Курсовая работа: Системы эквивалентные системам с известным типом точек покоя
Название: Системы эквивалентные системам с известным типом точек покоя Раздел: Рефераты по математике Тип: курсовая работа |
Министерство образования Республики БеларусьУчреждение образования Гомельский государственныйуниверситет имени Франциска СкориныМатематический факультетКафедра Дифференциальных уравнений Курсовая работа «Системы, эквивалентные системам с известным типом точек покоя»Гомель 2005 Реферат Курсовая работа состоит из 14 страниц, 2-х источников. Ключевые слова: вложимая система, с известным типом точек покоя, первый интеграл дифференциальной системы, отражающая функция, класс систем эквивалентных системе с известным типом точек покоя, непрерывно дифференцируемая функция. Целью курсовой работы является исследование системы с известным типом точек покоя, нахождение первого интеграла системы, применение теоремы об эквивалентности дифференциальных систем. Содержание Введение Определение вложимой системы. Условия вложимости Общее решение системы Нахождение первого интеграла дифференциальной системы и условия его существования Отражающая функция Применение теоремы об эквивалентности дифференциальных систем Заключение Список использованных источников Введение В курсовой работе рассматривается вложимая система с изаестным типом точек покоя. Как известно система является вложимой, если любая компонента этой системы вложима, т.е. система вложима тогда и только тогда, когда множество её решений является подмножеством множества решений некоторой линейной стационарной системы. В 1–2 м пунктах рассматривается вложимая система, с известным типом точек покоя. Далее проверяем являются ли x и y общим решением нашей системы уравнений. Во 3-м мы находим первый интеграл системы и проверяем выполнение тождества. В 4-м пункте применяем теорему об эквивалентности дифференциальных систем. 1. Определение вложимой системы. Условия вложимости Рассмотрим дифференциальную систему D. (1) Будем называть i-ю компоненту x системы (1) вложимой, если для любого решения x(t)=(x(t),…, x(t)), t, этой системы функция xt, является квазимногочленом. Таким образом i-я компонента системы (1) вложима тогда и только тогда, когда для каждого решения x(t) этой системы существует линейное стационарное уравнение вида , (2) для которого является решением. Вообще говоря, порядок и коэффициенты уравнения (2) зависят от выбора решения . В частном случае, когда компонента любого решения системы (1) является одновременно и решением некоторого, общего для всех решений уравнения (2), компоненту системы (1) будем называть сильно вложимой в уравнение (2). 2. Общее решение системы Рассмотрим вложимую систему (1) (b>0 и а-постоянные) с общим решением , если с0; x=0, y=at+c, если с=0, где постоянные с, с, с связаны соотношением с(b+c+c)=a, имеет два центра в точкахи . Решение: Подставим общее решение в нашу систему (1) получим ==c(ccosct-csinct)= a- Для краткости распишем знаменатель и преобразуем x+y+b= = =a+c(csinct+ccosct) a- Получаем, что x и y являются общим решением системы. 3. Нахождение первого интеграла дифференциальной системы и условия его существования Рассмотрим систему = f (t, x), x= (x,…, x), (t, x)(1) с непрерывной в области в функцией f. Дифференцируемая функция U (t, x), заданная в некоторой подобласти G области D, называется первым интегралом системы (1) в области G, если для любого решения x(t), t, системы (1), график которого расположен в Gфункция U (t, x(t)), t, постоянна, т.е. U (t, x(t)) зависит только от выбора решения x(t) и не зависит от t. Пусть V (t, x), V:GR , есть некоторая функция. Производной от функции V в силу системы (1) назовем функцию VVR, определяемую равенством V (t, x(t))t. Лемма 1. Для любого решения x(t), t, системы (1), график которого расположен в G, имеет место тождество Vt. Без доказательства. Лемма 2. Дифференцируемая функция U (t, x), U:GR , представляет собой первый интеграл системы (1) тогда и только тогда, когда производная U в силу системы (1) тождественно в G обращается в нуль. Необходимость. Пусть U (t, x) есть первый интеграл системы (1). Тогда для любого решения x(t) этой системы, применяя лемму 1 будем иметь тождества U Откуда при t=t получим равенство U(t справедливое при всех значениях t и x(t). Необходимость доказана. Достаточность. Пусть теперь U при всех (t, x) Тогда для любого решения x(t) системы (1) на основании леммы1 будем иметь тождества а с ним и достаточность. Из определения первого интеграла следует, что постоянная на G функция также является первым интегралом системы (1). Первый интеграл U (t, x) будем называть на G, если при всех (t, x) выполняется неравенство. Функцию U(x) будем называть стационарным первым интегралом системы (1), если она не зависит от t и является первым интегралом системы (1). Найдем первый интеграл нашей системы: Возведем в квадрат и выразим с y Положим , получим Проверим, что функция – это первый интеграл системы (1), т.е. проверим выполнение тождества (2) Найдем производные по t, x, y После выше сделанных преобразований получаем, что функция – это первый интеграл системы (1), 2) Положим , т.е. , где , Q 3) Проверим выполнение тождества: (3), где Преобразуем (3). [в нашем случае ] = =[учитывая все сделанные обозначения] = = = =[ввиду того, что которое в свою очередь как мы уже показали есть тождественный ноль] Таким образом, тождество (3) истинное. 4. Отражающая функция Определение. Рассмотрим систему (5) cчитая, что правая часть которой непрерывна и имеет непрерывные частные производные по . Общее решение в форме Коши обозначено через ). Через обозначим интервал существования решения . Пусть Отражающей функцией системы (5) назовём дифференцируемую функцию , определяемую формулой Для отражающей функции справедливы свойства: 1.) для любого решения системы (5) верно тождество 2.) для отражающей функции F любой системы выполнены тождества 3) дифференцируемая функция будет отражающей функцией системы (5) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет системе уравнений в частных производных и начальному условию 5. Применение теоремы об эквивалентности дифференциальных систем Получаем где - любая нечетная непрерывная функция. Наряду с дифференциальной системой (1) рассмотрим возмущенную систему(2), где - любая непрерывная нечетная функция. Известно по [3], что дифференциальная система (3) эквивалентна возмущенной системе (4), где непрерывная скалярная нечетная функция удовлетворяющая уравнению Так как выше уже показано, что функция где {есть первый интеграл} удовлетворяет этому уравнению, то справедлива следующая теорема. Теорема1.Система (1) эквивалентна системе (2) в смысле совпадения отражающей функции. Так как система (1) имеет две особые точки, в каждой из которых находится центр, то и система (2) имеет центры в этих точках. Заключение В данной курсовой работе рассмотрена вложимая система с известным типом точек покоя, проверено удовлетворение общего решения нашей системе, найдены первый интеграл и проверено выполнение тождества, затем с помощью теоремы 1 доказана эквивалентность дифференциальных систем. Сформулированы определения вложимой системы, первого интеграла, отражающей функции и общие свойства отражающей функции. Cформулирована теорема при помощи которой мы доказали эквивалентность нашей системы с дифференциальной системой. Список использованных источников 1. Мироненко В.И. Линейная зависимость функций вдоль решений дифференциальных уравнений. – Мн., Изд-во БГУ им. В.И. Ленина, 1981, 50 – 51 с. 2. Мироненко В.И. Отражающая функция и периодические решения дифференциальных уравнений. – Мн.: изд-во «Университетское», 1986, 11,17 – 19 с. 3. Мироненко В.В. Возмущения дифференциальных систем, не изменяющие временных симметрий. 2004 г. |