Контрольная работа: Теорія ймовірностей та математична статистика
Название: Теорія ймовірностей та математична статистика Раздел: Рефераты по математике Тип: контрольная работа | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Міністерство освіти і науки України Донбаський державний технічний університет Кафедра Вищої Математики КОНТРОЛЬНА РОБОТАПо дисципліні “Теорія ймовірностей та математична статистика” Варіант №26 (завдання №14, 2, 4, 12, 11, 15, 2, 14, 3, 6) Виконала : студентка групи Перевірила: доцент кафедри вищ. мат. Алчевськ 2009 РОЗДІЛ I “ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ” ЗАВДАННЯ №1 14) В урні 2 білі і 3 чорні кульки. Двоє по черзі беруть навмання по одній кульці. Яка імовірність того, що з них перша біла, а друга чорна? РОЗВ’ЯЗАННЯ Для білої:
Для чорної:
Загальна вірогідність: або ЗАВДАННЯ №2 2) В першій урні 3 білих і 2 чорних кульки, а в другій 4 білих і 4 чорних кульки. З першої урни в другу навмання перекладають одну кульку, потім з другої урни взяли одну кульку. Яка імовірність, що вона біла? РОЗВ’ЯЗАННЯ Вірогідність того, що з першої урни переклали білу кульку: Вірогідність того, що з другої урни узяли білу кульку: ЗАВДАННЯ №3 4) 4.1 Обчислити ймовірність того, що деяка подія не відбудеться, якщо відомо, що при випробуваннях вона в середньому відбувається в випадках. РОЗВ’ЯЗАННЯ 4.2 З 60 питань, що входять до екзаменаційних білетів, студент підготував 50. Яка ймовірність того, що взятий навмання студентом білет, який містить два питання, буде складатися з підготовлених ним питань? РОЗВ’ЯЗАННЯ 4.3 Яка ймовірність того, що серед вийнятих навмання 4 карт з повної колоди (52 карти), дві виявляться пікової масті? РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАВДАННЯ №4 12) Проведено незалежних випробувань, в кожному з яких може відбутися подія з імовірністю . I) за локальною теоремою Муавра-Лапласа знайти імовірність того, що подія відбудеться рівно разів; II) за інтегральною теоремою Муавра-Лапласа знайти імовірність того, що подія відбудеться від 700 разів до разів. РОЗВ’ЯЗАННЯ I) 1) Скористуємось формулою Муавра-Лапласа: 2) Знайдемо : 3) Знайдемо : 4) Шукана ймовірність: II) За інтегральною теоремою Лапласа: 1) Знайдемо межі інтеграла і : 2) Знайдемо функції Лапласа і :
3) Шукана ймовірність: ЗАВДАННЯ №5 11) Дискретна випадкова величина задана рядом розподілу. Знайти функцію розподілу і побудувати її графік. Знайти математичне сподівання і дисперсію випадкової величини.
РОЗВ’ЯЗАННЯ 1) Математичне сподівання знайдемо за формулою: 2) Складемо закон розподілу для :
3) Дисперсію знайдемо за формулою: 4) Середнє квадратичне відхилення знайдемо за формулою: 5) Знайдемо функцію розподілу: 6) Графік цієї функції має вигляд: ЗАВДАННЯ №6 15) Випадкова величина задана функцією розподілу: Знайти: I) щільність розподілу ймовірності; II) математичне сподівання; III) дисперсію випадкової величини; IV) імовірність попадання випадкової величини в інтервал ; V) Накреслити графіки функцій і . РОЗВ’ЯЗАННЯ I) щільність розподілу ймовірностей: II) математичне сподівання:
III) дисперсія: IV) імовірність того, що випадкова величина прийме значення з інтервалу V) Графіки функцій і :
ЗАВДАННЯ №7 2) Відоме математичне сподівання і дисперсія випадкової величини . Знайти: I) імовірність попадання цієї величини в заданий інтервал ; II) імовірність того, що абсолютна величина відхилення випадкової величини від свого математичного сподівання менша за число . РОЗВ’ЯЗАННЯ I) Імовірність влучення випадкової величини у інтервал :
II) Імовірність того, що абсолютна величина відхилення випадкової величини від свого математичного сподівання буде менше 2, можна обчислити за формулою: РОЗДІЛ II 14) РОЗРАХУНКОВА РОБОТА №1 “СТАТИСТИЧНИЙ РОЗПОДІЛ ВИБІРКИ”
перший інтервал 21-25 Представити кожну вибірку у вигляді таблиці частот згрупованої вибірки, побудувати гістограму і полігон частот, записати емпіричну функцію розподілу і побудувати їх графік. РОЗВ’ЯЗАННЯ 1) Складемо таблицю частот згрупованої вибірки:
2) Побудуємо гістограму частот: 3) Побудуємо полігон частот: 4) Емпірична функція розподілу визначається значеннями накопичувальних відносних частот: 5) Графік розподілу емпіричної функції: 6) Знайдемо методом творів вибіркову середню і вибіркову дисперсію по заданому розподілу вибірки об'єму n=50:
6.1) Складемо заповнимо таблицю:
6.2) Обчислимо умовні моменти 1-го і 2-го порядку:
6.3) Знайдемо крок h (різниця між сусідніми інтервалами): . 6.4) Обчислимо шукані, вибіркові, середню дисперсію, враховуючи що помилковий нуль : 3) РОЗРАХУНКОВА РОБОТА №2 “МЕТОД НАЙМЕНЬШИХ КВАДРАТІВ” За наданими статистичними даними підібрати емпіричну функцію, якщо вона не задана, та: 1. Побудувати діаграму розсіювання. 2. Записати емпіричну функцію. 3. Записати систему нормальних рівнянь. 4. Скласти розрахункову таблицю. 5. Вирішити отриману систему й записати емпіричну функцію зі знайденими параметрами. Уважаючи, що залежність між змінними й має вигляд , знайти оцінки параметрів по наступних вибірках:
РОЗВ’ЯЗАННЯ По вибірці спостережень побудуємо в системі координат и діаграму розсіювання, тобто побудуємо крапки: Аналіз дослідницьких даних показує, що в якості емпіричної (підібраної) функції можна використати функцію . Необхідно знайти параметри а й b, для чого застосуємо МНК. Тоді для визначення параметрів а й b будемо мати систему нормальних рівнянь:
Для зручності обчислень складемо наступну розрахункову таблицю ():
Підставимо дані останнього рядка таблиці в нормальну систему рівнянь: Вирішуючи систему, одержимо . 5) Підставляючи ці значення параметрів, одержимо емпіричну функцію: 6) РОЗРАХУНКОВА РОБОТА №3 “ЗНАХОДЖЕННЯ ВИБІРКОВОГО КОЕФІЦІЕНТА КОРЕЛЯЦІЇ ТА ПРЯМИХ ЛІНІЙ РЕГРЕСІЇ” Розподіл 40 заводів кольорової металургії за середньодобовим виробленням металу (тис.т) та затратами електроенергії на 1т. (тис. кВт×год) дано у таблиці:
За відповідним рівнянням регресії оцінити середні затрати електроенергії на 1 тн. металу тих заводів, у яких середньодобове вироблення металу складає 22,5 тис.т., та порівняти їх з відповідним груповим середнім. Надано таблицю, яка визначає деякий неперервний розподіл. За цим розподілом треба утворити дискретний розподіл, взявши значеннями і середини відповідних інтервалів і припускаючи, що між і існує лінійна кореляційна залежність, виконати таку роботу: 1. Обчислити коефіцієнт кореляції та проаналізувати тісноту та напрям зв'язку між і . 2. Скласти рівняння прямих регресії на та на . 3. Обчислити для даного значення однієї змінної відповідне значення іншої, використавши для цього одне з одержаних рівнянь регресії (підхоже) та порівняти це значення з відповідним груповим середнім (це останнє завдання подано разом з кореляційною таблицею). РОЗВ’ЯЗАННЯ 1) Перейдемо до дискретних розподілів, тобто значення змінних Х и Y приймемо середини відповідних інтервалів:
2) Для обчислення вибіркового коефіцієнта кореляції потрібно обчислити вираження , для чого скласти кореляційну таблицю в умовних варіантах. За хибний нуль узята варіанта , а за хибний нуль узята варіанта , які розташовані приблизно в серединах відповідних варіаційних рядів. 3) У кожній клітці, у якій частота , записуємо в правому верхньому куті добуток частоти на . 4) Знаходимо суму всіх чисел, що коштують у правих кутах кліток одного рядка й записуємо її в клітку стовпця . 5) Множимо варіанту на й отриманий добуток записуємо в останню клітку того ж рядка. 6) З метою контролю аналогічні обчислення робимо по стовпцях, причому добуток записуємо в лівому нижньому куті кожної клітки із частотами , після чого їх складаємо й отриману суму записуємо в рядок . Потім множимо варіанту и на й результат записуємо в останньому рядку.
7) Обчислюємо й : 8) Обчислюємо допоміжні величини й : 9) Обчислимо й : 10) Шуканий вибірковий коефіцієнт кореляції: Тому що , цей зв'язок зворотній. 11) Вибіркове рівняння прямої лінії регресії Y на Х має вигляд: . Обчислимо , , , : 12) Рівняння прямої лінії регресії Y на Х: 13) Рівняння прямої лінії регресії Х на Y: 14) За відповідним рівнянням регресії середнє значення затрат електроенергії на 1 тн. металу тих заводів, у яких середньодобове вироблення металу складає 22,5 тис.т., складає: Якщо скористатися безпосередньо таблицею, тоЯк видно, узгодження розрахункового і спостережуваного умовних середніх – задовільне. |