Реферат: Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами
Название: Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами Раздел: Рефераты по информатике Тип: реферат |
П лан
1. Лінійні диференціальні рівняння з сталими коефіцієнтами Такі рівняння дуже часто зустрічаються в практиці й розв’язуються досить просто. Розглянемо окремі однорідні й неоднорідні рівняння, причому для простоти опинимося детально на диференціальних рівняннях другого порядку. 1.1. Лінійні однорідні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами Нехай маємо диференціальне рівняння вигляду (12.38) де і - сталі числа. Знайдемо два лінійно незалежних розв’язки цього рівняння . Будемо шукати розв’язок рівняння (12.38) у вигляді експоненти де - поки що невідома стала. Похідна будь-якого порядку від такої функції містить , а це дозволяє легко знайти розв’язок (12.38). Справді, запишемо та : Підставляючи ці похідні, а також функцію в рівняння (12.62), одержимо
Оскільки маємо (12.39) Рівняння (12.39) називається характеристичним відносно рівняння (12.38). Це – квадратне рівняння. Можливі такі ситуації відносно його коренів: 1) і - дійсні, причому не рівні між собою числа ; 2) і - комплексні числа ( ); 3) і - дійсні рівні числа Зупинимося детально на кожному із цих трьох випадків. 1) Корені характеристичного рівняння дійсні й різні: Відповідні частинні розв’язки та лінійно незалежні, бо Загальний розв’язок рівняння (12.38) має вигляд (12.40) де і - довільні сталі. 2) Корені характеристичного рівняння – комплексні числа. Нехай . Частинні розв’язки і є комплексними функціями дійсного аргументу:
або
Неважко переконатися, що функція та , які є відповідно дійсною та уявною частинами розв’язку , також задовольняють рівнянню (12.38). Справді, якщо яка-небудь комплексна функція є розв’язком рівняння (12.38) з дійсними коефіцієнтами, то та також задовольняють це рівняння. Це випливає з таких перетворень:
а комплексна функція тоді і тільки тоді дорівнює нулеві, коли її дійсна та уявна частини дорівнюють нулеві, що й треба було довести. Зауважимо, що розв’язки та лінійно незалежні:
Отже, загальний розв’язок рівняння (12.38) у розглядуваному випадку має вигляд (12.41) де і - довільні сталі. 3) Корені характеристичного рівняння дійсні й рівні: При цьому один частинний розв’язок знаходиться, як у випадку 1): Другий частинний розв’язок, лінійно незалежний від першого, будемо шукати у вигляді де - невідома функція. Знайдемо і :
Підставимо та у рівняння (12.38): (12.42) Оскільки - корінь характеристичного рівняння, а дискримінант дорівнює нулю (корінь кратний), то або Отже, рівняння (12.42) спрощується й після скорочення на набуває вигляду . Його загальний розв’язок отримується за допомогою інтегрування двічі і має вигляд Зокрема, якщо вибрати , розв’язок буде лінійно незалежним відносно :
Загальний інтеграл диференціального рівняння (12.38) у разі кратних коренів має вигляд (12.43) Приклад 1. Розв’язати рівняння: а) б) в) У прикладі а) характеристичне рівняння має вигляд або Звідси маємо (випадок1). Згідно з формулою (12.40) загальним розв’язком рівняння буде функція . У прикладі б) запишемо характеристичне рівняння Його корені – комплексно спряжені числа: (випадок 2). При цьому Загальний розв’язок рівняння згідно з формулою (12.41) буде У прикладі в) корені і характеристичного рівняння збігаються: Загальний розв’язок згідно з формулою (12.43) має вигляд Приклад 2. Матеріальна точка маси рухається прямолінійно, притягуючись до нерухомого центра силою, пропорційною відстані від точки до цього центра. Знайти закон руху точки. Р о з в ‘ я з о к. Згідно з умовою сила , з якою притягується точка, подається у вигляді , де - коефіцієнт пропорційності, - відстань від точки до центра. За допомогою другого закону Ньютона запишемо рівняння руху точки ( - час) . Це однорідне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами. Для зручності подамо його у вигляді (12.44) Цьому диференціальному рівнянню відповідає таке характеристичне рівняння
причому Корені та - комплексно спряжені числа Отже, загальний розв’язок рівняння (12.68) має вигляд (12.45) Знайдемо частинний розв’язок рівняння (12.44), який задовольняє початковим умовам . Поклавши у рівність (12.45), отримаємо Про диференціюємо обидві частини (12.45):
При звідси Отже, шуканим розв’язком задачі Коші буде
|