Реферат: Властивості визначеного інтеграла
Название: Властивості визначеного інтеграла Раздел: Рефераты по математике Тип: реферат |
1. Властивості визначеного інтеграла 10 Величина визначеного інтеграла не залежить від позначення змінної інтегрування: тощо. Інтегральна сума, а отже, і її границя не залежать від того, якою буквою позначено аргумент функції f. Це й означає, що визначений інтеграл не залежить від позначення змінної інтегрування. Визначений інтеграл введений для випадку, коли a<b. Узагальнимо поняття інтеграла на випадки, коли a=b i a>b. 20. Визначений інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю: 30. Від переставлення меж інтегрування інтеграл змінює знак на протилежний: (33) Властивості 20 і 30 приймають за означенням. Відзначимо, що ці означення повністю виправдовує наведена далі формула Ньютона – Лейбніца. 40. Якщо функція f(x) інтегрована на максимальному з відрізків [a;b], [a;c], [c;b], то справедлива рівність (34) (адитивність визначеного інтеграла). Припустимо спочатку, що a<c<b. Оскільки границя інтегральної суми не залежить від способу розбиття відрізка [a;b] на частинні відрізки, то розіб’ємо [a;b] так, щоб точка с була точкою розбиття. Якщо, наприклад, с=хт , то інтегральну суму можна розбити на дві суми: . Переходячи в цій рівності до границі при , дістанемо формулу (34). Інше розміщення точок a, b, с зводиться до вже розглянутого. Якщо, наприклад, a<b<c, то за формулами (34) і (33) маємо На рис. 7.5 показано геометрично цю властивість для випадку, коли і a<b<c: площа трапеції aABb дорівнює сумі площ трапеції aACc i cCBb. Зауваження. Нехай f(x) – знакозмінна неперервна функція на відрізку [a;b], де a<b, наприклад, (рис.7.6) Скориставшись адитивністю та геометричним змістом інтеграла, дістанемо де S1, S2, S3 – площі відповідних криволінійних трапецій. Отже, в загальному випадку, з погляду геометрії визначений інтеграл (27) при a<b дорівнює алгебраїчній сумі площ відповідних криволінійних трапецій, розміщених над віссю Ох, мають знак плюс, а нижче осі Ох – знак мінус. Якщо a>b то все формулюється навпаки . Зазначимо, що площа заштрихованої на рис. 7.6 фігури виражається інтегралом 50. Сталий множник С можна винести за знак визначеного інтеграла (35) Дійсно 60. Визначений інтеграл від суми інтегрованих функцій дорівнює сумі визначених інтегралів від цих функцій: (36) Для довільного τ – розбиття маємо Звідси, переходячи до границі при дістанемо формулу (36). Ця властивість має місце для довільного скінченого числа доданків. Властивості 50 і 60 називають лінійністю визначеного інтервала. 70. Якщо всюди на відрізку [a;b] маємо , то (37) (збереження знака підінтегральної функції визначеним інтегралом). Оскільки то будь-яка інтегральна сума і її границя при , теж невід’ємна. 80. Якщо всюди на відрізку [a;b] маємо , то (38) (монотонність визначеного інтеграла). Оскільки то з нерівності (37) маємо Використовуючи властивість 40 , дістанемо нерівність (38). Якщо то властивість 80 можна зобразити геометрично (7.7): площа криволінійної трапеції aA1B1b не менша площі криволінійної трапеції aA2B2b. 90. Якщо функція f(x) інтегрована на відрізку [a;b] (a<b), то (39) Застосовуючи формулу (38) до нерівності дістаємо Звідки й випливає нерівність (39). 100. Якщо то (40) Скориставшись формулами (39) та (35), дістанемо Звідси й одержуємо нерівність (40), оскільки (41) 110. Якщо т і М – відповідно найменше і найбільше значення функції f(х) на відрізку [a;b] (a<b), то (42) (оцінки інтеграла по області). За умовою тому з властивості 70 маємо Застосовуючи до крайніх інтегралів формули (35) і (41), дістаємо нерівність (42). Якщо , то властивість 110 ілюструється геометрично (рис. 7.8): площа криволінійної трапеції aABb не менша площі прямокутника aA1B1b і не більша площі прямокутника aA2B2b. 120. Якщо функція f(х) неперервна на відрізку [a;b], то на цьому відрізку знайдеться така точка с, що (43) (теорема про середнє значення функції). Якщо функція f(х) неперервна на відрізку, то вона досягає свого найбільшого значення М і найменшого значення т. Тоді з оцінок (42) дістанемо (якщо a<b) Покладемо Оскільки функція f(х) неперервна на відрізку [a;b], то вона набуває всі проміжні значення відрізка [m; M] (п. 5.3, гл. 4). Отже, існує точка така, що , або (44) звідки й випливає дана властивість. Для випадку, коли a>b, приводимо ті самі міркування для інтеграла , ф потім, переставивши границі. Приходимо до попередньої формули. Рівність (44) називається формулою середнього значення, а величина f(c) – середнім значенням функції на відрізку [a;b]. Теорема про середнє значення при має такий геометричний зміст (рис. 7.9.): значення визначеного інтеграла дорівнює площі прямокутника з висотою f(c) і основою b-a. Термін “середнє значення функції” добре узгоджується з такими фізичними поняттями, як середня швидкість, середня густина, середня потужність тощо. Якщо, наприклад, у формулі (44) інтеграл означає пройдений шлях за проміжок часу f [a;b] (п.2.2), то середнє значення f(c) означає середню швидкість, тобто сталу швидкість, при якій точка, рухаючись рівномірно, за той же проміжок часу пройшла б той самий шлях, що і при нерівномірному русі із швидкістю f(t). 130. Якщо змінити значення інтегрованої функції в скінченому числі точок, то інтегрованість її не порушиться, а значення інтеграла при цьому не зміниться. Ця властивість дає змогу говорити про інтеграл навіть тоді, коли функція f(х) не визначена в скінченому числі точок відрізка[a;b]. При цьому в цих точках функції можна надати цілком довільних значень і величина інтеграла не зміниться. |