Статья: Доказательство Великой теоремы Ферма методами элементарной алгебры
Название: Доказательство Великой теоремы Ферма методами элементарной алгебры Раздел: Рефераты по математике Тип: статья |
Доказательство теоремы Ферма методами элементарной алгебры Бобров А.В. г. Москва Контактный телефон – 8 (495)193-42-34 bobrov-baltika@mail.ru В теореме Ферма утверждается, что равенство для натуральных и может иметь место только для целых . Рассмотрим равенство , (1) где и - натуральные взаимно простые числа, то есть числа, не имеющие общих целых множителей, кроме 1 . В этом случае два числа всегда нечетные. Пусть - нечетное число, и - натуральные числа. Для всякого действительного положительного числа выполнима операция нахождения арифметического значения корня, то есть равенство (1) можно записать в виде: , (2) где и - действительные положительные множители числа В соответствии со свойствами показательной функции, для любого из действительных положительных чисел и существуют единственные значения чисел , удовлетворяющие равенствам , (3) Из равенств (2) и (3) следует: , . (4) Поскольку p > q , всегда имеет место p - q = k , или а p = а k∙ ×а q , то есть числа и содержат общий множитель , что противоречит условию их взаимной простоты. Это условие выполнимо только при , то есть при . Тогда равенства (4) принимают вид: , (5) откуда следует , (6) то есть для взаимно простых и числа и всегда являются двумя последовательными целыми числами. Еще Эвклидом доказано, что всякое нечетное число выражается, как разность квадратов двух последовательных целых чисел, то есть равенство (1) для натуральных взаимно простых и может быть выражено только в виде равенства . (7) Справедливость приведенного доказательства можно проиллюстрировать следующим примером. Пусть в равенстве Ферма числа и – целые взаимно простые, – четное. Тогда числа ,, их сумма иразность - также целые, показатель степени p > q . Целые числа и являются взаимно простыми, если не содержат общих целых множителей, кроме 1. Это условие выполнимо только тогда, когда общий целый множитель , то есть , . Тогда разность , что для одновременно целых и может иметь местотолько при , то есть при или , что и позволило Пьеру де Ферма сделать почти 370 лет назад свою запись на полях арифметики Диофанта. |