Коли сукупність спостережень невелика, то розглянути вище метод не застосовний.
У такому разі Гольдфельд і Квант запропонували розглянути випадок, коли М (ии’)=
, тобто дисперсія залишків зростає пропорційно до квадрата однієї з незалежних змінних медалі:
Y=ХА=u.
Для виявлення наявності гетероскедастичності згадані вчені склали параметричний тест, в якому потрібно виконати такі кроки.
Крок 1. Упорядкувати спостереження відповідно до величини елементів вектора Хj
.
Крок 2. Відкинути с спостережень, які мітять в центрі вектора. Згідно з експериментальними розрахунками автори знайшли оптимальні співвідношення між параметрами с і n, де n– кількість елементів вектора хj
:
.
Крок 3. Побудувати дві економетричні моделі на основі 1МНК за двома утвореними сукупностями спостережень обсягом n1
=за умови, що обсяг n2
=перевищує кількість змінних m.
Крок 4. Знайти суму квадратів залишків за першою (1) і другою (2) моделями S1
іS2
:
S1
=uu1
,
Де u1
– залишки за моделлю (1);
S2
=uu2
,
Крок 5. Обчислити критерій
,
який в разі виконання гіпотези про гомоскедастичність відповідатиме F-розподілу з (n1
-c-2m)/2, (n2
-c-2m)/2 ступенями свободи. Це означає, що обчислення R* порівнюється з табличним значенням F-критерію для ступенів свободи (n-с-2m)/2 і (n-с-2m)/2 і вибраного рівня довіри. Якщо R*Fтабл,
то гетероскедастичність відсутня.
Приклад 1. У табл. 1. наведено дані про загальні витрати та витрати на харчування. Для цих даних перевірити гіпотезу про відсутність гетероскедастичності.
Таблиця 1.
| Номер спостереження
|
Витрати на харчування, ум.од.
|
Загальні витрати, ум. од.
|
|
u
|
u2
|
| 1 |
2,30 |
15 |
2,16 |
0,14 |
0,020 |
| 2 |
2,20 |
15 |
2,16 |
0,04 |
0,002 |
| 3 |
2,08 |
16 |
2,20 |
-0,12 |
0,015 |
| 4 |
2,20 |
17 |
2,25 |
-0,05 |
0,002 |
| 5 |
2,10 |
7 |
2,25 |
-0,15 |
0,022 |
| 6 |
2,32 |
18 |
2,29 |
0,26 |
0,0007 |
| 7 |
2,45 |
19 |
2,34 |
0,11 |
0,012 |
| 8 |
2,50 |
20 |
| 9 |
2,20 |
20 |
| 10 |
2,50 |
22 |
| 11 |
3,10 |
64 |
| 12 |
2,50 |
68 |
2,37 |
0,13 |
0,016 |
| 13 |
2,82 |
72 |
2,52 |
1,29 |
0,085 |
| 14 |
3,04 |
80 |
2,68 |
0,36 |
0,128 |
| 15 |
2,70 |
85 |
2,99 |
-0,29 |
0,084 |
| 16 |
3,94 |
90 |
3,18 |
0,76 |
0,573 |
| 17 |
3,10 |
95 |
3,38 |
-0,28 |
0,076 |
| 18 |
3,99 |
100 |
3,57 |
0,42 |
0,178 |
Розв’язання.
1. Ідентифікуємо змінні:
Y – витрати на харчування, залежна змінна,
Х – загальні витрати, не6залежна змінна;
Y=f (X,u)
2. Для перевірки гіпотези про відсутність гетероскедастичності застосуємо параметричний тест Гольдфельда-Квандта.
2.1. Упорядкуємо значення незалежної змінної від меншого до більшого і відкинемо с значень, які містяться всередині впорядкованого ряду:
,
2.3. Визначимо залишки за цими двома моделями:
u= YІ
-
І
;
u= YІІ
-
ІІ
.
Залишки та квадрати залишків наведено в табл. 7.3.
2.4. Обчислимо залишкові дисперсії та знайдемо їх співвідношення:
2.5. Порівняємо критерій R* з критичним значенням F-критерію при і ступенях свободи і рвані довіри Р=0,99 Fа=0,01
=11. Оскільки R*>Fкр
, то вихідні дані мають гетероскедастичність.
Непараметричний тести Гольдфельда-Кванта
Гольдфельд і Квант для оцінювання наявності гетероскедастичності запропонували також непараметричний тест. Цей тест базується на числі піків у величини залишків після упорядкування спостережень за хij
.
Закономірність зміни залишків, коли дисперсія є однорідною, - явище гемоскедастичності ілюструє рис. 1, а спостерігається явище гетероскедастичності.
Цей тест, звичайно, не такий надійний, як параметричний, але від досить простий.
|