Дипломная работа: Элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функторов
Название: Элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функторов Раздел: Рефераты по математике Тип: дипломная работа |
Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования "Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины" Математический факультет Курсовая работа Элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функторов Исполнитель: Студентка группы М-42 Ларченко А.Ю. Научный руководитель: Канд. физ-мат. наук, доцент Зверева Т.Е. Гомель 2006 Содержание 1. Общие определения и обозначения 3. Определения и основные примеры подгрупповых функторов 4. Решетки подгрупповых функторов 5. Классы групп с заданными решетками подгрупповых функторов Список использованных источников ВведениеСогласно теореме о соответствии между подгруппами основной группы, содержащие нормальную подгруппу и подгруппами из факторуппы существует взаимнооднозначное соответствие, при котором нормальным подгруппам соответствуют нормальные подгруппы, субнормальным подгруппам соответствуют субнормальные и т.д. Этот факт лежит в основе следующего определения, введеного в монографии А.Н. Скибы "Алгебра формаций." (Мн.: Беларуская навука, 1997). Пусть некоторый класс групп. Составим с каждой группой некоторую систему ее подгрупп . Будем говорить, что - подгрупповой -функтор или подгрупповой функтор на , если выполняются следующие условия: 1) для всех ; 2) для любого эпиморфизма , где А, и для любых групп и имеет место и Значение этого понятия связано прежде всего с тем, что подгрупповой функтор выделяет в группе те системы подгрупп, которые инвариантны относительно гомоморфизма и поэтому удобны при проведении индуктивных рассуждений. Целью данной дипломной работы является элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функтороф, доступное для понимания в рамках специальных курсов математических факультетов. Дипломная работа состоит из введения, общей части, включающей 5 параграфов, заключения и списка используемой литературы. В первом параграфе приводятся общие определения и обозначения. Во втором параграфе даются те известные результаты теории групп, которые используются в основном тексте дипломной работы. Третий параграф посвящен изучению основных понятий подгрупповых функторов и рассмотрению примеров. Здесь из различных источников собраны и систематизированы основные определения и примеры подгрупповых функторов. В параграфе четыре систематизирован теоретический материал по теме "Решетки подгрупповых функторов". Параграф пять изучает свойства конечных групп в зависимости от свойств соответствующих решеток подгрупповых функторов. Перечень условных обозначений- принадлежность элемента множеству; - знак включения множеств; - знак строгого включения; и - соответственно знаки пересечения и объединения множеств; - пустое множество; - множество всех простых чисел; - некоторое множество простых чисел, т.е. ; Пусть - группа. Тогда: - порядок группы ; - порядок элемента группы ; - коммутант группы , т.е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы ; - является подгруппой группы ; - является собственной подгруппой группы ; - является максимальной подгруппой группы ; - является нормальной подгруппой группы ; - является субнормальной подгруппой группы ; - является минимальной нормальной подгруппой группы ; - факторгруппа группы по подгруппе ; - индекс подгруппы в группе ; - нормализатор подгруппы в группе ; Если и - подгруппы группы , то: - и изоморфны. Пусть - группа, и , тогда: - правый смежный класс, - левый смежный класс; - совокупность всех нормальных подгрупп группы ; - группа порядка ; Скобки применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп. - подгруппа, порожденная элементами и . - подгрупповой - функтор или подгрупповой функтор на , где - некоторый класс групп; - совокупность всех - подгрупп группы ; - тривиальный подгрупповой - функтор; - единичный подгрупповой - функтор; - ограничение подгруппового - функтора на класс групп ; - пересечение системы подгрупповых - функторов ; - решётка всех подгрупповых - функторов; - решётка всех замкнутых подгрупповых - функторов; Прописными готическими буквами обозначаются классы групп, т.е. всякое множество групп, содержащее вместе с каждой своей группой и все группы, ей изоморфные, в частности, формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. Стандартные обозначения, закрепленные за некоторыми классами групп: - класс всех групп; - класс всех абелевых групп; 1. Общие определения и обозначенияБинарной алгебраической операцией на множестве называют отображение декартова квадрата во множество . Если - бинарная операция на , то каждой упорядоченной паре элементов из соответствует однозначно определенный элемент . Бинарную операцию на обозначают одним из символов: и т.д. Если, например, вместо условимся писать , то вместо пишем . Говорят, что на множестве X определена бинарная операция (умножение), если для всех . Если для всех , то операция называется ассоциативной . Если для всех , то операция называется коммутативной . Элемент называется единичным , если для всех . Обратным к элементу называется такой элемент , что . Полугруппой называется непустое множество с бинарной алгебраической операцией (умножение), удовлетворяющей следующим требованиям: (1) операция определена на , т.е. для всех и ; (2) операция ассоциативна, т.е. для любых . Группой называется непустое множество с бинарной алгебраической операцией (умножением), удовлетворяющей следующим требованиям: (1) операция определена на , т.е. для всех и ; (2) операция ассоциативна, т.е. для любых ; (3) в существует единичный элемент, т.е. такой элемент , что для всех ; (4) каждый элемент обладает обратным, т.е. для любого существует такой элемент , что . Группу с коммутативной операцией называют коммутативной или абелевой . Если - конечное множество, являющееся группой, то G называют конечной группой , а число элементов в - порядком группы . Также группой называется непустое множество с бинарной алгебраической операцией (умножением), удовлетворяющей следующим требованиям: (1) операция определена на ; (2) операция ассоциативна; (3) уравнения , имеют решения для любых элементов . Подмножество группы называется подгруппой , если - группа относительно той же операции, которая определена на группе . Для подгруппы используется следующее обозначение: . Запись читается так: - подгруппа группы . Также можно дать следующее определение подгруппы конечной группы. Непустое подмножество конечной группы называется подгруппой , если для всех и Собственной называется подгруппа, отличная от группы. Пусть - группа, и . Правым смежным классом группы по подгруппе называется множество всех элементов группы вида , где пробегает все элементы подгруппы . Аналогично определяется левый смежный класс Если - конечная группа, то число различных правых смежных классов по подгруппе также будет конечно, оно называется индексом подгруппы в группе и обозначается через . Подгруппа называется нормальной подгруппой группы , если для всех . Запись читается так: - нормальная подгруппа группы Равенство означает, что для любого элемента существует элемент такой, что . Пусть - нормальная подгруппа группы . Обозначим через совокупность всех левых смежных классов группы по подгруппе , т.е. . Группа называется факторгруппой группы по подгруппе и обозначается через . Условимся через S обозначать совокупность всех подгрупп группы , содержащих подгруппу . В частности, S = S - совокупность всех подгрупп группы , а S . Каждая нормальная подгруппа группы определяет цепочку . Обобщая эту ситуацию, цепочку вложенных друг в друга нормальных подгрупп группы называют нормальным рядом в . Ряд называется субнормальным , если выполняется более слабое условие: каждый предыдущий его член есть нормальная подгруппа следующего члена, т.е. для Члены субнормальных рядов называются субнормальными подгруппами (если подгруппа субнормальна в , то пишут (). Ясно, что каждый нормальный ряд является субнормальным. Собственная подгруппа неединичной группы называется максимальной подгруппой , если не содержится ни в какой другой подгруппе, отличной от всей группы , т.е. если из условия следует, что или . Для максимальной подгруппы неединичной группы используется запись В абелевой группе любые два элемента перестановочны. Если группа неабелева, то в ней существуют неперестановочные элементы, т.е. такие элементы и , что . Поэтому естественно рассмотреть элемент , для которого . Отсюда . Коммутатором элементов и называют элемент , который обозначают через . Ясно, что . Подгруппа, порождённая коммутаторами всех элементов группы , называется коммутантом группы и обозначается через . Таким образом, . Для любой неединичной подгруппы можно построить цепочку коммутантов Если существует номер такой, что , то группа называется разрешимой . Если - непустое подмножество группы и , то Элемент называется перестановочным с подмножеством , если . Равенство означает, что для любого элемента существует такой элемент , что . Если элемент перестановочен с подмножеством , то Совокупность всех элементов группы , перестановочных с подмножеством называется нормализатором подмножества в группе и обозначается через . Итак, Пусть и - мультипликативные группы. Отображение называется гомоморфизмом группы в группу , если для любых и . Если - подмножество группы , то образ при гомоморфизме , а - образ гомоморфизма . Образ гомоморфизма также обозначают через . Ядром гомоморфизма называется множество где - единичный элемент группы . Другими словами, в ядре собраны все элементы группы , переходящие при отображении в единичный элемент группы . Гомоморфизм называется мономорфизмом , если . Из леммы 1 следует, что гомоморфизм является мономорфизмом тогда и только тогда, когда отображение - инъекция. Если , то гомоморфизм называется эпиморфизмом . Ясно, что в этом случае - сюръекция. Гомоморфизм, который одновременно является мономорфизмом и эпиморфизмом, будет изоморфизмом. 2. Используемые результатыТеорема 1.1 (Теорема о соответствии) Пусть - нормальная подгруппа группы . Тогда: ( 1) если - подгруппа группы и , то - подгруппа факторгруппы ; (2) каждая подгруппа факторгруппы имеет вид , где - подгруппа группы и ; (3) отображение является биекцией множества S на множество S ; (4) если S , то - нормальная подгруппа группы тогда и только тогда, когда - нормальная подгруппа факторгруппы . Лемма 1.2 Пусть - гомоморфизм группы в группу . Тогда: ( 1) единичный элемент группы переходит в единичный элемент группы , т.е. ; (2) обратный элемент переходит в обратный, т.е. для всех ; (3) образ гомоморфизма является подгруппой группы , т.е. ; (4) ядро гомоморфизма является нормальной подгруппой группы , т.е. ; (5) тогда и только тогда где когда . Лемма 1.3 Пусть - гомоморфизм группы в группу . Тогда: ( 1) если , то ; (2) если , то ; (3) если подмножества и сопряжены в , то и сопряжены в . Теорема 1.4 (Основная теорема о гомоморфизме) При гомоморфизме групп факторгруппа по ядру изоморфна образу, т.е. если - гомоморфизм, то . Теорема 1.5 (первая о изоморфизме) Пусть - нормальная подгруппа группы . Тогда для любой подгруппы пересечение является нормальной подгруппой в подгруппе , а отображение является изоморфизмом групп и . Теорема 1.6 (вторая о изоморфизме) Если и - нормальные подгруппы группы , причем , то изоморфна . Лемма 3.1 Пусть - формация, . Тогда Лемма 20.6. Пусть - подгрупповой функтор и - группа. Если и , тогда . Лемма 20.7. Пусть , - элементарно абелевы -группы с . Тогда имеет подгруппу такую, что . Теорема. Пусть - такой набор конгруэнций -алгебры A, что . Пусть прямое произведение факторалгебр и Тогда - мономорфизм алгебры в алгебру и входит подпрямо в . Теорема 20.8. Пусть - конечное многообразие локально конечных групп, причем каждая группа из либо счетна, либо конечна. Тогда в том и только в том случае решетка является цепью, когда существует такое простое число , что каждая группа в является элементарно абелевой -группой. Теорема 20.9. Пусть - конечная группа и - конечное многообразие, порожденное . Тогда в том и только в том случае является элементарной абелевой -группой, когда решетка является цепью. Лемма 24.9 Пусть - наследственный гомоморф конечных групп. Пусть - замкнутый подгрупповой функтор на Пусть - нильпотентная группа в и Предположим, что , где - простое число. Пусть - нильпотентная группа в такая, что и Тогда Лемма 24.10 Пусть - наследственный гомоморф конечных нильпотентных групп и Пусть Если - идемпотент в , удовлетворяющий условию и , где тогда Теорема 24.11 Пусть - конечное многообразие групп. И пусть каждая группа в конечная. Тогда ширина решетки всех идемпотентов в конечна и в том и только в том случае, когда состоит из нильпотентных групп и 3. Определения и основные примеры подгрупповых функторовПусть некоторый класс групп. Составим с каждой группой некоторую систему ее подгрупп . Будем говорить, что - подгрупповой -функтор или подгрупповой функтор на , если выполняются следующие условия: 1) для всех ; 2) для любого эпиморфизма , где А, и для любых групп и имеет место и Подгрупповой -функтор называется: 1) замкнутым , если для любых двух групп и имеет место ; 2) тривиальным , если для любой группы имеет место ; 3) единичным , если для любой группы система состоит из всех подгрупп группы G. Тривиальный подгрупповой -функтор обозначается символом , а единичный - символом . Если и - подгрупповой -функтор, то - такой подгрупповой -функтор, что для всех . Такой функтор называется ограничением функтора на классе . Рассмотрим несколько примеров подгрупповых функторов. В случае, когда - класс всех групп, подгрупповые -функторы мы будем называть просто подгрупповыми функторами. Пример 1. Пусть для любой группы , Понятно, что - замкнутый подгрупповой функтор. Для обозначения такого подгруппового функтора мы применяем запись . Пример 2. Пусть - совокупность всех нормальных подгрупп группы для каждой группы . Такой функтор в общем случае замкнутым не является. Пример 3. Пусть - произвольное натуральное число. Для каждой группы через обозначим совокупность всех таких подгрупп , для которых . Понятно, что - подгрупповой -функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись . Пример 4. Пусть - произвольное кардинальное число. И пусть для любой группы . Понятно, что такой подгрупповой функтор в общем случае не является замкнутым. Для обозначения такого функтора мы применяем запись . Если - подгруппа группы , то символом обозначается мощность множества . Пример 5. Пусть - простое число и пусть для любой группы система в нет такой подгруппы , что , - натуральное число, взаимнопростое с . Покажем, что - подгрупповой функтор. Действительно , пусть и . Предположим, что где - натуральное число. Тогда - натуральное число и Следовательно, , и поэтому . Это означает, что . Аналогично, мы видим, что если то . Таким образом, - подгрупповой функтор. Для обозначения такого подгруппового функтора мы используем запись . Заметим, что если - некоторый класс конечных групп и , то - замкнутый подгрупповой функтор. Пример 6. Пусть . И пусть для каждой группы множество совпадает с совокупностью всех тех подгрупп из , индексы которых не делятся на числа из . Понятно, что - замкнутый подгрупповой функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись . Напомним, что подгруппа группы называется абнормальной в , если всегда из следует, что . Пример 7. Пусть для любой группы множество совпадает с совокупностью всех абнормальных подгрупп группы . Легко видеть, что - незамкнутый подгрупповой функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись . Пример 8. Пусть - произвольный класс групп. Подгруппа группы называется - абнормальной в , если выполняется одно из следующих двух условий: 1) ; 2) и для любых двух подгрупп и из , где и - максимальная подгруппа в имеет место . Легко видеть, если группа разрешима, то ее подгруппа абнормальна в тогда и только тогда, когда она -абнормальна в . Сопоставляя каждой группе множество всех ее -абнормальных подгрупп , получаем подгрупповой функтор, для которого мы будем применять запись . Пример 9. Подгруппа группы называется -субнормальной в , если выполняется одно из следующих двух условий: 1) ; 2) и в имеется такая цепь подгрупп где - максимальная в подгруппа, содержащая , . Пусть - некоторая непустая формация и для каждой группы система состоит из всех -субнормальных в подгрупп. Покажем, что - подгрупповой функтор. Пусть -субнормальна в . И пусть и - такие члены цепи (1), что , где - нормальная в подгруппа. Покажем, что - максимальная подгруппа в . Допустим, что для некоторой подгруппы . Тогда поскольку максимальна в , то либо , либо . Пусть имеет место первое. Тогда поскольку , то . Противоречие. Значит, , т.е. . Поэтому . Противоречие. Итак, ряд таков, что в нём для любого имеет место одно из двух условий: 1) ; 2) - максимальная подгруппа в . He теряя общности, мы можем считать, что все члены ряда (2) различны. Заметим, что поскольку то Итак, - -субнормальная подгруппа в . Понятно также, что если - -субнормальная подгруппа в , то - -субнормальная подгруппа в . Таким образом, - подгрупповой функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись . Класс групп называется гомоморфом, если он содержит все гомоморфные образы всех своих групп. Гомоморф конечных групп называется формацией , если каждая конечная группа обладает наименьшей по включению нормальной подгруппой (обозначаемой символом ) со свойством . Лемма 3.1 Пусть - формация, . Тогда Доказательство. Пусть . Тогда Отсюда следует, что . С другой стороны, поскольку - гомоморф, то Откуда получаем . Из и следует равенство . Лемма доказана. Пример 10 . Пусть - некоторый класс конечных групп и - формация. Пусть для любой группы Покажем, что - подгрупповой - функтор. Действительно, пусть и . Тогда , и поэтому, согласно лемме 3.1, мы имеем Следовательно, . Аналогично, если , то . Следовательно, - подгрупповой -функтор. Для обозначения такого функтора мы применяем запись . Пример 11. Для каждой группы через обозначим совокупность всех абнормальных максимальных подгрупп из . Понятно, что - подгрупповой функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись . 4. Решетки подгрупповых функторовАспект применения подгупповых функторов состоит в сопоставлении группе некоторой решетки подгупповых функторов свойства которой тесно связаны со свойствами самой группы. Это позволяет использовать строение группы в зависимости от условий налогаемых на соответствующую решетку подгупповых функторов. Следует отметить также, что используя понятие подгуппового функтора можно строить новые типы решеток, что указывает на полезность этого понятия и для теории решеток. Пусть - некоторый класс групп. Будем говорить, что - ограниченный класс, если найдется такое кардинальное число , что для всех имеет место . Везде в дальнейшем мы предполагаем, что - некоторый ограниченный класс групп. Обозначим через, множество всех подгрупповых -функторов, а через - множество всех замкнутых подгрупповых -функторов. На множестве введем частичный порядок , полагая, что имеет место тогда и только тогда, когда для любой группы справедливо . Для произвольной совокупности подгрупповых -функторов определим их пересечение для любой группы . Понятно, что - нижняя грань для в . Мы видим, что - полная решетка с нулем и единицей . Понятно, что функтор , где для всех , является верхней гранью для в . Заметим, что если - произвольный набор замкнутых подгрупповых -функторов, то, очевидно, - замкнутый подгрупповой -функтор. А поскольку замкнутым является и функтор , мы видим, что также является полной решеткой. Оказывается, что свойства таких решеток тесно связаны со свойствами групп, входящих в . Отметим, например, что если содержится в классе конечных групп, то решетка является цепью тогда и только тогда, когда для некоторого простого числа класс состоит из элементарно-абелевых -групп. С другой стороны, решетка является цепью тогда и только тогда, когда все группы из являются -группами. Покажем, что в общем случае не является подрешеткой в . Для этого достаточно установить, что если - класс всех конечных групп и ,, где и - различные простые числа, то функтор не является замкнутым. Пусть , где - группа порядка , a - группа порядка . Понятно, что и . Таким образом, если бы функтор был бы замкнутым, то мы бы имели Но, как нетрудно заметить, во множество входят лишь такие подгруппы из для которых имеет место одно из двух: или . Это означает, что . Следовательно, функтор не является замкнутым. 5. Классы групп с заданными решетками подгрупповых функторовСопоставляя классу конечных групп решетки и можно изучать свойства групп из в зависимости от свойств решеток и . Лемма 20.6. Пусть - подгрупповой функтор и - группа. Если и , тогда . Доказательство. Если - канонический эпиморфизм на , то Так как мы видим по определению подгрупповых функторов, что . Лемма доказана. Пусть - элемент группы . Тогда если для некоторого натурального числа имеет место , то наименьшее натуральное число с таким свойством называется порядком элемента . Говорят, что - группа экспоненты , если каждый ее неединичный элемент имеет порядок . Пусть - простое число. Тогда группа называется элементарно абелевой -группой, если - абелева группа экспоненты . Лемма 20.7. Пусть , - элементарно абелевы -группы с . Тогда имеет подгруппу такую, что . Доказательство. Нам необходимо рассмотреть лишь случай, когда - бесконечная группа. Пусть и , где для всех и . Пусть - подмножество в такое, что . И пусть , где и . Тогда ясно, что Следовательно, . Лемма доказана. Напомним, что класс групп называется наследственным , если он содержит все подгруппы всех своих групп. Класс групп называется конечным многообразием , если он наследственен, является гомоморфом и содержит прямое произведение (с конечным числом сомножителей) любых своих групп. Пусть - простое число, делящее порядок группы . Подгруппа группы называется силовской -подгруппой в , если и - степень числа . Известная в теории групп теорема Силова утверждает, что для любого простого числа в любой конечной группе с имеется силовская -подгруппа. Конечная группа называется -группой , если ее порядок является степенью числа . Обозначим через - класс всех конечных абелевых групп. Ввиду теоремы Теорема. Пусть - такой набор конгруэнций -алгебры A, что . Пусть прямое произведение факторалгебр и Тогда - мономорфизм алгебры в алгебру и входит подпрямо в ., класс является формацией. Обычно вместо пишут . Подгруппа называется коммутантом группы . В теории групп хорошо известно, что если - конечная -группа, то . Легко проверить, что если , то Теорема 20.8. Пусть - конечное многообразие локально конечных групп, причем каждая группа из либо счетна, либо конечна. Тогда в том и только в том случае решетка является цепью, когда существует такое простое число , что каждая группа в является элементарно абелевой -группой. Доказательство. Мы сначала предположим, что каждая группа в является элементарно абелевой -группой. Тогда для каждого кардинального числа , мы полагаем (см. пример 20.2). Понятно, что влечет, что . Для доказательства того, что является цепью нам необходимо только показать, что для любого подгруппового функтора со свойством найдется кардинальное число такое, что Предположим, что для всех кардинальных чисел . Тогда . Поскольку , то найдется группа такая, что для некоторой ее подгруппы мы имеем . Пусть . Поскольку , найдется группа такая, что для некоторой ее подгруппы мы имеем . По лемме 20.6, мы видим, что для всех подгрупп из , удовлетворяющих условию , мы имеем . Следовательно, . Используя лемму 20.7, мы видим, что имеется подгруппа в группе такая, что Но , и поэтому . Если - канонический эпиморфизм, который отображает на , то , и поэтому . Это противоречие показывает, что для некоторого кардинального числа имеем место . Так как и так как каждая группа в - либо конечна, либо счетна, то найдется натуральное число такое, что . Пусть - наименьшее натуральное число такое, что . Мы покажем, что . Предположим, что и пусть - группа из такая, что . В этом случае пусть . Тогда . Теперь, по выбору числа , мы имеем . Это означает, что найдется группа такая, что для некоторой подгруппы из с . Пусть - подгруппа в такая, что и . Тогда . Так как , мы имеем , и поэтому . Но тогда , и поэтому , противоречие. Следовательно Значит, . Теперь мы предположим, что решетка является цепью. Пусть и - конечная группа. Предположим, что порядок группы делится по крайней мере на два простых числа и . Пусть И пусть - силовская -подгруппа в и - силовская -подгруппа в , соответственно. Тогда Значит, и . Это показывает, что не является цепью, что противоречит нашему предположению. Следовательно, найдется такое простое число , что каждая конечная группа из является -группой. Мы теперь покажем, что каждая группа в является абелевой. Предположим, что это не так и пусть - неабелева группа в . В этом случае некоторая ее подгруппа , порожденная элементами , является конечной неабелевой -группой. Так как по условию класс является наследственным, то . Пусть , где - класс всех абелевых групп. Поскольку , то , и поэтому . Следовательно, мы имеем . Теперь пусть где . И пусть - коммутант подгруппы , . Тогда и ясно, что . Значит, . Но поскольку , мы имеем . Таким образом, не является цепью. Полученное противоречие показывает, что каждая группа в является абелевой. Аналогично можно показать, что экспонента каждой группы из делит число . Теорема доказана. Пересечение всех конечных многообразий, содержащих данную группу , называется конечным многообразием, порожденным . Из теоремы 20.8 вытекает Теорема 20.9. Пусть - конечная группа и - конечное многообразие, порожденное . Тогда в том и только в том случае является элементарной абелевой -группой, когда решетка является цепью. Пусть и - подгрупповые -функторы. Определим произведение при помощи следующего правила Понятно, что подгрупповой -функтор является замкнутым тогда и только тогда, когда . Мы используем символ для обозначения произведения , в котором имеется сомножителей. Пусть - произвольное непустое множество простых чисел. Подгруппа группы называется -холловской , если ее индекс в не делится ни на одно число из , а среди простых делителей ее порядка нет ни одного не входящего в . Символом обозначают множество всех простых чисел, отличных от . Конечная группа называется нильпотентной , если выполняется одно из эквивалентных условий: а) все силовские подгруппы нормальны в ; б) все максимальные подгруппы (т.е. коатомы решетки ) нормальны в . Лемма 24.9 Пусть - наследственный гомоморф конечных групп. Пусть - замкнутый подгрупповой функтор на Пусть - нильпотентная группа в и Предположим, что , где - простое число. Пусть - нильпотентная группа в такая, что и Тогда Доказательство. Пусть - холловская -подгруппа в и Предположим, что Тогда и поэтому , где - силовская -подгруппа в . Тогда противоречие. Следовательно, и поэтому найдется максимальная подгруппа в така1я, что и . Так как - нильпотентная группа, то и поэтому согласно лемме 24.6, мы имеем Теперь мы докажем, что Если то по определению подгруппового функтора мы сразу имеем . Пусть и пусть - максимальная подгруппа в такая, что Тогда и так как Так как мы видим, что и поэтому Следовательно, . Если где - максимальная подгруппа в то Но и поэтому мы видим, что Лемма доказана. Лемма 24.10 Пусть - наследственный гомоморф конечных нильпотентных групп и Пусть Если - идемпотент в , удовлетворяющий условию и , где тогда Доказательство. Предположим, что Тогда найдется группа с Мы можем предполагать, что - группа минимального порядка с этим свойством. Следовательно, содержит подгруппу такую, что , но Ясно, что Пусть - максимальная подгруппа в такая, что и пусть Так как для каждого , мы имеем Понятно, что и поэтому Так как группа нильпотентна, то и поэтому по лемме 24.6, Так как мы видим, что для всех Следовательно, и поэтому по выбору группы , мы имеем Так как по условию то найдется такая группа , что для некоторой ее подгруппы мы имеем и Используя теперь лемму 24.9, мы видим, что и поэтому Полученное противоречие показывает, что Но согласно нашему предположению, мы имеем Следовательно, Пусть - решетка. Подмножество называется антицепью в если для любых различных элементов и из , мы имеем и Если - антицепь в такая, что для любой другой антицепи , тогда кардинальное число называется шириной решетки . Если - произвольная совокупность групп, то символом обозначается множество всех простых делителей порядков групп из . Теорема 24.11 Пусть - конечное многообразие групп. И пусть каждая группа в конечная. Тогда ширина решетки всех идемпотентов в конечна и в том и только в том случае, когда состоит из нильпотентных групп и Доказательство. Прежде мы предположим, что формация нильпотентна и , где Пусть Предположим, что имеется замкнытый функтор в такой, что и для Мы покажем, что Действительно, если , тогда найдется группа такая, что для некоторой подгруппы из , мы имеем Мы можем считать, что - группа минимального порядка с этим свойством. Понятно, что Пусть - такая максимальная подгруппа в , что . Согласно условию, класс является наследственным. Следовательно, , и поэтому ввиду выбора группы , мы имеем Пусть Так как то найдется группа такая, что Таким образом, для некоторой подгруппы мы имеем и поэтому по лемме 4.9, Это означает, что противоречие. Следовательно, Значит, если - замкнутый функтор в и то для некоторого мы имеем По лемме мы видим, что ширина решетки равна Теперь мы предположим, что ширина решетки конечна и Пусть Если и тогда и и поэтому Это означает, что - конечное множество. Теперь мы покажем, что - класс нильпотентных групп. Предположим, что имеет ненильпотентную . Пусть и пусть - силовская -подгруппа в . Тогда Так как - ненильпотентная группа, то для некоторого имеет место . Хорошо известно (см., например, [], теорема), что не является субнормальной подгруппой в , и поэтому где (см. пример 21.4). С другой стороны, мы видим, что и поэтому Это показывает, что антицепь с противоречие. Таким образом, - формация, состоящая из нильпотентных групп. А по лемме 4.10, Теорема доказана. ЗаключениеОтметим, что теория подгрупповых функторов уже нашла много примениний при иследовании внутреннего строения конечных групп [1, 2, 3, 4]. Но еще один аспект применения подгупповых функторов состоит в сопоставлении группе некоторой решетки подгупповых функторов свойства которой тесно связаны со свойствами самой группы. Это позволяет использовать строение группы в зависимости от условий налогаемых на соответствующую решетку подгупповых функторов. Следует отметить также, что используя понятие подгуппового функтора можно строить новые типы решеток, что указывает на полезность этого понятия и для теории решеток. Список использованных источниковСкиба А.Н. Алгебра формаций. - Мн.: Беларуская навука, 1997. Скиба А.Н. Решетки и универсальные алгебры. Учебное пособие. - Гомель: Гомельский гос. ун--т, 2002.255 с. Селькин М.В. Максимальные подгруппы в теории классов конечных групп. - Мн.: Беларуская навука, 1997. Каморников С.Ф., Селькин М.В. Подгрупповые функторы в теории классов конечных групп. - Гомель: Гомельский гос. ун--т, 2001.238 с. Монахов В.С. Введение в теорию групп. Тексты лекций по курсу "Алгебра и теория чисел". - Минск: Белорусский гос. ун--т, 1990.72 с. Холл М. Теория групп. - М.: ИЛ, 1962.468 с. Шеметков Л.А., Скиба А.Н. Формации алгебраических систем. - М.: Наука, 1989.253 с. |