Реферат: Вычисление обратной матрицы

Название: Вычисление обратной матрицы
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат

Вычисление обратной матрицы.

Рассмотрим квадратную матрицу

Квадратная матрица А называется невырожденной , или неособенной , если её определитель отличен от нуля и вырожденной , или особенной , если её определитель равен нулю.

Квадратная матрица В называется обратной для квадратной матрицы А того же порядка, если их произведение

АВ= ВА=Е ,

где Е – единичная матрица того же порядка, что и матрицы А и В.

Теорема. Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля.

Матрица, обратная к А , обозначается через А-1 , так что В= А-1 . Для матрицы А обратная ей матрица А-1 определяется однозначно.

Справедливы следующие равенства:

1) D -1 )=( D А)-1 ;

2) -1 )-1 ;

3) 1 А2 )-12 -1 А1 -1 ;

4) Т )-1 =(А-1 )Т .

Существую несколько способов нахождения обратной матрицы. Рассмотрим один из них – нахождение обратной матрицы путём вычисления алгебраических дополнений. Заключается он в следующем:

пусть нам дана матрица А , имеющая следующий вид:

Предположим, что D А ¹ 0 . Построим следующую матрицу С следующим образом:

где А ij – алгебраическое дополнение элемента а ij в определителе матрицы А . Очевидно, что для построения матрицы С необходимо сначала заменить элементы матрицы А соответствующими им алгебраическими дополнениями, а затем полученную матрицу транспонировать.

Полученная таким образом матрица С называется присоединённой к матрице А , или союзной с А .

Чтобы получить матрицу А-1 , обратную для матрицы А , необходимо каждый элемент присоединённой матрицы С поделить на D А , т.е. матрица А-1 будет иметь следующий вид:

Пусть матрица А , имеет следующий вид:

Чтобы найти матрицу А-1 , обратную для матрицы А , необходимо:

- вычислить определитель матрицы (D А= -3 );

- найти алгебраические дополнения элементов а ij в определителе матрицы А :

- составить присоединённую матрицу С по формуле (2);

- разделить все элементы матрицы С на D А .

Реализуем вышеизложенный алгоритм нахождения обратной матрицы следующим образом: вначале запишем в редакторе Word присоединенную матрицу С по формуле (2), после чего в программе Excel найдём обратную матрицу А-1 (по формуле (3)) для матрицы А .

1. Включите компьютер.

2. Подождите пока загрузится операционная система Windows , после чего откройте окно Microsoft Word .

3. Вставьте объект Microsoft Equation 3 . 0.

4. Перепишем алгебраические дополнения в формульный редактор. Для этого:

·запишите алгебраическоедополнение А12 ., используя шаблон нижних индексов;

·вставьте шаблон определителя 3-го порядка в формульном редакторе;

·занесите числовые значения определителя в свободные поля;

Повтором предыдущих действий, запишите в редакторе формул дополнения А1244 (см. рис. 8.1)

В качестве вычислительного средства воспользуемся инструментами программы Excel .

5. Откройте окно Microsoft Excel .

6. Перепишите матрицу А и формулу (4) из Word в Excel (см. рис. 8.2).

Рис. 8.1 Рис. 8.2

7. Используя функцию МОПРЕД, которая находится в мастере функций ƒх , посчитаем, чему будут равны все алгебраические дополнения. Для этого:

·активизируйте ячейку D9;

·выполните нажатие ЛКМ на кнопке ƒх в стандартной панели задач;

·в окне КАТЕГОРИЯ нажатием ЛКМ выберите МАТЕМАТИЧЕСКИЕ, а в окне ФУНКЦИЯ – МОПРЕД;

·выделите область A6¸C8;

·

Рис. 8.3
выполните нажатие ЛКМ на кнопке ОК (рис. 8.3).

Аналогичные действия проделайте со всеми остальными алгебраическими дополнениями, не забывая при этом некоторые из них умножать на число (-1). В результате проделанных действий получим: А11 = -45, А12 = 20, А13 =1, А14 =-17, А21 =63, А22 = -31, А23 =1, А24 =25, А31 = -6, А32 =3, А33 =3,33Е-16, А34 = -3, А41 =12, А42 = -5, А43 = -1, А44 =5.

Как вы видите, значение дополнения А33 записано в виде числа с мантиссой. Приведём это число к виду обыкновенной десятичной дроби. Для этого:

· активизируйте ячейку L17, после чего нажатие ПКМ;

· на экране компьютера появится контекстное меню;

· выполните нажатие ЛКМ на слове ФОРМАТ ЯЧЕЕК (рис. 8.4);

Рис. 8.5

Рис. 8.4

·после появления диалогового окна ФОРМАТ ЯЧЕЕК в окне ЧИСЛОВЫЕ ФОРМАТЫ нажмите ЛКМ на ДРОБНЫЙ, а в окне ТИП – на ПРОСТЫЕ ДРОБИ (рис. 8.5);

·выполните нажатие ЛКМ на кнопке ОК . После чего алгебраическое дополнение А33 =0 см. рис. 8.6

-Далее, в тексте задачника, если будут встречаться числа с мантиссой или бесконечные десятичные дроби, то будем пользоваться диалоговым окном ФОРМАТ ЯЧЕЕК, а данную операцию будем обозначать : поменяйте формат ячейки... на ДРОБНЫЙ.

8. Найдём в Excel матрицу А-1 , обратную для А . Для этого:

·заполните ячейки А22¸D26 значениями алгебраических дополнений, используя формулу (2), т.е., в ячейках А23¸D26 записана присоединённая матрица С (рис. 8.7).

Рис. 8.7 Рис. 8.8

·активизируйте ячейку А28 и запишите с клавиатуры в неё формулу: =А23/-3, после чего результат занесите автозаполнением в ячейки В28¸D28; А29¸А31 и В29¸D31 (рис. 8.8).

·Выделите область А28¸D31, после чего поменяйте формат выделенных ячеек на ДРОБНЫЙ (см. рис. 8.9).

Рис. 8.9 Рис. 8.10

9. Проверку проделанных вычислений произведём следующим образом:

·выделите область F28¸I31;

·воспользуйтесь функцией МОБР, которая находится в мастере функций ƒх ( категория – МАТЕМАТИЧЕСКИЕ);

·на клавиатуре одновременно нажмите следующую комбинацию клавиш: Shift + Ctrl + Enter .

В результате чего в ячейках появятся следующие значения (рис. 8.10). Полученные значения доказывают правильность произведённых вычислений.

Задания для самостоятельной работы.

1) 2 2 -1 1 1 -0,5 0,5 -1 2) 3 4 1 2 6 1/3 -4 1/6 -2 1/3 2 5/6
4 3 -1 2 ответ: 1 0,5 -0,5 0 3 5 3 5 ответ: -5 3,5 2 -2,5
8 5 -3 4 -1 1,5 -0,5 0 6 8 1 5 2 -0,5 -1 0,5
3 3 -2 2 -4 1,5 -0,5 2 3 5 3 7 0 -0,5 0 0,5
3) 2 3 11 5 - 2/7 2/7 5/7 - 1/7 4) 2 -2 0 1 1/4 1/6 0 0
1 1 5 2 ответ: 1 2/7 -2 4/5 2/7 - 1/3 2 3 1 -3 ответ: - 1/6 0 0 1/8
2 1 3 2 - 1/7 2/3 - 1/7 0 3 4 -1 2 3/8 - 1/2 - 1/3 1 1/7
1 1 3 4 - 1/7 1/7 - 1/7 3/7 1 3 1 -1 1/8 - 2/5 0 4/9
5) 2 -2 0 1 1/4 1/6 0 0 6) 2 5 4 1 1 - 1/3 - 1/2 1/7
2 3 1 -3 ответ: - 1/6 0 0 1/8 1 3 2 1 ответ: - 4/5 1 5/7 0 0
3 4 -1 2 3/8 - 1/2 - 1/3 1 1/7 2 10 9 7 5/6 -2 1/5 0
1 3 1 -1 1/8 - 2/5 0 4/9 3 8 9 20 - 1/5 2/7 0 0
7) 1 1 -6 -4 - 1/9 1/4 0 0 8) 4 -3 1 5 1/2 0 - 3/5 1/3
3 -1 -6 -4 ответ: 2/5 - 1/4 0 0 1 -2 -2 -3 ответ: 1/2 - 2/9 - 8/9 2/5
2 3 9 2 - 1/9 0 0 0 3 -1 2 0 - 1/2 - 1/9 1 - 2/7
3 2 3 8 0 0 0 1/9 2 3 2 -8 1/5 - 1/9 - 1/4 0
9) 7 9 4 2 1 0,6 -2 1,4 10) 2 -1 -6 3 - 2/9 3/8 0 -1 1/6
2 -2 1 1 ответ: 0 -0,2 0 0,2 7 -4 2 -15 ответ: 0 1/4 - 1/3 -1 1/6
5 6 3 2 -1 -0,6 3 -3,4 1 -2 -4 9 - 2/7 1/8 0 - 1/3
2 3 1 1 -1 0 1 1 1 -1 2 -6 - 1/8 0 0 - 2/7
11) 6 5 -2 4 0 - 1/3 3/4 3/7 12) 3 -2 -5 1 0 1/4 2/5 0
9 -1 4 -1 ответ: 0 1/9 - 1/5 - 1/5 2 -3 1 5 ответ: - 1/6 0 3/8 1/5
3 4 2 -2 - 1/6 1 2/7 -2 1/4 -1 1/4 1 2 0 -4 - 1/7 1/6 1/9 0
3 -9 0 2 0 1 -2 -1 1 -1 -4 9 0 0 0 1/9
13) 2 -3 3 2 0 0 0 0 14) 1 1 -6 -4 - 1/9 1/4 0 0
6 9 -2 -1 ответ: 0 1/6 0 0 3 -1 -6 -4 ответ: 2/5 - 1/4 0 0
10 3 -3 -2 2/3 1/2 - 1/7 - 1/3 2 3 9 2 - 1/9 0 0 0
8 6 1 3 - 1/2 - 1/2 0 1/2 3 2 3 8 0 0 0 1/9
15) 1 2 3 -2 0 1/9 1/6 1/9
2 -1 -2 -3 ответ: 1/9 0 1/9 - 1/6
3 2 -1 2 1/6 - 1/9 0 1/9
2 -3 2 1 - 1/9 - 1/6 1/9 0