Реферат: Вычисление интеграла по поверхности
Название: Вычисление интеграла по поверхности Раздел: Рефераты по математике Тип: реферат |
Содержание 1)Поверхностный интеграл второго рода 2)Вычисление интеграла по поверхности 3)Теорема Остроградского-Гаусса 4)Дивергенция Литература интеграл теорема доказательство Интеграл по поверхности Поверхность будем рассматривать 1. как образ замкнутой области при непрерывном отображении 2. Отображение можно задать в векторном виде в каждой точке гладкой поверхности 3. Для существует нормаль , перпендикулярный к касательным кривым в точке . Следовательно равен векторному произведению касательных к векторов:
,
поверхность - направление касательных прямых к и в т. к поверхности . Направляющие косинусы нормали к поверхности Задание векторного поля характеризует задание вектор функции: Примеры векторных полей: - поле скоростей текущей жидкости или газа. - гравитационное поле - электростатистическое поле. Если в какой то области , заполненной жидкостью (или газом), текущей с некоторой скоростью , к каждой точке можно поставить в соответствие векторное поле , то получим векторное поле скоростей текущей жидкости. Поверхностный интеграл второго рода. Определение интеграла по поверхности. Вычисление. Дано: - область ограниченная поверхностью
Дано: - поверхность
-векторное поле скоростей текущей жидкости или газа через поверхность в направлении нормали . Функции - непрерывны в области с границей . Т/н : поток жидкости (или газа) через поверхность в направлении . Решение. 1. Поверхность разобьем на произвольных частей.
2. Выберем по точке
3. Вычислим скорость течения жидкости в точке 4. Определим , где -скалярное произведение -единичная нормаль к поверхности в точке - вектор в точке . 5. Составим 6. Найдем Механический смысл интеграла по поверхности - объем цилиндра с основанием и высотой . Если -скорость течения жидкости , то равно количеству жидкости или газа протекающий через поверхность за единицу времени в направлении нормали . - общее количество жидкости или газа протекающей через поверхность в положительном направлении нормали равен потоку векторного поля через поверхность в направлении нормали . Вычисление интеграла по поверхности Пусть нормаль : Заметим, что
Действительно, как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. Следовательно , -угол между касательной плоскостью к и его проекцией на плоскость Следовательно Вычисление интеграла по поверхности. 1.
Аналогично Пример 1. Найти поток вектора через часть поверхности параболоида в направлении внутренней нормали.
-проектируется на с двух сторон и образует с осью Ох углы (острый и тупой ) Аналогично
Пример 2. Вычислить , где -сфера , нормаль внешняя. Пример 3. Найти поток вектора через часть сферы в направлении внешней нормали
Пример 4.
Пример 5. Теорема Остроградского-Гаусса. Дивергенция. -поток вектора через поверхность в направлении за единицу времени есть разность между количеством жидкости вытекающей из области и количеством жидкости втекающей в область . 1. . Следовательно из области жидкости вытекает столько же сколько втекает. 2. жидкости или газа вытекает больше, внутри существует источник . 3. жидкости или газа втекает больше чем вытекает , внутри существует сток. Чтобы оценить мощность источников и стоков внутри нам необходима теорема Остроградского-Гаусса.
Если -непрерывна вместе с частными производными в области то:
Поток изнутри равен суммарной мощности источников и стоков в области за единицу времени. Величина потока вектора через замкнутую поверхность : является глобальной характеристикой векторного поля в области и очень приблизительно позволяет судить о наличии источников и стоков в области . · Поток представляет собой избыток жидкости протекающей в сторону положительной нормали , а не абсолютное количество жидкости прошедшей через независимо от направления течения. В связи с этим удобно ввести локальную характеристику распределения стоков и источников. Такой характеристикой является дивергенция (плотность потока в точке): Дивергенция: Определение:- стягивается в точку. Определение: Дивергенцией векторного поля в точке называется предел отношения потока векторного поля через поверхность к объему , ограниченному этой поверхностью, при условии что поверхность стягивается в точке . Дивергенция характеризует отнесенную к единице объема мощность потока векторного поля исходящего из точки , т.е. мощность источника и стока находящегося в точке . - средняя объемная мощность потока . -существует источник в точке . - существует сток в точке Теорема 2. Доказательство: ч.т.д. Пример 1. . Найти поток вектора через всю поверхность тела , в направлении внешней нормали. Решение: 1. 2. Литература 1. Ефимов А.В. Математический анализ (специальные разделы). – М. Высшая школа, 1980 2. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ, I,II ч. М. Издательство МГУ, 1987 3. Шилов Г.Е. Математический анализ функции нескольких вещественных переменных. ч. 1 – 2, М., Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1972. 4. Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа I,II ч. М. Наука 1981. |