	302	19,729	-4,629	21,42764	-0,484	0,234256	-0,307
28	21,1	784	445,21	590,8	23,897	-2,797	7,823209	1,832	3,356224	-0,133
46,3	28,7	2143,69	823,69	1328,81	33,4313	-4,7313	22,3852	-1,9343	3,741517	-0,165
45,9	27,2	2106,81	739,84	1248,48	33,2229	-6,0229	36,27532	-1,2916	1,668231	-0,221
47,5	28,3	2256,25	800,89	1344,25	34,0565	-5,7565	33,13729	0,2664	0,070969	-0,203
87,2	52,3	7603,84	2735,29	4560,56	54,7402	-2,4402	5,954576	3,3163	10,99785	-0,047
17,7	22	313,29	484	389,4	18,5307	3,4693	12,03604	5,9095	34,92219	0,158
31,1	28	967,21	784	870,8	25,5121	2,4879	6,189646	-0,9814	0,963146	0,089
48,7	45	2371,69	2025	2191,5	34,6817	10,318	106,4673	7,8304	61,31516	0,229
65,8	51	4329,64	2601	3355,8	43,5908	7,4092	54,89625	-2,9091	8,462863	0,145
21,4	34,4	457,96	1183,36	736,16	20,4584	13,942	194,3682	6,5324	42,67225	0,405
∑ 536,1	409,5	26030,63	14014,35	18546,06	409,6341	-0,1341	544,4277	17,7706	169,1216	|2,776|

Приложение 2

В таблице приведены значения критерия Дарбина-Уотсона для уровня значимости 5% (m - число независимых переменных уравнения регрессии).

Приложение 3

Критические границы отношения R/S

Приложение 4

Таблица значений функции распределения Стьюдента (для интервальных оценок)

Приложение 5

Приложение 6

№	Страны	Х1	Х3	Х6	Х8	Х9	У
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1	Россия	55	30	20,4	28	124	84,98	61,1244	23,8556	0,2807
2	Австралия	100	47	71,4	121	87	30,56	37,1498	-6,5898	-0,2156
3	Австрия	93	37	78,7	146	74	38,42	27,7670	10,653	0,2773
4	Азербайджан	20	12,4	12,1	52	141	60,34	59,8539	0,4861	0,0081
5	Армения	20	4,3	10,9	72	134	60,22	56,7572	3,4628	0,0575
6	Белоруссия	72	28	20,4	38	120	60,79	61,0272	-0,2372	-0,0039
7	Бельгия	85	48	79,7	83	72	29,82	30,3919	-0,5719	-0,0192
8	Болгария	65	18	17,3	92	156	70,57	63,9434	6,6266	0,0939
9	Великобритания	67	39	69,7	91	91	34,51	34,2298	0,2802	0,0081
10	Венгрия	73	40	24,5	73	106	64,73	60,0524	4,6776	0,0723
11	Германия	88	35	76,2	138	73	36,63	28,0102	8,6198	0,2353
12	Греция	83	24	44,4	99	108	32,84	46,083	-13,243	-0,4033
13	Грузия	21	36	11,3	55	140	62,64	67,1154	-4,4754	-0,0714
14	Дания	98	38	79,2	89	77	34,07	29,3072	4,76277	0,1398
15	Ирландия	99	31	57	87	102	39,27	42,2326	-2,9626	-0,0754
16	Испания	89	26	54,8	103	72	28,46	36,3877	-7,9277	-0,2786
17	Италия	84	27	72,1	169	118	30,27	33,8748	-3,6048	-0,1191
18	Казахстан	61	19,2	13,4	10	191	69,04	72,2562	-3,2162	-0,0466
19	Канада	98	44	79,9	123	77	25,42	30,3257	-4,9057	-0,193
20	Киргизия	46	23,5	11,2	20	134	53,13	64,7713	-11,6413	-0,2191
21	Нидерланды	86	37	72,4	176	59	28,00	27,7780	0,222	0,0079
22	Португалия	73	27	48,6	150	83	38,79	39,7452	-0,9552	-0,0246
23	США	115	29	100	99	103	32,04	21,2971	10,7429	0,3353
24	Финляндия	62	36	63,9	82	94	38,58	36,4471	2,1329	0,0553
25	Франция	91	36	77,5	84	85	18,51	30,3382	-11,8282	-0,639
26	Чехия	82	45	34,7	65	114	57,62	58,3873	-0,7673	-0,0133
27	Япония	40	20	83,5	60	119	20,80	24,3958	-3,5958	-0,1729
∑	1966	837,4	1385,2	2405	2854	1181,05	1181,05	0	|4,0665|
	72,81	31,01	51,3	89,07	105,7	43,74

Приложение 7

Приложение 8

Приложение 9

Приложение 10

Приложение 11

Приложение 12

№	Страны	Х9	Х92	У
1	Россия	124	15376	84,98	51,28526	33,69474	1135,016	0,3965
2	Австралия	87	7569	30,56	36,03197	-5,47197	29,9209	-0,179
3	Австрия	74	5476	38,42	30,67271	7,747288	60,0625	0,202
4	Азербайджан	141	19881	60,34	58,29352	2,046478	4,2025	0,334
5	Армения	134	17956	60,22	55,40777	4,812234	23,1361	0,08
6	Белоруссия	120	14400	60,79	49,63625	11,15375	124,3225	0,1835
7	Бельгия	72	5184	29,82	29,84821	-0,02821	0,0009	-0,001
8	Болгария	156	24336	70,57	64,47729	6,092714	37,0881	0,0863
9	Великобритания	91	8281	34,51	37,68098	-3,17098	10,0489	-0,092
10	Венгрия	106	11236	64,73	43,86474	20,86526	435,5569	0,322
11	Германия	73	5329	36,63	30,26046	6,369538	40,5769	0,1739
12	Греция	108	11664	32,84	44,68924	-11,8492	140,4035	-0,361
13	Грузия	140	19600	62,64	57,88127	4,758729	22,6576	0,076
14	Дания	77	5929	34,07	31,90947	2,160535	4,6656	0,0634
15	Ирландия	102	10404	39,27	42,21574	-2,94574	8,7025	-0,075
16	Испания	72	5184	28,46	29,84821	-1,38821	1,9321	-0,049
17	Италия	118	13924	30,27	48,81175	-18,5418	343,7316	-0,613
18	Казахстан	191	36481	69,04	78,90607	-9,86607	97,4169	-0,143
19	Канада	77	5929	25,42	31,90947	-6,48947	42,1201	-0,255
20	Киргизия	134	17956	53,13	55,40777	-2,27777	5,1984	-0,043
21	Нидерланды	59	3481	28	24,48895	3,511051	12,3201	0,1254
22	Португалия	83	6889	38,79	34,38297	4,407029	19,4481	0,1136
23	США	103	10609	32,04	42,62799	-10,588	112,1481	-0,33
24	Финляндия	94	8836	38,58	38,91773	-0,33773	0,1156	-0,009
25	Франция	85	7225	18,51	35,20747	-16,6975	278,89	-0,902
26	Чехия	114	12996	57,62	47,16275	10,45725	109,4116	0,1815
27	Япония	119	14161	20,8	49,224	-28,424	807,6964	-1,367
326292	39,0679	|6,76|

Приложение 13

№	Дата, t	Объем продаж,	2				()2
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1	1/1/93	178	31684	-	-	-17	289	200,0143	-22,0143	484,4401
2	1/2/93	185	34225	32930	186	-16	256	202,037	-17,037	290,3616
3	1/3/93	196	38416	36260	189	-15	225	204,0597	-8,05966	64,9636
4	1/4/93	187	34969	36652	193	-14	196	206,0824	-19,0824	364,0464
5	1/5/93	197	38809	36839	210	-13	169	208,105	-11,105	123,4321
6	1/6/93	246	60516	48462	225	-12	144	210,1277	35,87227	1286,6569
7	1/7/93	231	53361	56826	240	-11	121	212,1504	18,84958	355,3225
8	1/8/93	244	59536	56364	231	-10	100	214,1731	29,82689	889,8289
9	1/9/93	219	47961	53436	221	-9	81	216,1958	2,804202	7,84
10	1/10/93	199	39601	43581	202	-8	64	218,2185	-19,2185	369,4084
11	1/11/93	187	34969	37213	198	-7	49	220,2412	-33,2412	1104,8976
12	1/12/93	208	43264	38896	201	-6	36	222,2639	-14,2639	203,3476
13	1/1/94	208	43264	43264	213	-5	25	224,2866	-16,2866	265,3641
14	1/2/94	223	49729	46384	228	-4	16	226,3092	-3,30924	10,9561
15	1/3/94	254	64516	56642	240	-3	9	228,3319	25,66807	658,9489
16	1/4/94	243	59049	61722	247	-2	4	230,3546	12,64538	160,0225
17	1/5/94	243	59049	59049	247	-1	1	232,3773	10,62269	112,7844
18	1/6/94	255	65025	61965	263	0	0	234,4	20,6	424,36
19	1/7/94	292	85264	74460	278	1	1	236,4227	55,57731	3089,1364
20	1/8/94	288	82944	84096	281	2	4	238,4454	49,55462	2455,2025
21	1/9/94	262	68644	75456	261	3	9	240,4681	21,53193	463,5409
22	1/10/94	234	54756	61308	233	4	16	242,4908	-8,49076	72,0801
23	1/11/94	204	41616	47736	219	5	25	244,5134	-40,5134	1641,0601
24	1/12/94	218	47524	44472	217	6	36	246,5361	-28,5361	814,5316
25	1/1/95	230	52900	50140	215	7	49	248,5588	-18,5588	344,4736
26	1/2/95	197	38809	45310	230	8	64	250,5815	-53,5815	2870,8164
27	1/3/95	263	69169	51811	232	9	81	252,6042	10,3958	108,16
28	1/4/95	235	55225	61805	253	10	100	254,6269	-19,6269	385,3369
29	1/5/95	262	68644	61570	261	11	121	256,6496	5,35042	28,6225
30	1/6/95	285	81225	74670	284	12	144	258,6723	26,32773	693,2689
31	1/7/95	305	93025	86925	302	13	169	260,695	44,30504	1962,49
32	1/8/95	316	99856	96380	298	14	196	262,7176	53,28235	2838,7584
33	1/9/95	273	74529	86268	274	15	225	264,7403	8,259664	68,2276
34	1/10/95	234	54756	63882	237	16	256	266,763	-32,763	1073,2176
35	1/11/95	203	41209	47502	-	17	289	268,7857	-65,7857	4328,3241
630	8204	1920276	3570	8204	0	30414,23

Приложение 14