Реферат: Похідна за напрямком і градієнт функції основні властивості
Название: Похідна за напрямком і градієнт функції основні властивості Раздел: Рефераты по астрономии Тип: реферат |
Пошукова робота на тему: Похідна за напрямком і градієнт функції, основні властивості. П лан
1 . Похідна функції за напрямком і градієнт Нехай - функція, означена в області . Розглянемо деяку точку і деякий напрямок , визначений напрямними косинусами і (тобто і - косинуси кутів, утворених вектором з додатними напрямками осей координат і ). При переміщенні в заданому напрямку (рис.7.10) точки в точку функція одержує приріст , (7.46) який називається приростом функції в заданому напрямку . Якщо є величина переміщення точки , то із прямокутного трикутника одержуємо , , отже, . (7.47) Означення . Похідною функції в заданому напряму називається границя відношення приросту функції в цьому напрямку до величини переміщення при умові, що останнє прямує до нуля, тобто . (7.48) З цієї точки зору похідні і можна розглядати як похідні функції в додатних напрямках осей координат і . Похідна визначає швидкість зміни функції в напрямку . Виведемо формулу для похідної , вважаючи, що функція диференційована. Із означення диференціала функції випливає, що приріст функції відрізняється від диференціала функції на вищий порядок малості відносно приросту незалежних змінних. Тому , де і при і . Звідси в силу співвідношень (7.47) одержуємо . Отже, . Переходячи до границі в останній формулі при ,тобто при і , одержимо формулу для похідної функції в заданому напрямку: . (7.49) Приклад . Обчислити в точці похідну функції в напрямку, що складає кут з віссю . Р о з в ’ я з о к. . Зауваження . Для функції її похідна в напрямку дорівнює (7.50) Рис.7.10 Рис.7.11 При вивчені поведінки функції в даній точці площини аргументів найбільшу зацікавленість являє питання про напрямок найвищого зростання в цій точці. Задача розв’язується за допомогою вектора, який називається градієнтом функції . Означення . Градієнтом функції в точці в даній точці називається вектор, розміщений в площині аргументів і , який має своїм початком цю точку і має проекції на координатні осі, що дорівнюють значенням частинних похідних функції в цій точці : (7.51) Тут - орти координатних осей і . Теорема . Градієнт диференційованої функції в кожній точці за значенням і напрямком дає найбільшу швидкість зміни функції в цій точці. Д о в е д е н н я. Запишемо вираз (6.71) похідної як скалярний добуток двох векторів: . Перший із співмножників є . Звідси буде мати найбільше додатне значення лише в тому випадку, якщо напрямки векторів і збігаються; це найбільше значення дорівнює модулю , тобто числу . Теорема доведена. Напрямок, протилежний градієнту, є напрямком найвищого спадання . Приклад . Знайти напрямок найшвидшого зростання функції в точці і обчислити значення похідної в цьому напрямку. Р о з в ’ я з о к. Обчислюємо градієнт функції в точці : . Отже, шуканий напрямок складає кут з віссю . Похідна . Нехай точка лежить на лінії рівня в точці з рівнянням . Кутовий коефіцієнт дотичної до в точці (рис. 7.11) дорівнює (7.61)). Кутовий коефіцієнт градієнта в точці дорівнює . Порівнюючи ці два кутові коефіцієнти, виводимо: градієнт функції в точці напрямлений за нормаллю до лінії рівня , яка проходить через точку . Зауваження . Градієнт функції в точці запишеться так: , (7.52) де - орти координатних осей. |