Курсовая работа: Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп
Название: Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп Раздел: Рефераты по математике Тип: курсовая работа |
Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины» Математический факультет Кафедра ТВ и матстатистики Курсовая работа КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С ЗАДАННЫМИ СИСТЕМАМИ СЛАБО НОРМАЛЬНЫХ ПОДГРУПП Исполнитель: Студент группы М-32 Макарченко А.Ю. Научный руководитель: Канд. физ-мат. наук, доцент Малинковский М.Т. Гомель 2007 Содержание 1. Определение и общие свойства слабо нормальных подгрупп 2. Конечные группы со слабо нормальными подгруппами Перечень условных обозначений В работе все рассматриваемые группы предполагаются конечными. Будем различать знак включения множеств и знак строгого включения ; и - соответственно знаки пересечения и объединения множеств; - пустое множество; - множество всех для которых выполняется условие ; - множество всех натуральных чисел; - множество всех простых чисел; - некоторое множество простых чисел, т.е. ; - дополнение к во множестве всех простых чисел; в частности, ; примарное число - любое число вида ; Пусть - группа. Тогда: - порядок группы ; - порядок элемента группы ; - единичный элемент и единичная подгруппа группы ; - множество всех простых делителей порядка группы ; - множество всех различных простых делителей натурального числа ; -группа - группа , для которой ; -группа - группа , для которой ; - подгруппа Фраттини группы , т.е. пересечение всех максимальных подгрупп группы ; - подгруппа Фиттинга группы , т.е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы ; - наибольшая нормальная -нильпотентная подгруппа группы ; - коммутант группы , т.е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы ; - -ый коммутант группы ; - наибольшая нормальная -подгруппа группы ; - -холловская подгруппа группы ; - силовская -подгруппа группы ; - дополнение к силовской -подгруппе в группе , т.е. -холловская подгруппа группы ; - группа всех автоморфизмов группы ; - является подгруппой группы ; - является собственной подгруппой группы ; - является максимальной подгруппой группы ; нетривиальная подгруппа - неединичная собственная подгруппа; - является нормальной подгруппой группы ; - подгруппа характеристична в группе , т.е. для любого автоморфизма ; - индекс подгруппы в группе ; ; - централизатор подгруппы в группе ; - нормализатор подгруппы в группе ; - центр группы ; - циклическая группа порядка ; - ядро подгруппы в группе , т.е. пересечение всех подгрупп, сопряжённых с в . Если и - подгруппы группы , то: - прямое произведение подгрупп и ; - полупрямое произведение нормальной подгруппы и подгруппы ; - и изоморфны. Группа называется: примарной, если ; бипримарной, если . Скобки применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп. - подгруппа, порожденная всеми , для которых выполняется . , где . Группу называют: -замкнутой, если силовская -подгруппа группы нормальна в ; -нильпотентной, если -холловская подгруппа группы нормальна в ; -разрешимой, если существует нормальный ряд, факторы которого либо -группы, либо -группы; -сверхразрешимой, если каждый ее главный фактор является либо -группой, либо циклической группой; нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны; метанильпотентной, если существует нормальная нильпотентная подгруппа группы такая, что нильпотентна. разрешимой, если существует номер такой, что ; сверхразрешимой, если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами. Группа Шмидта - это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой нильпотентны. Добавлением к подгруппе группы называется такая подгруппа из , что . Минимальная нормальная подгруппа группы - неединичная нормальная подгруппа группы , не содержащая собственных неединичных нормальных подгрупп группы . Цоколь группы - произведение всех минимальных нормальных подгрупп группы . - цоколь группы . Классы групп, т.е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов, обозначаются прописными готическими буквами. Также обозначаются формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. За некоторыми классами закреплены стандартные обозначения: - класс всех групп; - класс всех абелевых групп; - класс всех нильпотентных групп; - класс всех разрешимых групп; - класс всех -групп; - класс всех сверхразрешимых групп; Формации - это классы конечных групп, замкнутые относительно взятия гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений. Пусть - некоторый класс групп и - группа, тогда: - -корадикал группы , т.е. пересечение всех тех нормальных подгрупп из , для которых . Если - формация, то является наименьшей нормальной подгруппой группы , факторгруппа по которой принадлежит . Если - формация всех сверхразрешимых групп, то называется сверхразрешимым корадикалом группы . Формация называется насыщенной, если всегда из следует, что и . Класс групп называется наследственным или замкнутым относительно подгрупп, если из того, что следует, что и каждая подгруппа группы также принадлежит . Произведение формаций и состоит из всех групп , для которых , т.е. . Пусть - некоторая непустая формация. Максимальная подгруппа группы называется -абнормальной, если . Подгруппы и группы называются перестановочными, если . Пусть - максимальная подгруппа группы . Нормальным индексом подгруппы называют порядок главного фактора , где и , и обозначают символом . Пусть - группа и - различные простые делители порядка группы . Тогда группа называется дисперсивной по Оре, если существуют подгруппы , такие что - силовская -подгруппа группы и подгруппа нормальна в для всех . ВведениеВ своей работе Оре рассмотрел два обобщения нормальности, оба из которых вызывают неослабевающий интерес у исследователей и в наши дни. Во-первых, в работе были впервые введены в математическую практику квазинормальные подгруппы: следуя, мы говорим, что подгруппа группы квазинормальна в , если перестановочна с любой подгруппой из (т.е. для всех подгрупп из ). Оказалось, что квазинормальные подгруппы обладают рядом интересных свойств и что фактически они мало отличаются от нормальных подгрупп. Отметим, в частности, что согласно, для любой квазинормальной подгруппы имеет место , а согласно, квазинормальные подгруппы - это в точности те субнормальные подгруппы группы , которые являются модулярными элементами в решетке всех подгрупп группы . Понятно, что если подгруппа группы нормальна в , то в всегда найдется такая подгруппа , что выполнено следующее условие: Таким образом, условие является еще одним обобщением нормальности. Такая идея также была впервые рассмотрена в работе, где в частности, было доказано, что: Группа является разрешимой тогда и только тогда, когда все ее максимальные подгруппы удовлетворяют условию . В дальнейшем, в работе подгруппы, удовлетворяющие условию были названы -нормальными. В этой же работе была построена красивая теория -нормальных подгрупп и даны некоторые ее приложения в вопросах классификации групп с заданными системами подгрупп. В данной диссертационной работе мы анализируем следующее понятие, которое одновременно обобщает как условие квазинормальности, так и условие -нормальности для подгрупп. Определение. Подгруппа группы называется слабо квазинормальной в подгруппой, если существует такая подгруппа группы , что и , - квазинормальные в подгруппы. Следующий простой пример показывает, что в общем случае слабо квазинормальная подгруппа не является ни квазинормальной, ни -нормальной. Пример. Пусть , где . И пусть , . Тогда и . Пусть - группа простого порядка 3 и , где - база регулярного сплетения . Поскольку , и - модулярная группа, то квазинормальна в и поэтому подгруппа слабо квазинормальна в . Значит, подгруппа является слабо квазинормальной в , но не квазинормальной и не -нормальной в . В последние годы значительно возрос интерес к квазинормальным и -нормальным подгруппам, что говорит о несомненной актуальности данного направления. Следует отметить, что многими авторами (Асаад, Бакли, Баллестер-Болинше, Ванг, Вей, Ли, Педра-Агуэла, Рамадан, А.Н. Скиба, Сринивазан и др.) получено большое число теорем связанных с изучением групп, те или иные выделенные системы подгрупп которых -нормальны или квазинормальны. Не смотря на тот факт, что квазинормальность и -нормальность являются вполне различными обобщениями нормальности, в настоящее время получено много аналогичных результатов независимо для квазинормальных и -нормальных подгрупп. В данной работе такой параллелизм устраняется на основе введенного выше понятия слабой квазинормальности. Таким образом, задача изучения групп с заданной системой слабо квазинормальных подгрупп вполне актуальна, ее реализации посвящена данная работа. 1. Определение и общие свойства слабо нормальных подгруппОпределение. Подгруппа группы называется слабо нормальной в подгруппой, если существует такая квазинормальная подгруппа группы , что и . Докажем ряд общих свойств слабо нормальных подгрупп. Пусть - группа и . Тогда справедливы следующие утверждения: (1) Пусть - нормальная в подгруппа. Тогда слабо нормальная подгруппа в группе тогда и только тогда, когда - слабо нормальная подгруппа в группе . (2) Если - слабо нормальная в подгруппа, то - слабо нормальная в подгруппа. (3) Пусть - нормальная в подгруппа. Тогда для всех слабо нормальных в подгрупп таких, что , - слабо нормальная подгруппа в группе . Доказательство. (1) Пусть - слабо нормальная в подгруппа и - такая квазинормальная в подгруппа, что Тогда , - квазинормальная в подгруппа и . Значит, - слабо нормальная в подгруппа. Пусть теперь, для некоторой квазинормальной в подгруппы мы имеем и Ясно, что Поскольку то и - квазинормальные в подгруппы. Следовательно, - слабо нормальная в подгруппа. Утверждение (2) очевидно. (3) Пусть - слабо нормальная подгруппа в группе и - квазинормальная в подгруппа такая, что и . Ясно, что и Значит, слабо нормальна в и ввиду (1), - слабо нормальная в подгруппа. 2. Конечные группы со слабо нормальными подгруппамиВ данном разделе мы докажем некоторые критерии разрешимых, метанильпотентных, дисперсивных по Оре и сверхразрешимых групп в терминах слабо нормальных подгрупп. Следующая теорема доказывается аналогично теореме 3.5.1. Группа разрешима тогда и только тогда, когда , где , - подгруппы группы такие, что каждая максимальная подгруппа из и каждая максимальная подгруппа из слабо нормальны в . Пусть - группа тогда следующие утверждения эквивалентны: (1) - разрешима; (2) , где , - подгруппы группы такие, что каждая максимальная подгруппа из и каждая максимальная подгруппа из слабо квазинормальны в ; (3) , где , - подгруппы группы такие, что каждая максимальная подгруппа из и каждая максимальная подгруппа из слабо нормальны в . Группа метанильпотентна тогда и только тогда, когда , где подгруппа -квазинормальна в , - нильпотентна и каждая силовская подгруппа из слабо нормальна в . Доказательство. Допустим, что , где - -квазинормальна в , - нильпотентна и каждая силовская подгруппа из слабо нормальна в . Покажем, что группа метанильпотентна. Предположим, что это не верно и пусть - контрпример минимального порядка. Тогда справедливы следующие утверждения. (1) не является нильпотентной группой . Предположим, что нильпотентна. Так как ввиду леммы (3), субнормальна, то содержится в некоторой нильпотентной нормальной подгруппе из по лемме (2). Тогда нильпотентна и поэтому метанильпотентна. Полученное противоречие с выбором группы доказывает (1). (2) . Допустим, что . Тогда ввиду леммы , нильпотентна, что противоречит (1). Значит, мы имеем (2). (3) Если - абелева минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в , то метанильпотентна . Пусть - -группа и - силовская -подгруппа в . Тогда и поэтому по лемме каждая силовская подгруппа из слабо нормальна в . Поскольку по лемме , -квазинормальна в , то условия теоремы справедливы для . Так как , то ввиду выбора группы , метанильпотентна. (4) Условия теоремы справедливы для (это проямо следует из леммы ). (5) разрешима . Если , то метанильпотентна по (4)и выбору группы . Пусть теперь . Предположим, что для некоторой силовской подгруппы из мы имеем . Тогда ввиду (3), разрешима. Пусть теперь для каждой силовской подгруппы группы . Тогда по условию каждая силовская подгруппа из имеет квазинормальной дополнение в и поэтому нильпотентна. Полученное противоречие в выбором группы доказывает (5). (6) В группе имеется в точности одна минимальная нормальная подгруппа , содержащаяся в . Пусть - минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в . Тогда абелева согласно (5), и поэтому ввиду (3), метанильпотентна. Так как класс всех метанильпотентных групп. Кроме того, так как класс всех метанильпотентных групп является насыщенной формацией (см. ), то - единственная минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в . (7) Если -группа, то каждая силовская -подгруппа из , где , имеет квазинормальное дополнение в . Пусть - силовская -подгруппа в , где . Тогда ввиду (6), . По условию, слабо нормальна в и поэтому имеет квазинормальную подгруппу , такую что и Заключительное противоречие . Пусть - силовская -подгруппа в и . Тогда По условию имеет квазинормальную подгруппу , такую что и Тогда и поэтому - дополнение для в , которое является квазинормальной в подгруппой. Если - -подгруппа из , где , то ввиду (7), имеет дополнение в , которое является квазинормальной подгруппой (см. доказательство утверждения (3) леммы ). Тогда по лемме , нильпотентна и поэтому метанильпотентна. Полученное противоречие доказывает метанильпотентность группы . Обратно, предположим, что метанильпотентна. Покажем, что каждая силовская подгруппа из слабо нормальна в . Предположим, что это не верно и пусть - контрпример минимального порядка. Тогда имеет силовскую подгруппу , которая не является слабо нормальной в . Пусть - произвольная минимальная нормальная подгруппа в и - подгруппа Фиттинга группы . Предположим, что . Тогда слабо нормальна в и поэтому по лемме (1), слабо нормальна в , противоречие. Значит, и поэтому Так как по условию метанильпотентна и - силовская подгруппа в , то имеет нормальное дополнение в . Но поскольку и - -группы, то - нормальное дополнение для в . Следовательно, слабо нормальна в . Полученное противоречие показывает, что каждая силовская подгруппа из слабо нормальна в . Пусть - группа тогда следующие утверждения эквивалентны: (1) - метанильпотентна; (2) , где подгруппа субнормальна в , - абелева холлова подгруппа в и каждая силовская подгруппа из слабо квазинормальна в ; (3) , где подгруппа -квазинормальна в , - нильпотентна и каждая силовская подгруппа из слабо нормальна в . Пусть , где подгруппа -квазинормальна в , нильпотентна. Предположим, что любая максимальная подгруппа каждой нециклической подгруппы из слабо нормальна в . Тогда сверхразрешима. Доказательство. Предположим, что эта теорема не верна и пусть - контрпример минимального порядка. Тогда: (1) Каждая собственная подгруппа группы , содержащая , сверхразрешима . Пусть , где . Тогда где нильпотентна и -квазинормальна в . Так как по лемме (2), любая максимальная подгруппа каждой нециклической силовской подгруппы из слабо нормальна в и , то по выбору группы мы имеем (1). (2) Пусть - неединичная нормальная подгруппа в . Предположим, что -группа. Допустим, что содержит силовскую -подгруппу из , или циклична, или . Тогда сверхразрешима. Если , то нильпотентна. Пусть теперь . Так как , то нам только нужно показать, что условия теоремы справедливы для . Ясно, что где -квазинормальна в и нильпотентна. Пусть силовская -подгруппа из и - произвольная максимальная подгруппа в . Пусть - силовская -подгруппа из , такая что . Ясно, что - силовская -подгруппа группы . Значит, для некоторой силовской -подгруппы из . Предположим, что не является циклической подгруппой. Тогда не циклична. Покажем, что слабо нормальна в . Если , то это прямо следует из леммы . Допустим, что либо силовская -подгруппа из циклическая, либо . Тогда . Покажем, что - максимальная в подгруппа. Так как и , то Предположим, что для некоторой подгруппы из мы имеем где Тогда Так как - максимальная в подгруппа, то либо , либо . Если , то что противоречит выбору подгруппы . Значит, и поэтому мы имеем противоречие. Следовательно, - максимальная в подгруппа и по условию слабо нормальна в . Значит, слабо нормальна в . Следовательно, условия теоремы справедливы для . (3) и сверхразрешима . По выбору группы , и поэтому сверхразрешима согласно (1). (4) - разрешимая группа . По условию -квазинормальна в и поэтому по лемме (3), содержится в некоторой разрешимой нормальной подгруппе группы . Так как группа нильпотентна, то разрешима. (5) Если - простое число и , то . Пусть . Тогда ввиду (2), сверхразрешима. Если - множество всех простых делителей порядка группы , то по лемме (1), , где - нормальная -подгруппа группы и поэтому сверхразрешима. Но тогда сверхразрешима. Полученное противоречие с выбором группы доказывает (5). (6) . Допустим, что . Тогда по лемме , нильпотентна. Пусть - силовская -подгруппа из . Так как ввиду леммы (3) субнормальна в , то субнормальна в . Тогда , согласно лемме (1). Но тогда ввиду (2), сверхразершима и поэтому , по выбору группы . Так как и нильпотентно, то - силовская -подгруппа из . Пусть - холлова -подгруппа из и . По лемме , нормальна в и поэтому . Допустим, что для некоторого простого делителя порядка , отличного от , мы имеем . Тогда нормальна в и поэтому - нормальная подгруппа в , поскольку . Но тогда , что противоречит (5). Следовательно, и поэтому . Согласно теореме , сверхразрешима и поэтому - абелева группа, экспонента которой делит , согласно леммы . Но тогда - абелева группа экспоненты, делящей и поэтому сверхразрешима, согласно леммы . Полученное противоречие с выбором группы доказывает (6). Заключительное противоречие . Пусть - минимальная нормальная подгруппа в , содержащаяся в . Пусть - -группа и - силовская -подгруппа группы . В силу (2), сверхразрешима и поэтому - единственная минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в . Ясно, что и . Значит, по лемме для некоторой максимальной подгруппы из мы имеем . Ясно, что и поэтому по условию имеет дополнение в , которое является квазинормальной в подгруппой. Тогда и поэтому . Но тогда и поэтому, ввиду минимальности , . Ввиду (5), имеет холлову -подгруппу. Так как в силу леммы (3), субнормальна в , то каждая холлова -подгруппа группы содержится в . Следовательно, - -группа. Отсюда следует, что сверхразрешима. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы. Группа дисперсивна по Оре тогда и только тогда, когда , где подгруппа квазинормальна в , дисперсивна по Оре и каждая максимальная подгруппа любой нециклической силовской подгруппы группы слабо нормальна в . Доказательство. Пусть , где подгруппа квазинормальна в , дисперсивна по Оре и каждая максимальная подгруппа любой нециклической силовской подгруппы группы слабо нормальна в . Покажем, что группа дисперсивна по Оре. Предположим, что это не верно и пусть - контрпример минимального порядка. Тогда: (1) Каждая собственная подгруппа группы , содержащая , дисперсивна по Оре . Пусть , где . Тогда где дисперсивна по Оре и квазинормальна в . Так как по лемме (2) любая максимальная подгруппа каждой нециклической силовской подгруппы из слабо нормальна в и , то по выбору группы мы имеем (1). (2) Пусть - неединичная нормальная подгруппа в , являющаяся -группа для некоторого простого числа . Допустим, что либо содержит силовскую -подгруппу из , либо циклична, либо . Тогда дисперсивна по Оре. Если , то дисперсивна по Оре. Пусть теперь . Так как , то нам лишь нужно показать, что условия теоремы справедливы для . Ясно, что где квазинормальна в и дисперсивна по Оре. Пусть силовская -подгруппа из и - произвольная максимальная подгруппа в . Пусть - силовская -подгруппа из , такая что . Ясно, что - силовская -подгруппа группы . Значит, для некоторой силовской -подгруппы из . Предположим, что не является циклической подгруппой. Тогда не циклична. Покажем, что слабо нормальна в . Если , то это прямо следует из леммы . Допустим, что либо силовская -подгруппа из циклическая, либо . Тогда . Покажем, что - максимальная в подгруппа. Так как и , то Предположим, что для некоторой подгруппы из мы имеем где Тогда Так как - максимальная в подгруппа, то либо , либо . Если , то , что противоречит выбору подгруппы . Значит, и поэтому мы имеем противоречие. Следовательно, - максимальная в подгруппа и по условию слабо нормальна в . Значит, слабо нормальна в . Следовательно, условия теоремы справедливы для . (3) Если - простое число и , то . Пусть Тогда ввиду (2), дисперсивна по Оре. С другой стороны, если - множество всех простых делителей , то ввиду леммы (3) и леммы , , где - нормальная -подгруппа в и поэтому дисперсивна по Оре. Но тогда дисперсивна по Оре, противоречие. Значит, справедливо (3). (4) разрешима. По условию квазинормальна в и поэтому ввиду леммы (3) и леммы , содержится в некоторой разрешимой нормальной подгруппе группы . Так как дисперсивна по Оре, то разрешима. (5) . Предположим, что . Тогда согласно лемме , нильпотентна. Пусть - силовская -подгруппа группы . Поскольку субнормальна в , то субнормальна в . Значит, по лемме , . Но ввиду (2), дисперсивна по Оре и поэтому по выбору группы , . Пусть - наименьший простой делитель . Тогда имеет нормальную максимальную подгруппу , такую что и . Пусть - наибольший простой делитель , - силовская -подгруппа группы . Тогда ввиду (1), нормальна в и поэтому . Если , то - силовская -подгруппа группы и поэтому дисперсивна по Оре. Отсюда следует, что дисперсивна по Оре, противоречие. Следовательно, . Но тогда -группа. Пусть - силовская -подгруппа в . Тогда - силовская -подгруппа в . Поскольку - подгруппа группы и ввиду (1), дисперсивна по Оре, то . Так как дисперсивна по Оре, то и поэтому . Следовательно, группа дисперсивна по Оре. Полученное противоречие доказывает (5). Заключительное противоречие . Пусть - минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в . Пусть - -группа и - силовская -подгруппа группы . Ввиду (2), дисперсивна по Оре. Пусть - наименьший простой делитель . Тогда имеет нормальную максимальную подгруппу , такую что и . Пусть - наибольший простой делитель , - силовская -подгруппа группы . Тогда ввиду (1), нормальна в и поэтому . Рассуждая как выше видим, что . Но тогда -группа. Значит, и поэтому дисперсивна по Оре. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы. Заключение В последние годы значительно возрос интерес к квазинормальным и -нормальным подгруппам. Следует отметить, что получено большое число теорем связанных с изучением групп, те или иные выделенные системы подгрупп которых -нормальны или квазинормальны в группе . Не смотря на тот факт, что квазинормальность и -нормальность являются вполне различными обобщениями нормальности, в настоящее время получено много аналогичных результатов не зависимо для квазинормальных и -нормальных подгрупп. В данной работе мы устраняем такой параллелизм на основе введенного понятия слабой квазинормальности. Основные результаты данной работы: - доказаны новые критерии принадлежности группы насыщенной формации; - найдены описания разрешимых и метанильпотентных групп по свойствам их максимальных и силовских подгрупп; - получены описания дисперсивных по Оре и сверхразрешимых групп по свойствам максимальных подгрупп силовских подгрупп; - найдены критерии разрешимости и метанильпотентности групп в терминах слабо нормальных подгрупп. Работа имеет теоретический характер. Результаты курсовой работы могут быть использованы при изучении слабо нормальных, квазинормальных и слабо квазинормальных подгрупп. Литература 1.Боровиков, М.Т. Группы с перестановочными подгруппами взаимно простых порядков / М.Т. Боровиков // Вопросы алгебры. Выпуск 5. - Минск: Университетское, 1990. - С. 80-82. 2.Боровиков, М.Т. О -разрешимости конечной группы / М.Т. Боровиков // Арифметическое и подгрупповое строение конечных групп / Под редакцией М.И. Салука. - Минск: Наука и техника, 1986. - С. 3-7. 3.Го Веньбинь. -накрывающие системы подгрупп для классов -сверхразрешимых и -нильпотентных конечных групп / Го Веньбинь, К.П. Шам, А.Н. Скиба // Сиб. мат. журнал. - 2004. - Т. 45, № 3. - С. 75-92. 4.Пальчик, Э.М. О группах, все -максимальные подгруппы которых перестановочны с силовской подгруппой / Э.М. Пальчик // ИАН БССР. Сер. физ.-матем. наук. - 1968. - № 1. - С. 45-48. 5.Пальчик, Э.М. О конечных группах с перестановочными подгруппами / Э.М. Пальчик // Докл. АН БССР. - 1967. - Т. 11, № 5. - С. 391-392. 6.Пальчик, Э.М. О группах, все -максимальные подгруппы которых перестановочны с силовской подгруппой. II / Э.М. Пальчик, Н.П. Конторович // ИАН БССР. Сер. физ.-матем. наук. - 1969. - № 3. - С. 51-57. 7.Подгорная, В.В. Полунормальные подгруппы и сверхразрешимость конечных групп / В.В. Подгорная // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-матэм. навук. - 2000. - № 4. - С. 22-25. 8.Подгорная, В.В. Факторизации конечных групп дисперсивными и сверхразрешимыми подгруппами / В.В. Подгорная // Веснiк Вiцебскага дзяржаунага Унiверсiтэта. - 1999. - № 4(14). - С. 80-82. 9.Поляков, Л.Я. Конечные группы с перестановочными подгруппами / Л.Я. Поляков // Конечные группы. - Минск: Наука и техника, 1966. - С.75-88. 10.Самусенко (Подгорная), В.В. О конечных группах с заданными минимальными добавлениями к подгруппам / В.В. Самусенко // Вопросы алгебры. Выпуск 13. - 1998. - С. 177-182. |