Реферат: Основні правила диференціювання Таблиця похідних
Название: Основні правила диференціювання Таблиця похідних Раздел: Рефераты по астрономии Тип: реферат |
Пошукова робота на тему: Основні правила диференціювання. Таблиця похідних. П лан
1. Правила диференціювання Операція знаходження похідної від даної функції називається диференціюванням цієї функції. Доведемо ряд теорем, які дають основні правила знаходження похідних від функцій. 10 . Похідна від аргументу . Покладемо , тоді . Тому . Отже, якщо , то . (6.14) 1. Похідна від сталої функції . Значення цієї функції у точках і рівні між собою при будь-якому . Тому приріст , а отже й . Перейшовши до границі, в останній рівності при маємо . Границя відношення при існує і дорівнює нулю. Тому існує й похідна від цієї функції в довільній точці , яка теж дорівнює нулю, тобто . (6.15) 3. Похідна від суми. Теорема. Якщо функції в точці мають похідні, то функція також в цій точці має похідну і ця похідна дорівнює . (6.16) Д о в е д е н н я. Надамо деякого . Тоді функції матимуть прирости , функція - приріст . Знайдемо відношення . Перейдемо в цій рівності до границі при . Внаслідок того, що в точці згідно з умовою теореми мають похідну, то , . Тому
Отже, в цій точці існує похідна від функції і вона дорівнює . Теорему доведено. Наслідок . Похідна від суми скінченого числа функцій дорівнює сумі похідних від цих функцій, якщо похідні даних функцій існують, тобто (6.17) 4. Похідна від добутку. Теорема . Якщо функції в точці мають похідні, то в цій точці функція також має похідну: . (6.18) Д о в е д е н н я. Надамо деякого приросту . Тоді функції матимуть прирости , а функція приріст
Знайдемо відношення
Перейдемо в цій рівності до границі . За умови теореми
а
Отже,
Теорему доведено. Наслідок . Постійний множник можна виносити за знак похідної, тобто, якщо , то (6.19) 5. Похідна від частки. Теорема . Якщо функції в точці мають похідні і , то функція також у точці має похідну і похідна дорівнює (6.20) Д о в е д е н н я. Надамо приросту . Тоді функції матимуть відповідно прирости , а функція - приріст
Знайдемо відношення
За умовою теореми
а , тому
Теорему доведено. Наслідок 1. Якщо знаменник дробу - стала величина, то (6.21) Наслідок 2. Якщо чисельник дробу стала величина, то (6.22) 6. Похідна від оберненої функції. Теорема. Нехай функція задовольняє всім умовам теореми про існування оберненої функції і в точці має похідну . Тоді обернена до неї функція у точці має також похідну: . Д о в е д е н н я. Надамо приросту . Тоді функція дістане приріст , причому, внаслідок монотонності функції , матимемо , якщо . Тоді відношення можна записати так: Перейдемо в цій рівності до границі при . Внаслідок неперервності оберненої функції , тобто
Отже, від функції в точці існує похідна: (6.23) Теорему доведено. Якщо функція має похідну в довільній точці і , то формула (6.23) справджується для цих точок
або, що те саме, (6.24) У формулі (6.24) похідні знаходяться за різними змінними: - похідна від до , а - похідна від до . Тому формулу (6.24) записують (6.25) Нижній індекс показує, за якою змінною знаходиться похідна. Для зручності поміняємо у формулі (6.25) місцями і . Остаточно матимемо таку формулу для похідної від оберненої функції: (6.26) 2. Похідні від елементарних функцій Похідна від степеневої функції Випадок натурального показника. Нехай , де - натуральне число. Тоді функція визначена на всій числовій осі. Отже, візьмемо довільну точку і надамо їй приросту . Тоді функція матиме приріст :
Розкриємо за формулою бінома Ньютона:
Знайдемо відношення
Перейшовши в цій рівності до границі при , дістаємо
Отже похідна від степеневої функції з натуральним показником існує і дорівнює
Випадок довільного показника . Нехай є довільне дійсне число. Тоді область існування функції залежить від . Нехай - область існування функції . Візьмемо довільне , але (випадок розглянемо окремо). Тоді приріст дорівнює
Знайдемо відношення
або (6.28) де . Перейдемо до границі у рівності (6.28) при . Зауважимо, що коли , то й . Тому (6.29) Обчислимо окремо
Для цього введемо таке позначення:
причому , якщо . Тоді звідки . Тоді
Проте внаслідок неперервності логарифмічної функції маємо
Отже,
Повертаючись до співвідношення (6.29), маємо
тобто якщо і , то (6.30) Розглянемо випадок, коли . Якщо , то точка не входить в область існування функції . Тому розглядатимемо і . Знайдемо приріст функції в точці :
тоді Звідси випливає, що у випадку границя відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля, існує і дорівнює нулю:
Якщо , то границя не існує, тобто у випадку функція в точці похідної немає. Проте, якщо формально у формулі (6.30) покласти , то дістанемо той самий результат. Отже, для похідної від степеневої функції ми маємо таке правило: похідна від степеневої функції дорівнює показнику, помноженому на цю функцію з показником, на одиницю меншим. 3. Похідна від показникової та логарифмічної функцій 1. Нехай маємо показникову функцію . Знайдемо в довільній точці приріст :
Тоді
Перейдемо тут до границі при . Маємо
Таким чином, похідна від показникової функції існує в довільній точці і дорівнює (6.31) Зокрема, (6.32) 2. Нехай маємо логарифмічну функцію , де . Згідно з означенням логарифмічної функції маємо таку рівність:
Оскільки , то
Отже, (6.33) Зокрема, (6.34) 4. Похідні від тригонометричних функцій 1. . Знайдемо приріст функції в довільній точці :
Знайдемо відношення
Перейдемо в цій рівності до границі при :
Отже похідна від функції існує в довільній точці і дорівнює (6.35) 2. . Аналогічно доводиться, що від функції в довільній точці існує похідна, яка дорівнює (6.36) 3. Зобразимо у вигляді
Скориставшись формулою (6.20), маємо
Отже, (6.37) 4. . Аналогічно можна довести, що (6.38) 5. Похідні обернених тригонометричних функцій 1. , де , . Тоді згідно з означенням функції маємо таку рівність:
причому похідна при не дорівнює нулю. Тому для знаходження похідної від можна скористатися формулою (6.24):
Оскільки , то набуває тільки додатних значень. Тоді можна записати:
Отже, остаточно (6.39) 2. Аналогічно можна вивести формули похідних (6.40) (6.41) (6.42) 6. Похідна від складної функції Функція однієї змінної. Теорема. Нехай маємо складну функцію і нехай: 1) зовнішня функція в точці має похідну (по ) ; 2) внутрішня функція в точці має похідну (по ) . Тоді складна функція в точці також має похідну (по ), яка дорівнює добутку похідних від зовнішньої і внутрішньої функції, тобто
або (6.43) Правило знаходження похідної від складної функції: щоб знайти похідну від складної функції, треба знайти похідну від зовнішньої функції за зовнішнім аргументом і результат помножити на похідну від внутрішньої функції за внутрішнім аргументом. Зауваження . Ця теорема може бути узагальнена і на той випадок, коли аргумент внутрішньої функції є, в свою чергу, функцією від іншого аргументу. Так, якщо маємо функції і кожна з них у відповідних точках має похідні, то функція має похідну по , яка дорівнює
Приклади. 1. Знайти похідну від функції . Р о з в ’ я з о к. Введемо позначення . Тоді матимемо складну функцію і задовольняють умовам теореми для . Отже,
2. Знайти похідну від функції . Р о з в ’ я з о к. Введемо позначення . Тоді матимемо складну функцію , . Тому
Похідна від степенево-показникової функції. Означення . Функція , де і - функції , називається степенево-показниковою функцією. Степенево-показникову функцію не можна диференціювати ні за формулою похідної степеневої функції, ні за формулою показникової функції, оскільки вона не є ні тою ні другою. Одержимо окрему формулу. Нехай дана функція , де . Прологарифмувавши обидві частини рівності, маємо
Диференціюємо обидві частини цієї рівності по як складні функції:
Звідси
або (6.44) Правило диференціювання степенево-показникової функції: щоб продиференціювати степенево-показникову функцію, достатньо знайти від неї похідну як від показникової функції (тимчасово вважаємо основу сталою), похідну як від степеневої функції (вважаємо показник сталим) та результати додати. Приклади . 1. Знайти похідну від функції . Р о з в ’ я з о к.
2. Знайти похідну від функції . Р о з в ’ я з о к.
Зауваження . Застосований в цьому параграфі прийом для знаходження похідних, коли спочатку знаходять похідну логарифму даної функції, широко використовується при диференціюванні функцій. Цей прийом часто спрощує обчислення. Приклад . Знайти похідну від функції
Р о з в ’ я з о к. Логарифмуючи, знаходимо
Диференціюємо обидві частини цієї рівності:
Звідси
Похідна від складної функції кількох змінних. Із означення безпосередньо випливає правило знаходження частинних похідних функції : щоб знайти частинну похідну від функції за одним із її аргументів, потрібно обчислити похідну від функції за цим аргументом, вважаючи інші аргументи постійними . Приклади . 1. Знайти частинні похідні від функції
Р о з в ’ я з о к.
2. Знайти частинні похідні від функції
Р о з в ’ я з о к.
Нехай задана функція , аргументи якої і є функціями незалежної змінної : Нехай має по і неперервні частинні похідні і і існують і . Тоді можна довести існування похідної складної функції і одержати формулу для її обчислення: (6.45) Приклад . Знайти похідну від функції , якщо , . Р о з в ’ я з о к.
Якщо, зокрема, , , тобто, якщо один із аргументів функції є незалежна змінна, а другий - його функція, то формула (6.45) (покласти в ній ) дає вираз повної похідної від функції по : (6.46) Нехай є складною функцією не однієї, а кількох незалежних змінних і . Нехай має неперервні частинні похідні по і по , а і мають частинні похідні по . За таких умов формула диференціювання складної функції записується так:
(6.47) ....
Приклад . Знайти частинні похідні від функції , якщо , . Р о з в ’ я з о к.
|