ЦЕНТРОСОЮЗ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

СИБИРСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОЙ КООПЕРАЦИИ

Кафедра статистики и экономического прогнозирования

Контрольная работа

"Экономико-математические методы"

Новосибирск 2009

Задание 1

Производственная функция для райпо имеет вид , где f – товарооборот, млн. руб.; x₁ – производственная площадь, тыс. кв. м; x₂ – численность работников, сотни чел. Рассмотрите изокванту уровня и найдите на ней точку С₁ с координатами , где , и точку С₂ с координатами , где . Сделайте вывод о возможности замены ресурсов () и (). Полученные результаты изобразите графически.

Решение

Для производства некоторого изделия в количестве Y единиц используются различные ресурсы, которые можно обозначить x₁ , x₂ , …..x_n . Очевидно, что и Y и x₁ , x₂ , …..x_n измеряются в определенных единицах измерения и имеют количественное выражение. Использую математические методы можно выразить значение одной величины через другую, в том числе Y через , где = (x₁ , x₂ , …..x_{n )} . Функциональную зависимость Y = f () называют производственной функцией.

Обозначим какое-то изделие через Y₀ . Если установлено, что для его изготовления можно в n – мерном пространстве найти такие , что Y₀ = f (). Найденные составят некоторое множество Q _{y 0.} Сказанное можно записать следующим образом Q _{y 0} = : .

Множество Q _{y 0} и называют изоквантой функции f ().

Пусть имеются Q _{y 0} и Q _{y 0} . Из понятия изокванты следует, что и обеспечивают производство одного и того же количества продукта Y₀ , т.е. являются в этом смысле взаимозаменяемыми. Для организаторов производства знание изокванты позволяет недостаток одних ресурсов компенсировать другими.

Для производственной функции товарооборота (в млн. рублей), которая имеет вид: f (x₁ , x₂ ) = 10 * * .

(x₁ – производственная площадь, тыс. кв. м;

x₂ – численность работников, сотни чел.) и ее изокванты

Y₀ = = = = 25,18 найдем координаты для точек C₁ (а₁ , в₁ ) и С₂ (а₂ , в₂ ).

Для точки C₁ (а₁ , в₁ ) известно, а₁ = = = = 4,34.

Использую определение изокванты, получаем:

10 * * = , или 100 * а₁ * в₁ = 634, или а₁ * в₁ = 6,34

Отсюда, в₁ = = 1,46, т.е. точка C₁ имеет координаты (4,34; 1,46).

Для точки C₂ (а₂ , в₂ ) известно, в₂ = = = = 2,34.

Использую определение изокванты, получаем:

10 * * = , или 100 * а₂ * в₂ = 634, или а₂ * в₂ = 6,34

Отсюда, а₂ = = 2,71, т.е. точка C₂ имеет координаты (2,71; 2,34).

Уравнение нашей изокванты имеет вид 10 * *

(при Y₀ = = 25,18) или x₁ * x₂ = 6,34. Уравнение такого вида представляет собой гиперболу, которую и изобразим схематически на графике ниже.

Итак, 146 работников райпо, используя 4,34 тыс. кв. метров производственной площади, обеспечат товарооборот = 25,18 (млн. руб.), и такой же товарооборот могут обеспечить 234 работника райпо, используя площадь 2,71 тыс. кв. метров.

Используя график этой функции, можно находить взаимозаменяемые пары (x1, x2).

X₂ (сотни чел.) C₂ (2,71; 2,34)

2.5

2.0

1.5 С1 (4,34; 1,46)

1.0

0.5

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 X₁ (тыс. кв. м)

Задание 2

Произведите классификацию товаров по следующей таблице эластичностей:

Решение

Преобразуем таблицу под наш вариант = 534

1. Введем определение эластичности товара.

Обозначим – спрос на товары, выраженный в некоторых единицах, и – цены на эти товары, т.е. p_i – цена на i – й товар; y_i – спрос на i – й товар.

Пусть рассматривается некоторый потребитель, например типичный представитель определенной социальной группы, и если для него удается выразить через , т.е. , то называется функцией спроса.

Ввиду того, что , , – n – мерные векторы, равенство можно представить в координатной записи следующим образом: .

Разумеется, в реальной ситуации спрос зависит не только от цен, но от многих других факторов. Поэтому введенное понятие имеет весьма ограниченное использование и применимо, в частности, для некоторой классификации товаров с позиции определенного потребителя.

Определим эластичность ε_ij формулой

.

Величина ε_ij является математической идеализацией процентного изменения спроса на i – й товар при увеличении на 1% цены на j-й товар.

Например, если ε₂₃ =0,25, то это понимается так, что если цену на 3-й товар увеличить на 1%, то спрос на 2-й товар увеличится на 0,25%.

Эластичность ε_ij при i = j называется прямой, и она показывает, на сколько процентов изменится спрос на i-й товар при увеличении на 1% цены на этот же товар. Будем считать, что ε_ii ‹ 0, т.е. увеличение цены на i-й товар приводит к снижению спроса на него.

Эластичность ε_ij при называется перекрестной, и она показывает влияние изменения цены одного товара на спрос другого.

Классификация товаров на основе прямой и перекрестной эластичности сводится к следующему:

– если |ε_ii | ‹ 1, то i-й товар называется малоэластичным;

– если |ε_ii |1, то i – й товар называется среднеэластичным;

– если |ε_ii | › 1, то i – й товар называется высокоэластичным;

– если увеличение цены на j-й товар приводит к уменьшению спроса на i-й и наоборот, то эти товары называются взаимодополняемыми.

Математически это соответствует выполнению неравенств: ε_ii ‹ 0, ε_ji ‹ 0;

– если увеличение цены на j-й товар приводит к увеличению спроса на i-й товар и наоборот, то эти товары называются взаимозаменяемыми.

Математически это соответствует неравенствам ε_ij › 0, ε_ji › 0.

Таблица эластичностей принимает вид:

Так как |ε₁₁ | = 0,76 1, то первый товар малоэластичный;

так как |ε₂₂ | = 1,06 1, то второй товар среднеэластичный;

так как |ε₃₃ | =1,46 1, то третий товар высокоэластичный.

Поскольку ε₁₂ = 0,165 0 и ε₂₁ = 0,1375 0, то первый и второй товары взаимозаменяемые.

Поскольку ε₁₃ = 0, 365 0 и ε₃₁ = 0,304 0, то первый и третий товары взаимозаменяемые.

Поскольку ε₂₃ = – 1,135 0 и ε₃₂ = – 0, 15 0, то второй и третий товары взаимодополняемые.

Задание 3

Дайте определение коэффициентов прямых затрат. Где они могут быть использованы?

Решение

1. Пусть народное хозяйство представлено n отраслями сферы материального производства. Каждая из отраслей производит один агрегированный продукт. Валовой выпуск этих продуктов отраслями обозначим x₁ , x₂ ,…, x_n . Вся продукция x_i отрасли i, i=1, 2,…, n, делится на промежуточную Z_i и конечную y_i . Промежуточную продукцию потребляют в процессе производства сами отрасли. Конечная продукция выходит из сферы материального производства и предназначается для непроизводственного потребления.

На основе отчетных данных о деятельности отраслей за определенный период можно составить межотраслевой баланс. Обозначим x_ij – объем продукта i-й отрасли, используемый за отчетный период j-й отраслью. Если представить, как распределяется валовая продукция каждой отрасли по другим отраслям и в сфере потребления, то получится система балансовых уравнений.

(1)

Преобразуем систему уравнений:

(2)

Отношение называется коэффициентом прямых затрат и содержательно означает объем продукции i-й отрасли, который требуется передать j-й отрасли, чтобы последняя произвела единицу своей валовой продукции.

Учитывая это, система уравнений примет вид:

(3)

Модель межотраслевого баланса может использоваться в планировании деятельности отраслей материального производства. Если технологии производства продуктов не меняются, то коэффициенты прямых затрат остаются неизменными.

Задание 4

В магазине самообслуживания работают две кассы с интенсивностью μ= (δ+300)/100 (треб./мин.) каждая. Входящий поток требований имеет интенсивность λ=(δ+400)/100 (треб./мин.). Рассчитайте долю времени простоя касс и среднюю длину очереди. Если интенсивность входящего потока станет равной λ=(700-δ)/10 (треб./мин.), то будет ли выполнено условие стационарности? Если будет, то во сколько раз увеличится средняя длина очереди?

Решение

К системам массового обслуживания (СМО) относятся магазины, рестораны, автозаправочные станции, аэродромы, автоматизированные телефонные станции и многие другие объекты. Общую схему СМО можно представить в следующем виде:

Поток

Входящий поток обслуженных

требований требований

Для входящего потока требований предположим, что интервалы между поступлениями соседних требований есть случайная величина X с показательным законом распределения, т.е. ее интегральная функция F(t) имеет вид:

.

Число λ (треб./ед. времени) называется интенсивностью входящего потока, и она показывает, сколько в среднем требований поступает в единицу времени.

Будем считать, что очередь не ограничена и требования обслуживаются в порядке поступления. Для обслуживания примем предположения, что все n каналов одинаковы и для каждого из них время обслуживания одного требования есть случайная величина Y, распределенная по показательному закону, т.е. ее интегральная функция имеет вид:

.

Число μ (треб./ед. времени) называется интенсивностью обслуживания, и она показывает, сколько в среднем требований обслуживается одним каналом в единицу времени.

Обозначим (α – параметр загрузки СМО) и предположим, что выполняется условие стационарности α < n или λ < μ * n.

Это условие означает, что интенсивность входящего потока меньше, чем суммарная интенсивность обслуживания.

При сформулированных предположениях можно рассчитать некоторые экономические показатели работы СМО, такие, например, как Р_к – доля времени работы К – каналов, К=0,1,…, n; L – средняя длина очереди и другие.

Формулы для вычисления p₀ ,…, p_n, L в общем случае довольно громоздки, поэтому приведем их для случая n = 2:

.

Рассчитаем долю времени простоя касс и среднюю длину очереди для магазина самообслуживания, в котором работают две кассы с интенсивностью μ = (534+300)/100 (треб./мин.) каждая и входящий поток требований имеет интенсивность λ = (534+400)/100 (треб./мин.). Если интенсивность входящего потока станет равной λ=(700–534)/10 (треб./мин.), то будет ли выполнено условие стационарности? Если будет, то во сколько раз увеличится средняя длина очереди?

Вычислим λ (треб./ед. времени) интенсивностью входящего потока λ = = 9,34 и μ (треб./ед. времени) интенсивностью обслуживания μ = = 8,34. Отсюда, вычислим параметр загрузки СМО = = = 1, 12 и предположим, что выполняется условие стационарности < n или λ < μ * n (1,12 < 2; 9,34 < 8,34 * 2 = 16,68 – выполняются оба условия стационарности).

Вычислим Р_к – доля времени работы К – каналов, К=0,1 и L – средняя длина очереди:

Р₀ = = = 0,282 (Р₀ = 28,2%)

L₁ = = = = 0,511 (треб.)

Если интенсивность станет λ = = 16,6 (треб./мин.), то, в силу выполнения условия стационарности (λ < μ * n, 16,6 < 8,34 * 2 = 16,68), вычислим среднюю длину очереди:

= = = 1,99

L₂ = = = = 197,51 (треб.)

= = 386,5.

Таким образом, при интенсивности обслуживания μ=8,34 (треб./мин.) и интенсивности входа λ=9,34 (треб./мин.) доля времени простоя касс составляет 28,2% времени, а средняя длина очереди равна 0,511 (треб.).

Если же интенсивность входа станет равной 16,6 (треб./мин.), то средняя длина очереди увеличится в 386,5 раза.

Литература

1. Айвазян С.А. и др. Прикладная статистика. Исследование зависимостей. – М.: Финансы и статистика, 1985

2. Гранберг А.Г. Математические модели социалистической экономики. – М.: Экономика, 1976

3. Иванилов Ю.П., Лотов А.В. Математические методы в экономике – М.: Наука, 1979

4. Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь. – М.: Наука, 1987

5. Спирин А.А., Фомин Г.П. Экономико-математические методы и модели в торговле. – М: Экономика, 1988

6. Щедрин И.И., Кархов А.Н. Экономико-математические методы в торговле. – М.: Экономика, 1980

7. Шаланов Н.В. Экономико-математические методы в торговле: Учебное пособие. – Новосибирск: СибУПК, 1998