Шпаргалка: Тригонометрия
Название: Тригонометрия Раздел: Рефераты по математике Тип: шпаргалка |
Действительные числа: Теорема: R - несчётное множество. Док-во: метод от противного. Несчётность (0;1) X1=0,n11n12n13…n1k… m1Î{0,1,…,9}\{9,n11} X2=0,n21n22n23…n2k… m2Î{0,1,…,9}\{9,n22} ……………………… ……………………… Xk=0,nk1nk2nk3…nkk… mkÎ{0,1,…,9}\{9,nkk} a=0,m1m2…mk… Þa¹x1a¹x2a¹x3 …… a¹xk aÏ(0;1) Противоречие. 0<a<1 Þ R - несчётное множество. Теорема: Q - Счётное множество. Док-ть: Q+ - счётное, т.к. Q=Q-U{0}UQ+ Док-во: Q+ - счётное множество, т.к. оно есть объединение счётного семейства счётных множеств. Q- - Тоже, что и Q+ только все элементы множества отрецательные . По теореме: Всякое множество счётных одмножеств явл. Само счётным ÞQ - сч. мн. Предел числовой последовательности: Пусть aÎR, e>0 {x:| x-a|<e} Последовательность {Xn} имеет конечный предел если сущ. такое число a?R, что кокого бы нибыло e>0 почти все члены этой последовательности e- окрестность точки a. Почти все - это значит за исключением быть может конечного числа. $n0=n0(e)ÎN: n>n0Þ|xn-a|<e a=limxn , при n®¥ Свойства: 1. Единственность (Если предел есть, то только один) Док-во: Метод от противного. a=limxn , b=limxn , при n®¥, a>b, a-b=e>0 $n0=n0(e/3):|xn-a|<e/3 и|xn-b|<e/3 e=a-b=(a-xn)-(b-xn) e=|(a-xn)-(b-xn)|£|(a-xn)|+|(b-xn)|£2e/3 e£2e/3 Противоречие. 2. Ограниченность (Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена) Дано: $limxn=a, при n®¥ - конечный предел Док-ть:$M>0:|xn|<M "n Док-во: limxn=a, при n®¥:"e>0 $n0=n0(e):a-e<xn<a+e, при n>n0 Пусть e=1, тогда при n>n0(1) будет выполняться a-1<xn<a+1 или |xn-a|<1 Тогда |xn|<|(xn-a)+a|<|xn-a|+|a|<|a|+1 "n>n0(1) P=max{|a1|,|a2|,…,|ano|} M=max{P,|a|+1}Þ|xn|<M "n 3. Предел п одпоследовательности (Если последовательность имеет предел а, то любая её подпоследовательность имеет тоже предел а) Свойства предельного перехода связанные с неравенствами : Теорема 1. Пусть $limxn=x, при n®¥ - конечный (1 последовательность) $limyn=y, при n®¥ - конечный (2 последовательность) Если x<y, то для почти всех n xn<yn Док-во: e=y-x>0 $n|=n|(e/3): |xn-x|<e/3 "n>n| $n||=n||(e/3): |yn-y|<e/3 "n>n| n0=max{n|,n||}, n>n0 x-e/3<xn<x+e/3 î y-e/3<yn<y+e/3 ìÞ xn<x+e/3<y-e/3<ynÞ"n>n0 xn<ynЧто и т. док-ть. Следствие: Если последовательность имеет предел отличный от нуля, то эта последовательность отделена от нуля. Эта последовательность при больших n сохраняет знак своего предела) x=limxn, x¹0 1) x>0 Предположим x>0 x/2>0Þx>x/2 limxn>x/2, при n®¥Из Т.1. следует, что $n0:"n>n0 xn>x/2>0 Теорема 2. Предположим, что $limxn=x и$limyn=y, при n®¥ Если для почти всех n:xn£yn, то и x£y Док-во: Метод от противного. x>y по Т.1. Þxn>ynдля почти всех n Противоречие. Теорема 3. Теорема о двустороннем ограничении. Пусь $limxn=limyn=a, при n®¥, и предположим, что xn£zn£yn"n, тогда 1) Сущ. limzn, при n®¥ 2) limzn=a, при n®¥ Док-во: $n|=n|(e):a-e£xn£a+e, "n>n| $n||=n||(e):a-e£yn£a+e, "n>n|| n0=max{n|,n||} n>n0Þ a-e£xn£zn£yn£a+eÞ a-e£zn£a+eÞ$limzn=a Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности: defû {xn}-б.м. :=limxn=0, при n®¥, т.е. "e>0 $n0=n0(e) n>n0Þ|xn|<e defû {xn}-б.б. :=limxn=¥, при n®¥, т.е. "e>0 $n0=n0(e) n>n0Þ|xn|>e Свойство 1. Произведение б.м. последов. на ограниченную даёт сного б.м. {xn}-б.м. {yn}-ограниченная {xnyn}-б.м. Док-во: $M>0:|yn|£M "n - значит ограничена. "e>0 $n0=n0(e/M):n>n0Þ|xn|<e/M Þ Þ n>n0|xnyn|=|xn||yn|£e/M*M=eÞ {xnyn}-б.м. Свойство 2. Произведение б.б. на посл. Отделённую от нуля даст б.б. {xn}-б.б. и {yn}-отдел от нуля Док-во: {1/xn*1/yn}=б.м.*огран.=б.м. (по 1-ому свойству)Þ{xnyn}-б.б. Свойство 3. Сумма двух (любого кон. числа) б.м. послед. Даст снова б.м. {xn} и {yn}-б.м. Þ{xn+yn}-б.м. Док-во: "e$n|=n|(e/2):n>n||xn|<e/2 $n||=n||(e/2):n>n|||yn|<e/2 n0=max{n|,n||} n>n0Þ|xn+yn|£|xn|+|yn|<e/2+e/2=e Для того чтобы получить это св-во с любым числом последовательностей нужно применить метод мат. индукции. Свойство 4. Сумма б.б. одного знака снова б.б. того же знака Док-во: Очивиднл. Неопределённые интегралы. def / F(x) называется первообразной для f(x) на[a;b] если F ¢(x)=f(x) У непрерывной функции первообразная всегда есть. Теорема: Различные первообразные одной и той же функции отличаются на одно и тоже постоянное слагаемое. Док-во: F1(x) и F2(x) – первообразные для f(x) F(x)= F1(x)- F2(x) F ¢(x)= F1¢(x)- F1¢(x)=f(x)-f(x)=0 F(x)=const Def / Совокупность всех первообразных одной и той же функции называется её неопределённым интегралом. Св-ва линейности: Замена переменных в неопределённом интеграле или методом подстановки. Теорема: Пусть функция x= x(t): (a;b)®(a;b), xÎC1(a;b), fÎC(a;b) 1) ½x=x(t) 2) Если x¢(t) сохраняет знак, тогда ½t=t(x) Док-во: 1) d/dxF(x(t))=F ¢(x(t))x¢(t)=f(x(t))x¢(t) 2) x(t) – строго монотонная Þ$обратная t=t(x) ½t=t(x) Интегрирование по частям. Рекуррентная формула.
y=a+bx2 y¢=2bx xy¢=2bx2=2(y-a) U=1/yn dx=dV dU=(-ny¢/yn+1)dx V=x In=x/yn+2nIn-2naIn+1 1) In+1=(1/2na)(x/yn+(2n-1)In), n¹0, a¹0 2) In=(1/(2n-1))(2naIn+1-x/yn), n¹1/2, a¹0 Поле комплексных чисел. (x;y)=(x;0)+(y;0)(0;1)=x+yi – алгебраическая запись комплексного числа Чертёж : |