Контрольная работа: Высшая математика

Название: Высшая математика
Раздел: Рефераты по математике
Тип: контрольная работа

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ

НОУ ВПО «С.И.Б.У.П.»

Контрольная работа

по дисциплине «Высшая математика»

Вариант 13.

Выполнила студентка

Проверил:

Красноярск, 2008г.


ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Задание 1

Коэффициенты использования рабочего времени у двух комбайнов соответственно равны 0,8 и 0,6. Считая, что остановки в работе каждого комбайна возникают случайно и независимо друг от друга, определить относительное время (вероятность: а) работы только одного комбайна; б) простоя обоих комбайнов.

А) Данное событие (работает только один комбайн) есть сумма 2 несовместных событий:

A = B + C,

где B: работает только 1-й (2-й простаивает); C: работает только 2-й (1-й простаивает). Каждое из этих событий есть произведение 2 независимых событий:

B = D;

C = E,

где D, E – события, состоящие в том, что 1-й и 2-й комбайны работают; , - противоположные им события, т.е. 1-й и 2-й комбайны не работают. Их вероятности:

P (D) = 0,8

P (E) = 0,6

P () = 1 – P (D) = 1 – 0,8 = 0,2

P () = 1 – P (E) = 1 – 0,6 = 0,4

По теоремам сложения и умножения вероятностей

P (A) = P (B) + P (C) = P (D) P () + P () P (E) = 0,8 * 0,4 + 0,2 * 0,6 = 0,44

Б) Данное событие (оба комбайна простаивают) есть произведение 2 независимых событий:

F =

По теореме умножения вероятностей

P (F) = P () P () = 0,2 * 0,4 = 0,08

Задание 2

Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0,01. Найти наиболее вероятное число опоздавших из 800 пассажиров и вероятность такого числа опоздавших.

Происходит n = 800 независимых испытаний, в каждом из которых данное событие (опоздание на поезд) происходит с вероятностью p = 0,01. Наиболее вероятное число наступлений события удовлетворяет неравенствам

np – q ≤ k < np + p,

где q = 1 – p = 1 – 0,01 = 0,99

800 * 0,01 – 0,99 ≤ k < 800 * 0,01 + 0,01

7,01 ≤ k < 8,01

k = 8

Так как n велико, p мала, соответствующую вероятность найдем по формуле Пуассона:

Pn (k) = ,

где a = np = 800 * 0,01 = 8

P800 (8) = = 0,140

Задание 3

На двух автоматических станках производятся одинаковые изделия, даны законы распределения числа бракованных изделий, производимых в течение смены на каждом из них для первого и для второго.

X 0 1 2 Y 0 2

p 0,1 0,6 0,3 p 0,5 0,5

Составить закон распределения случайной величины Z = X + Y числа производимых в течение смены бракованных изделий обоими станками. Составить функцию распределения и построить ее график. Проверить свойство математического ожидания суммы случайных величин.

Величина Z может принимать значения:

0 + 0 = 0

0 + 2 = 2

1 + 0 = 1

1 + 2 = 3

2 + 0 = 2

2 + 2 = 4

Вероятности этих значений (по теоремам сложения и умножения вероятностей):

P (Z = 0) = 0,1 * 0,5 = 0,05

P (Z = 1) = 0,6 * 0,5 = 0,3

P (Z = 2) = 0,1 * 0,5 + 0,3 * 0,5 = 0,2

P (Z = 3) = 0,6 * 0,5 = 0,3

P (Z = 4) = 0,3 * 0,5 = 0,15

Закон распределения:

Z 0 1 2 3 4

p 0,05 0,3 0,2 0,3 0,15

Проверка:

∑ pi = 0,05 + 0,3 + 0,2 + 0,3 + 0,15 = 1.

Функция распределения

F (x) = P (X < x) = =

Математические ожидания:

M (x) = ∑ xipi = 0 * 0,1 + 1 * 0,6 + 2 * 0,3 = 1,2

M (y) = ∑ yipi = 0 * 0,5 + 2 * 0,5 = 1

M (z) = ∑ zipi = 0 * 0,05 + 1 * 0,3 + 2 * 0,2 + 3 * 0,3 + 4 * 0,15 = 2,2

M (z) = M (x) + M (y) = 1,2 + 1 = 2,2


Задание 4

Случайная величина X задана функцией распределения

F (x) =

Найти: 1) вероятность попадания случайной величины X в интервал (1/3; 2/3); 2) функцию плотности распределения вероятностей f (x); 3) математическое ожидание случайной величины X; 4) построить графики F (x) и f (x).

1) Вероятность попадания случайной величины в интервал (a, b) равна

P (a < X < b) = F (b) – F (a)

P (1/3 < X < 2/3) = F (2/3) – F (1/3) = (2/3)3 – (1/3)3 = 8/27 – 1/27 = 7/27

2) Функция плотности

f (x) = F`(x) =

3) Математическое ожидание

M (X) = = = = = ¾ (14 – 04) = ¾

4) Графики:

Задание 5

Текущая цена акции может быть смоделирована с помощью нормального закона распределения с математическим ожиданием a = 26 и средним квадратическим отклонением σ = 0,7. Требуется: а) записать функцию плотности вероятности случайной величины X – цены акции и построить ее график; б) найти вероятность того, что случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (25,2; 26,8); в) найти вероятность того, что абсолютная величина |X – 26| окажется меньше ε = 0,5.

А) Функция плотности нормального распределения имеет вид

f (x) = = =

Б) Вероятность того, что нормальная величина примет значение из интервала (α; β), равна

P (α < X < β) = - = - = Ф (1,14) – Ф (-1,14) = 0,3735 + 0,3735 = 0,747

Значения функции Лапласа Ф (x) = берем из таблиц.

В) Вероятность того, что отклонение нормальной величины от математического ожидания не превышает ε, равна

P (|X – a| < ε) =

P (|X – 26| < 0,5) = = 2Ф (0,714) = 2 * 0,2611 = 0,5222


СТАТИСТИКА

Задание 1

В задаче приведена выборка, извлеченная из соответствующей генеральной совокупности. Требуется: 1) по несгруппированным данным найти выборочную среднюю; 2) найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания признака X генеральной совокупности (генеральной средней), если признак X распределен по нормальному закону; известны γ = 0,98 – надежность и σ = 200 – среднее квадратическое отклонение; 3) составить интервальное распределение выборки с шагом h = 200, взяв за начало первого интервала x1 = 700; 4) построить гистограмму частот; 5) дать экономическую интерпретацию полученных результатов.

Проведено выборочное обследования объема промышленного производства за 16 месяцев и получены следующие результаты (тыс. руб.):

750; 950; 1000; 1050; 1050; 1150; 1150; 1150; 1200; 1200; 1250; 1250; 1350; 1400; 1400; 1550

1) Выборочная средняя

= = (750 + 950 + 1000 + 1050 + 1050 + 1150 + 1150 + 1150 + 1200 + 1200 + 1250 + 1250 + 1350 + 1400 + 1400 + 1550) / 16 = 18850 / 16 = 1178,1 тыс. руб.

2) Доверительный интервал

- < a < + ,

где Ф (t) = γ / 2 = 0,98 / 2 = 0,49. По таблице функции Лапласа находим: t = 2,32.

1178,1 - < a < 1178,1 +

1178,1 – 116,3 < a < 1178,1 + 116,3

1061,8 < a < 1294,4 тыс. руб.

3) Подсчитаем границы интервалов:

x2 = x1 + h = 700 + 200 = 900 и т.д.

Подсчитаем частоты интервалов (т.е. количество значений объема производства, попавших в данный интервал). Интервальное распределение выборки:

Интервал Частоты
(700; 900) 1
(900; 1100) 4
(1100; 1300) 7
(1300; 1500) 3
(1500; 1700) 1

4) Гистограмма частот:

5) Экономическая интерпретация. Средний объем промышленного производства за 16 месяцев составил 1178,1 тыс. руб. С надежностью 0,98 можно утверждать, что средний объем производства находится в пределах от 1061,8 до 1294,4 тыс. руб. Наибольшее число месяцев (7) объем производства находился в интервале от 1100 до 1300 тыс. руб.

Задание 2

По корреляционной таблице требуется: 1) в прямоугольной системе координат построить эмпирические ломаные регрессии Y на X и X на Y, сделать предположение о виде корреляционной связи; 2) оценить тесноту линейной корреляционной связи; 3) составить линейные уравнения регрессии Y на X и X на Y, построить их графики в одной системе координат; 4) используя полученное уравнение, оценить ожидаемое среднее значение признака Y при заданном x = 98. Дать экономическую интерпретацию полученных результатов.

В таблице дано распределение 200 заводов по основным фондам X в млн. руб. и по готовой продукции Y в млн. руб.:

y\x 20 30 40 50 60 70 80 90 100 ny
12 4 4
18 6 10 2 18
24 8 13 1 1 23
30 4 7 9 3 4 2 29
36 1 2 3 12 4 8 30
42 1 3 18 24 1 47
48 7 12 3 22
54 9 18 27
nx 10 23 24 14 19 26 41 22 21 n = 200

1) Расчетная таблица:

X

Y

20 30 40 50 60 70 80 90 100 ny yny y2 y2ny ∑xnxy Усл. ср. y
12 4 4 48 144 576 80 20,0
18 6 10 2 18 324 324 5832 500 27,8
24 8 13 1 1 23 552 576 13248 870 37,8
30 4 7 9 3 4 2 29 870 900 26100 1470 50,7
36 1 2 3 12 4 8 30 1080 1296 38880 1900 63,3
42 1 3 18 24 1 47 1974 1764 82908 3500 74,5
48 7 12 3 22 1056 2304 50688 1940 88,2
54 9 18 27 1458 2916 78732 2610 96,7
nx 10 23 24 14 19 26 41 22 21 200 7362 296964 12870
xnx 200 690 960 700 1140 1820 3280 1980 2100 12870
x2 400 900 1600 2500 3600 4900 6400 8100 10000
x2nx 4000 20700 38400 35000 68400 127400 262400 178200 210000 944500
∑ynxy 156 528 630 444 672 1020 1692 1104 1116 7362
∑xynxy 3120 15840 25200 22200 40320 71400 135360 99360 111600 524400
Усл. ср. x 15,6 23,0 26,3 31,7 35,4 39,2 41,3 50,2 53,1

Подсчитаем условные средние:

x = 20 = = (12 * 4 + 18 * 6) / 10 = 15,6 и т.д.

y = 12 = = 20 * 4 / 4 = 20,0 и т.д.

Эмпирические ломаные регрессии:

Эмпирические линии регрессии близки к прямым. Можно сделать предположение о линейном характере связи между величиной основных фондов и готовой продукцией.

2) Выборочные средние:

= = 12870 / 200 = 64,35

= = 7362 / 200 = 36,81

Выборочные средние квадратические отклонения

σx = = = 24,12

σy = = = 11,39

Выборочный коэффициент корреляции

r = = = 0,922

3) Уравнение линейной регрессии Y по X:

x - = r(x - )

x – 36,81 = 0,922 * (x – 64,35)

x = 0,435x + 8,786

Уравнение линейной регрессии X по Y:

y - = r( y - )

y – 64,35 = 0,922 * (y – 36,81)

y = 1,951y – 7,452

Графики:

4) Ожидаемое среднее значение Y при X = 98:

x = 98 = 0,435 * 98 + 8,786 = 51,5 млн. руб.

Экономическая интерпретация. Связь между величиной основных фондов и готовой продукций прямая и очень тесная: коэффициент корреляции положителен и близок к 1. При увеличении основных фондов на 1 млн. руб. готовая продукция возрастает в среднем на 0,435 млн. руб. При увеличении готовой продукции на 1 млн. руб. основные фонды возрастают в среднем на 1,951 млн. руб. При величине основных фондов 98 млн. руб. ожидаемое среднее значение готовой продукции 51,5 млн. руб.

Задание 3

Даны эмпирические значения случайной величины. Требуется: 1) выдвинуть гипотезу о виде распределения; 2) проверить гипотезу с помощью критерия Пирсона при заданном уровне значимости α = 0,05. За значения параметров a и σ принять среднюю выборочную и выборочное среднее квадратичное отклонение, вычисленные по эмпирическим данным.

В таблице дано распределение дохода от реализации некоторого товара:

8-12 12-16 16-20 20-24 24-28 28-32
6 11 25 13 4 1

1) Вычислим середины интервалов дохода:

xi = (8 + 12) / 2 = 10 и т.д.

Расчетная таблица:

xi ni xini xi - (xi - )2 (xi - )2 ni
1 10 6 60 -8,067 65,071 390,4
2 14 11 154 -4,067 16,538 181,9
3 18 25 450 -0,067 0,004 0,1
4 22 13 286 3,933 15,471 201,1
5 26 4 104 7,933 62,938 251,8
6 30 1 30 11,933 142,404 142,4
Сумма 60 1084 1167,7

Выборочное среднее

= = 1084 / 60 = 18,067

Выборочное среднее квадратическое отклонение

s = = = 4,412

Выдвигаем гипотезу о нормальном распределении.

2) Расчетная таблица для применения критерия Пирсона:

i xi Частоты ni ui = (xi - ) / s φ (ui) = Теорет. частоты ni` = nh φ (ui) / s ni - ni` (ni - ni`)2 (ni - ni`)2 / ni`
1 10 6 -1,829 0,0750 4,1 1,9 3,7 0,9
2 14 11 -0,922 0,2609 14,2 -3,2 10,2 0,7
3 18 25 -0,015 0,3989 21,7 3,3 10,9 0,5
4 22 13 0,892 0,2681 14,6 -1,6 2,5 0,2
5 26 4 1,798 0,0792 4,3 -0,3 0,1 0,0
6 30 1 2,705 0,0103 0,6 0,4 0,2 0,3
Сумма 60 59,4 2,7

Наблюдаемое значение

χн2 = ∑ (ni - ni`)2 / ni` = 2,7

Критическое значение (из таблиц при уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы k = 6 – 3 = 3)

χкр2 = 7,8

Так как χн2 < χкр2, гипотезу о нормальном распределении принимаем.