Реферат: Загальні властивості однорідних лінійних диференціальних рівнянь n-го порядку
Название: Загальні властивості однорідних лінійних диференціальних рівнянь n-го порядку Раздел: Рефераты по математике Тип: реферат |
Реферат на тему: Загальні властивості однорідних лінійних диференціальних рівнянь n-го порядку. 1. Властивості лінійного диференціального оператору. Лінійним диференціальним рівнянням називається рівняння вигляду (5.1) де Pi(x), i =1,2,…, n , f(x) – задані функції, неперервні на (a,b). При цих умовах диференціальне рівняння (5.1) має єдиний розв’язок y=y(x), який задовільняє початковим умовам . Цей розв’язок визначений і n раз неперервно диференційований на (a,b). Особливих розв’язків диференціальне рівняння (5.1) не має. Будь-який розв’язок являється частинним. Якщо при стоїть , то точки, в яких =0, називаються особливими. Якщо f(x)=0, то диференціальне рівняння (5.1) називають однорідним (5.2) Для скорочення запису введемо лінійний диференціальний оператор (5.3) Властивості оператора L : a) L (xy)=k *L (y), k = const; b) L ()=L () + L (); c) L. Використовуючи оператор L диференціального рівняння (5.1) і (5.2) перепишемо у вигляді L (y) = f (x), L (y) = 0 . Означення 5.1. Функція y = y (x) називається розв’язком диференціального рівняння (5.1), якщо L (y) f (x) (для диференціального рівняння (5.2) L (y(x)) 0). Лінійне диференціальне рівняння (5.1) залишається бути лінійним при будь-якій заміні незалежної змінної . Лінійне диференціальне рівняння (5.1) залишається бути лінійним при будь-якій лінійній заміні шуканої функції . (5.4) 2. Властивості розв’язків лінійного однорідного диференціального рівняння n–го порядку. Наша задача полягає в тому, щоб знайти всі дійсні розв’язки диференціального рівняння (5.5) Для розв’язування такої задачі доцільно знайти деякі комплексні розв’язки. Означення 5.2 Функцію z(x) = w(x) + iv(x), де w(x),v(x) дійсні функції, будемо називати комплексною функцією від дійсної змінної х (w(x) – дійсна частина, v(x) – уявна частина). Приклад 5.1. Показати справедливість формул , . (5.6) Формули (5.6) доводяться виходячи з розкладу відповідних множників b раз. Похідна n-го порядку від z (x) дорівнює . (5.7) Приведемо формули для обчислення похідної : а) ; (5.8) Дійсно б) Для дійсного к і будь-якого справедлива формула ; (5.9) в) Використовуючи (5.9) можна показати , (5.10) де - поліноми степеня n ; г) При будь-якому (дійсному або комплексному) справедлива формула . (5.11) Формула (5.11) доводиться шляхом представлення і використання формули (5.8). Означення 5.3. Комплексна функція y (x) = (x) + i(x) (5.12) називається розв’язком однорідного диференціального рівняння (5.5); якщо L (y(x)) 0, a < x < b. Комплексний розв’язок (5.12) утворює два дійсних розв’язки (x), (x). Дійсно L (y(x)) = L ((x) + i(x)) = L((x)) + iL((x)) = 0 . Звідки L((x)) = 0, L((x)) = 0. Властивості розв’язків лінійного однорідного диференціального рівняння (5.5). а) Якщо (x) – розв’язок , тобто L() 0, то y=c(x), де с – довільна константа , теж розв’язок диференціального рівняння (5.5) L(с) = сL() = 0. б) Якщо (x), (x) - розв’язки диференціального рівняння (5.5) , то у= (x)+(x) теж розв’язок . Дійсно L (+) = L ()+L () = 0. в) Якщо (x), (x), ... , ) - розв’язки диференціального рівняння (5.5), то їх лінійна комбінація також являється розв’язком L= 0. Приклад 5.2. Записати двохпараметричне сімейство розв’язків. , =cos(x), =sin(x) - розв’язки, тоді y = ccos(x)+csin(x) - розв’язок . 3. Необхідні і достатні умови лінійної незалежності n-розв’язків лінійного однорідного диференціального рівняння n – го порядку. Означення 5.4. Функції (x), (x), ... , називаються лінійно незалежними на (a,b) , якщо між не існує співвідношення виду (x) + (x) + ... + 0 , a < x < b , (5.13) де , ... , - постійні числа не рівні нулю одночасно . В противному випадку функції (x), (x), ... , називають лінійно залежними на (a,b). Для двох функцій поняття лінійної незалежності на (a,b) зводиться до того, щоб відношення функцій , не було постійним на (a,b). Зауваження 5.1. Якщо одна із функцій на (a,b) тотожньо дорівнює нулю, то ці функції лінійно залежні. Приклад 5.3. Функції =1, =x, ... , - лінійно незалежні на будь-якому інтервалі (a,b) . Дійсно співвідношення +x + ... +x=0 , в якому не всі дорівнюють нулю, не може виконуватися для будь-яких x , так як рівняння (n-1) – го степеня має не більше (n-1) – го коренів. Приклад 5.4. Функції , - лінійно незалежні, так як співвідношення , де не рівні одночасно нулю, виконуються не більше ніж в одній точці. Це випливає з =. Приклад 5.5. Функції =sinx , =cosx , =1 – лінійно залежні на , так як для будь-якого х справджується співвідношення sinx + cosx – 1 = 0 . Розглянемо необхідні умови лінійної залежності n - функцій . Теорема 5.1. Якщо функції (x), (x), ... , - лінійно залежні на (a,b) , то їх вронскіан W (x) тотожньо дорівнює нулю на (a,b) . Тут W (x) = (5.14) Доведення. Згідно умови теореми (x) + (x) + ... + 0 , a < x < b , де не всі одночасно рівні нулю . Нехай , тоді (5.15) Диференціюємо (5.15) (n-1)-раз і підставляємо в (5.14) W (x) =(5.16) Розкладаючи визначник (5.16) на суму визначників, будемо мати в кожному з них два однакові стовпці, тому всі визначники будуть рівні нулю і отже W (x) 0 , a < x < b. Теорема доведена. Нехай кожна з функцій (x), (x), ... , - розв’язок диференціального рівняння (5.5) . Тоді необхідні і достатні умови лінійної незалежності цих розв’язків даються теоремою 5.1. і слідуючою теоремою . Теорема 5.2. Якщо функції (x), (x), ... , - суть лінійно незалежні розв’язки диференціального рівняння (5.5), всі коефіцієнти якого неперервні на (a,b) , то вронскіан цих розв’язків W не дорівнює нулю в жодній точці інтервалу (a,b) . Доведення. Припустимо протилежне , що в точці (a,b). Складемо систему рівнянь (5.17) Так як визначник системи (5.17) , то вона має ненульовий розв’язок . Розглянемо функцію y =, (5.18) яка являється розв’язком диференціального рівняння (5.5). Система (5.17) показує , що в точці розв’язок (5.18) перетворюється в нуль разом із своїми похідними до (n-1) –го порядку . В силу теореми існування і єдиності це значить , що має місце тотожність y (x) = , a < x < b, де не всі дорівнюють нулю . Останнє означає , що розв’язки (x), (x), ... , - лінійно залежні на (a,b). Це протиріччя і доводить теорему. З теорем 5.1. і 5.2. випливає : для того , щоб n розв’язків диференціального рівняння (5.5) були лінійно незалежними на (a,b) необхідно і достатньо , щоб їх вронскіан не дорівнював нулю в жодній точці цього інтервалу. Виявляється , для вияснення лінійної незалежності n розв’язків диференціального рівняння (5.5) достатньо переконатися , що W (x) не дорівнює нулю хоча б в одній точці інтервалу (a,b) . Це випливає з наступних властивостей вронскіана від n розв’язків диференціального рівняння (5.5): а) Якщо вронскіан дорівнює нулю в одній точці (a,b) і всі коєфіцієнти диференціального рівняння (5.5) являються неперервними , то на (a,b). Дійсно, якщо , то по теоремі 5.2. функції (x), (x), ... , - лінійно залежні на (a,b). Тоді , по теоремі 5.1. на (a,b); б) якщо вронскіан n розв’язків диференціального рівняння (5.5) відмінний від нуля в одній точці (a,b) , то на (a,b) . Дійсно , якби W (x) дорівнював в одній точці з (a,b) нулю , то згідно а) на (a,b) , в тому числі і в точці (a,b) , що протирічить умові. Звідси випливає , якщо n розв’язків диференціального рівняння (5.5) лінійно незалежні на (a,b) , то вони будуть лінійно незалежні на будь-якому (a,b) . 4. Формула Остроградського – Ліувілля. Ця формула має вигляд (5.19) Доведення . Розглянемо вронскіан W (x) = і обчислимо його похідну + + . Перших (n-1)-визначників рівні нулю , так як всі вони мають по дві однакових стрічки . Далі домножимо (n-1) стрічки останнього визначника відповідно на і складемо всі nстрічок . В силу диференціального рівняння (5.5) маємо = , Звідки маємо формулу (5.19) . 5. Фундаментальна система розв’язків та ії існування. Означення 5.5. Сукупність n розв’язків диференціального рівняння (5.5) визначених і лінійно незалежних на (a,b) називається фундаментальною системою розв’язків . З попереднього випливає , для того , щоб система n розв’язків диференціального рівняння (5.5) була фундаментальною системою розв’язків необхідно і достатньо , щоб вронскіан цих розв’язків був відмінний від нуля хоч в одній точці інтервалу неперервності коефіцієнтів диференціального рівняння (5.5) . Всі ці розв’язки повинні бути бути ненульовими . Теорема 5.3. (про існування ФСР) Якщо коефіцієнти диференціального рівняння (5.5) являються неперервними на (a,b) , то існує фундаментальна система розв’язків на цьому інтервалі. Доведення . Візьмемо точку (a,b) і побудуємо, використовуючи метод Пікара , розв’язки : з початковими умовами ; ------------- // --------------- ; ... ------------- // --------------- ... ... ... .... ------------- // --------------- . Очевидно , що , отже побудовані розв’язки лінійно незалежні . Теорема доведена . З методу побудови лінійно незалежних функцій випливає, що таких функцій можна побудувати безліч. Побудована система розв’язків називається нормованою в точці . Для будь-якого диференціального рівняння (5.5) існує тільки одна фундаментальна система розв’язків , нормована по моменту . 6. Загальний розв’язок. Число лінійно незалежних розв’язків. Теорема 5.4. Якщо (x), (x), ... , - фундаментальна система розв’язків диференціального рівняння (5.5) , то формула y = , (5.20) де , , ... , - довільні константи, дає загальний розв’язок диференціального рівняння (5.5) в області a < x < b, , , ... , (5.21) , тобто в області визначення диференціального рівняння (5.5). Доведення. Якщо (x), (x), ... , - розв’язки диференціального рівняння (5.5) , то лінійна комбінація (5.20) теж розв’язок . Систему (5.22) можна розв’язати відносно , , ... , в області (5.21) , так як . Згідно визначення (5.20) – загальний розв’язок і він містить в собі всі розв’язки диференціального рівняння (5.5) . Теорема доведена . Для знаходження частинного розв’язку такого , що (5.23) необхідно все підставити в (5.22) і визначити , i=1,2,…,n . Тоді - частинний розв’язок , якщо фундаментальна система розв’язків – нормована в точці , то , тобто (5.24) загальний розв’язок в формі Коші . Зауважимо , що загальний розв’язок диференціального рівняння (5.5) є однорідна лінійна функція від довільних констант . Твердження 5.1. Диференціальне рівняння (5.5) не може мати більше ніж n лінійно незалежних частинних розв’язків. Дійсно , нехай ми маємо (n+1) частинний розв’язок . Розглянемо nперших . Якщо вони лінійно залежні , то і всі будуть лінійно залежні , так як , a < x < b, де всі не дорівнють нулю . Якщо ж вони лінійно залежні, то по теоремі 5.4. будь-який розв’язок , в тому числі і виражається через , , ... , , тобто =. Так , що (n+1)-ий розв’язок знову виявився лінійно залежним . Для побудови диференціального рівняння типу (5.5) по системі лінійно незалежних функцій (x), (x), ... , , які n раз неперервно диференційовані на (a,b) , вронскіан яких , (a,b) необхідно розглянути вронскіан порядку (n+1) = 0 і розкрити цей визначник по останньому стовпцю . Якщо відомо один частинний ненульовий розв’язок диференціального рівняння (5.5) , то можна понизати порядок його на одиницю заміною , або (5.25) Тоді і диференціального рівняння (5.5) запишемо у вигляді Ми отримали диференціальне рівняння порядку (n-1) . Якщо маємо к лінійно незалежнихчастинних розв’язків , то диференціальне рівняння (5.5) можна понизити на к одиниць . |