Книга: Высшая математика в задачах и упражнениях

Высшая математика в заданиях и упражнениях

Предисловие

Преподавание математики в высших учебных заведениях направлено на достижение следующих целей:

–формирование личности студентов, развитие их интеллекта и способностей к логическому и алгоритмическому мышлению;

–обучение основным математическим методам, необходимым для анализа, моделирования и поиска оптимальных решений в процессах, явлениях и устройствах из области будущей деятельности студентов как специалистов.

В соответствии с поставленными целями, задачи преподавания высшей математики состоят в том, чтобы на примерах математических понятий и методов продемонстрировать студентам действие основных законов природы, общества и техники, сущность научного подхода, специфику математики и её роль в осуществлении научно-технического прогресса. Необходимо научить студентов приёмам исследования и решения математически формализованных задач, выработать у студентов умение анализировать полученные результаты, привить им навыки самостоятельного изучения литературы по математике и её приложениям.

Настоящее пособие для студентов-заочников по специальностям «Информационные системы» и «Вычислительные системы и комплексы» содержит методические указания и контрольные задания по курсам линейной и векторной алгебры, аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчисления, числовых и функциональных рядов, дифференциальных уравнений.

Учебные планы университетов предусматривают выполнение ряда контрольных работ, объём и содержание которых определяются соответствующими программами. В случае необходимости все дополнительные сведения, связанные со спецификой учебных планов данной специальности, сообщаются студентам кафедрами высшей математики дополнительно к настоящему пособию.

Требования к выполнению и оформлению контрольных работ

Перед выполнением контрольного задания студент должен изучить соответствующие разделы курса по пособиям, рекомендуемым в "Методических указаниях". Пособия обозначаются номерами в квадратных скобках; например, [I] означает ссылку на учебник Я. С. Бугрова и С. М. Никольского. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. В "Методических указаниях" даются также некоторые начальные теоретические сведения и приводятся решения типовых примеров. Если студент испытывает затруднения в освоении теоретического или практического материала, то он может получить устную или письменную консультацию на учебно-консультационных пунктах.

Номера вариантов контрольных задач определяются с помощью табл. 1, причем номера контрольных задач 1, 4, 7, 10 и т. д. находятся по первой букве фамилии студента; номера контрольных задач 2, 5, 8, 11 и т. д. находятся по первой букве имени студента; номера контрольных задач 3, 6, 9, 12 и т. д. находятся по первой букве отчества студента.

Таблица I

При выполнении контрольных работ необходимо строго придерживаться указанных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не зачитываются и возвращаются студенту для переработки.

1. Каждая контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради в клетку синими или черными чернилами. Необходимо оставлять поля шириной 4 - 5 см для замечаний рецензента.

2. В заголовке работы на обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия, имя и отчество студента, учебный номер (шифр), название дисциплины, номер контрольной работы; здесь же следует указать название учебного заведения, дату отсылки работы в институт и адрес студента. В конце работы следует поставить дату её выполнения и подпись студента.

3. В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании, строго по положенному варианту. Решения задач надо располагать в порядке возрастания их номеров.

4. Перед решением каждой задачи надо полностью выписать её условие. Если условие задачи имеет общую формулировку, то, переписывая его, следует общие данные заменить конкретными, взятыми из своего варианта.

В прорецензированной зачтенной работе студент должен исправить отмеченные рецензентом ошибки и учесть его рекомендации и советы. Если же работа не зачтена, то её выполняют ещё раз и отправляют на повторную рецензию. Зачтенные контрольные работы предъявляются студентом при сдаче зачета или экзамена.

Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом, которая состоит из следующих элементов: изучение материала по учебникам, решение задач, самопроверка, выполнение контрольных работ. В помощь заочникам институты организуют чтение лекций, практические занятия и лабораторные работы, Кроме того, студент может обращаться к преподавателю с вопросами для получения письменной, или устной консультации. Указания студенту по текущей работе даются также в процессе рецензирования контрольных работ. Однако студент должен помнить, что только при систематической и упорной самостоятельной работе помощь института окажется достаточно эффективной. Завершающим этапом изучения отдельных частей курса высшей математики является сдача зачетов и экзаменов в соответствии с учебным планом.

Чтение учебника

1. Изучая материал по учебнику, следует переходить к следующему вопросу только после правильного понимания предыдущего, производя на бумаге все вычисления (в том числе и те, которые ради краткости опущены в учебнике) и выполняя имеющиеся в учебнике чертежи.

2. Особое внимание следует обращать на определение основных понятий. Студент должен разбирать примеры, которые поясняют такие определения, и уметь строить аналогичные примеры самостоятельно.

3. Необходимо помнить, что каждая теорема состоит из предположения и утверждения. Все предположения должны обязательно использоваться в доказательстве. Нужно добиваться точного представления о том, в каком месте доказательства использовано каждое предположение теоремы. Полезно составлять схемы доказательств сложных теорем. Правильному пониманию многих теорем помогает разбор примеров математических объектов, обладающих и не обладающих свойствами, указанными, в предположениях.

4. При изучении материала по учебнику полезно вести конспект, в который рекомендуется вписывать определения, формулировки теорем, формулы, уравнения и т. д. На полях конспекта следует отмечать вопросы, выделенные студентом для получения письменной или устной консультации преподавателя.

5. Выводы, полученные в виде формул, рекомендуется в конспекте подчеркивать или обводить рамкой, чтобы при перечитывании конспекта они выделились и лучше запоминались. Опыт показывает, что многим студентам помогает в работе составление листа, содержащего важнейшие и наиболее часто употребляемые формулы курса. Такой лист не только помогает запоминать формулы, но и может служить постоянным справочником студента.

Решение задач

1. Чтение учебника должно сопровождаться решением задач, для чего рекомендуется завести специальную тетрадь.

2. При решении задач нужно обосновать каждый этап решения исходя из теоретических положений курса. Если студент видит несколько путей решения, то он должен сравнить их и выбрать из них самый лучший. Полезно до начала вычислений составить краткий план решения.

3. Решение задач и примеров следует излагать подробно, вычисления располагать в строгом порядке, отделяя вспомогательные вычисления от основных. Чертежи можно выполнять от руки, но аккуратно и в соответствии с данными условиями.

4. Решение каждой задачи должно доводиться до ответа, требуемого условием, и по возможности, в общем виде с выводом формулы. Затем в полученную формулу подставляются числовые значения (если они даны).

5. Полученный ответ следует проверять способами, вытекающими из существа данной задачи. Если, например, решалась задача с конкретными физическим или геометрическим содержанием, то полезно, прежде всего, проверить размерность полученного ответа. Полезно также, если возможно, решить задачу несколькими способами и сравнить полученные результаты.

Консультации

1. Если в процессе работы над изучением теоретического материала или при решении задач у студента возникают вопросы, разрешить которые самостоятельно не удается (неясность терминов, формулировок теорем, отдельных задач и др.), то он может обратиться к преподавателю для получения от него письменной или устной консультации.

2. В своих запросах студент должен точно указать, в чем он испытывает затруднение. Если он не разобрался в теоретических объяснениях, или в доказательстве теоремы, или в выводе формулы по учебнику, то нужно указать, какой это учебник, год его издания и страницу, где рассмотрен затрудняющий его вопрос, и что именно его затрудняет. Если студент испытывает затруднение при решении задачи, то следует указать характер этого затруднения, привести предполагаемый план решения.

3. За консультацией следует обращаться и при сомнении в правильности ответов на вопросы для самопроверки.

Контрольные работы

1. В процессе изучения курса математики студент должен вы полнить ряд контрольных работ, главная цель которых - оказать студенту помощь в его работе. Рецензии на эти работы позволяют студенту судить о степени усвоения соответствующего раздела курса; указывают на имеющиеся у него пробелы, на желательное направление работы; помогают сформулировать вопросы для постановки их перед преподавателем.

2. Не следует приступать к выполнению контрольного задания, не решив достаточного количества задач по материалу, соответствующему этому заданию. Опыт показывает, что чаще всего неумение решить ту или иную задачу контрольного задания вызывается тем, что студент не выполнил это требование.

3. Контрольные работы должны выполняться самостоятельно. Несамостоятельно выполненная работа не дает возможности преподавателю-рецензенту указать студенту на недостатки в его работе, в усвоении им учебного материала, в результате чего студент не приобретает необходимых знаний и может оказаться неподготовленным к устному зачету или экзамену.

4. Не рекомендуется присылать в институт одновременно работы по нескольким заданиям: это не дает возможности рецензенту своевременно указать студенту на допущенные им ошибки и удлиняет срок рецензирования работ.

5. Прорецензированные контрольные работы вместе со всеми исправлениями и дополнениями, сделанными по требованию рецензента, следует сохранять. Без предъявления прорецензированных контрольных работ студент не допускается к сдаче зачета и экзамена.

6. Распределение контрольных работ по семестрам устанавливается каждым институтом для своих студентов в соответствии с распределением по семестрам материала и сообщается студентам дополнительно.

Лекции, практические занятия и лабораторные работы

Во время экзаменационно-лабораторных сессий для студентов-заочников организуются лекции и практические занятия. Они носят по преимуществу обзорный характер. Их цель - обратить внимание на общую схему построения соответствующего раздела курса, подчеркнуть важнейшие места, указать главные практические приложения теоретического материала, привести факты из истории науки. Кроме того, на этих занятиях могут быть более подробно рассмотрены отдельные вопросы программы, отсутствующие или недостаточно полно освещенные в рекомендуемых пособиях.

Для студентов, имеющих возможность заниматься в группах на учебно-консультационных пунктах, лекции, практические занятия и лабораторные работы проводятся в течение всего учебного года и носят более систематический характер, однако и они призваны оказывать только помощь студенту в его самостоятельной работе.

Зачеты и экзамены

На экзаменах и зачетах выясняется, прежде всего, отчетливое усвоение всех теоретических и практических вопросов программы и умение применять полученные знания к решению практических задач. Определения, теоремы, правила должны формулироваться точно и с пониманием существа дела; решение задач в простейших случаях должно выполняться без ошибок и уверенно; всякая письменная и графическая работа должна быть сделана аккуратно и четко. Только при выполнении этих условий знания; могут быть признаны удовлетворяющими, требованиям, предъявляемым программой.

При подготовке к экзамену учебный материал рекомендуется повторить по учебнику и конспекту.

Литература

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. - М.: Наука, 1988. - 176 с,

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление. - М,: Наука, 1988. - 432 с.

3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. - М.: Наука, 1985. - 448 с.

4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления, для втузов. - М.: Наука, 1985. - Т. I, 2т

5. Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике. - М.: Наука, 1973.

6. Мышкис А.Д. Математика для втузов. Специальные курсы. - М.: Наука, 1971. - 632 с.

7. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Наука, 1980. - 320 с.

8. Бугров Я.С. Никольский С.М. Высшая математика. Задачник. - М.: Наука, 1982.

9. Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа/Под ред. А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича. - М.: Наука, 1981. - 464 с.

10. Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа/Под ред. А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича, - М: Наука, 1981. - 368 с.

11. Сборник задач по математике для втузов. Специальные курсы/ Под ред. А.В. Ефимова. - М.: Наука, 1984.

Контрольная работа № 1. Элементы линейной и векторной алгебры

Аналитическая геометрия

Литература: [1], §1-5, 7-13, гл. III, §1-8; [4], т.2, гл. XXI; [5], гл. II, VII, X, XI; [7], гл. I, §1,3, гл. V.

Основные теоретические сведения

1. Матрицей A=[a_ij ] размера m´n называется множество чисел, расположенных в виде таблицы из m строк и n столбцов:

.

Матрица размера n´n называется квадратной матрицей n –го порядка. Элементы a₁₁ , a₂₂ , a₃₃ , . . . , a_nn образуют главную диагональ матрицы.

Квадратная матрица E с элементами называется единичной матрицей n –го порядка.

Две матрицы A и B считаются равными, если они одного размера и их соответствующие элементы равны, т.е. (1)

Суммой матриц A и B одинакового размера m´n называется матрица

C = A + B размера m´n с элементами c_ij = a_ij + b_ij . (2)

Произведением числа a на матрицу B называется матрица С = aB с элементами

c_ij = ab_ij (3)

Произведением матрицы A=[a_ik ] размера m´p на матрицу B=[b_kj ] размера p´n называется матрица С = AB = [c_ij ] размера m´n с элементами

(4)

(Сумма произведений элементов i –й строки матрицы A на соответствующие элементы j –го столбца матрицы B).

2. Определитель (детерминант) квадратной матрицы n –го порядка – это число D, которое ставится в соответствие матрице и может быть вычислено по её элементам. Обозначается:

.

Минором M_ij элемента a_ij определителя n –го порядка называется определитель (n-1) –го порядка, полученный из исходного вычеркиванием i –й строки и j –го столбца.

Алгебраическое дополнение A_ij определяется формулой

A_ij = (-1)^{i + j} M_ij (5)

Рекуррентная формула для вычисления определителя n –го порядка имеет вид:

(6)

(разложение определителя по элементам i –й строки, ), или

(7)

(разложение определителя по элементам j –го столбца,

).

Определитель первого порядка:

.

Определитель второго порядка:

.

Определитель третьего порядка:

Свойства определителей выучить самостоятельно.

Обратить внимание на следующее свойство:

(8)

Матрица A^-1 называется обратной для квадратной матрицы , если

A^-1 A = A * A^-1 = E. (9)

Элементы обратной матрицы вычисляются по формулам:

(10)

где A_ij – алгебраическое дополнение элемента a_ij матрицы A, a.

Рассмотрим прямоугольную матрицу A размера m´n. Выделим в матрице At произвольных строк и t столбцов, где .

Определитель порядка t, составленный из элементов, стоящих на пересечении выделенных t строк и t столбцов называется определителем, порожденным матрицей A.

Рангом матрицы A называется натуральное число r = RgA равное наибольшему из порядков определителей, отличных от нуля, среди порожденных данной матрицей.

Если RgA = r, то это означает, что:

1) существует хотя бы один определитель порядка r отличный от нуля;

2) все определители порядка больше r (r+1, r+2, …) равны нули.

Ранг матрицы можно найти вычислением порожденных ею определителей или приведением матрицы системы путем эквивалентных преобразований к трапециидальной форме, на главной диагонали которой стоят единицы, а все элементы под ней равны нулю:

Здесь число r единиц, стоящих на главной диагонали равно рангу матрицы.

3. Система m уравнений с n неизвестными x₁ ,x₂ ,…,x_n имеет вид:

(11)

где a_ij – коэффициенты системы, b_i – свободные члены.

Систему (11) можно записать в матричной форме:

AX = B, где

(12)

Если число уравнений равно числу неизвестных (m = n) и определитель системы отличен от нуля , то решение системы в матричной форме имеет вид:

X = A^-1 B (13)

В этом случае решение системы можно найти по формулам Крамера:

(14)

где - определители n –го порядка, получаемые из определителя заменой i –го столбца столбцом свободных членов.

Рассмотрим систему линейных уравнений (12). Введем расширенную матрицу системы A_р – получаемую из матрицы A присоединением столбца свободных членов:

(15)

Исследование системы линейных уравнений осуществляется с помощью теоремы Кронекера-Капелли: для того, чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг её матрицы A был равен рангу расширенной матрицы A_р , т.е. RgA = RgA_р = r. При этом:

1) если r = n (ранг равен числу неизвестных), то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера;

2) если r < n, то система имеет бесконечное множество решений. Свободные (n – r) неизвестных выбираются произвольно, а главные r неизвестных определяются единственным образом через свободные неизвестные.

Если b₁ = b₂ = … = b_m = 0, т.е. B = 0, то система (12) называется однородной и принимает вид AX = 0. Однородная система уравнений всегда совместна.

Для решения систем линейных уравнений с большим числом неизвестных и уравнений выгодно использовать метод Гаусса, который заключается в последовательном исключении неизвестных. Существует много вариантов этого метода. Рассмотрим схему с выбором главного элемента. Пусть исходная система имеет вид:

(16)

Положим, что , и разделим обе части первого уравнения системы на a₁₁

(17)

здесь

С помощью уравнения (17) исключим во всех уравнениях системы (16), начиная со второго, слагаемые, содержащие x₁ . Для этого будем умножать обе части уравнения (17) последовательно на a₂₁ , a₃₁ , …, a_{n 1} и вычитать соответственно из второго, третьего и т.д. из n –го уравнения системы (16). В результате получаем систему, порядок которой на единицу меньше порядка исходной системы:

Здесь

С полученной системой проделываем аналогичные преобразования. После n –кратного повторения этого преобразования можно записать систему с треугольной матрицей:

(18)

которая эквивалентна системе (16) и легко решается. В самом деле, из последнего уравнения находим x_n ; подставляя x_n в предпоследнее уравнение, находим x_{n -1} , затем x_{n -2} и т.д. вплоть до x₁ , которое находится из первого уравнения системы, когда уже известны x_n , x_{n -1} , x_{n -2} ,…, x₁ .

Таким образом, вычисления по методу Гаусса распадаются на два этапа: на первом этапе, называемом прямым ходом метода, исходная система преобразуется к треугольному виду (18). На втором этапе, называемом обратным ходом, решается треугольная система (18), эквивалентная исходной системе.

Коэффициенты называются ведущими элементами метода Гаусса. На каждом шаге предполагалось, что Если окажется, что это не так, то в качестве ведущего элемента можно использовать любой другой ненулевой коэффициент системы.

4. Вектор-столбец

называется собственным вектором квадратной матрицы An-го порядка, соответствующим собственному значению l, если он удовлетворяет матричному уравнению: .

Здесь E – единичная матрица n-го порядка, a0 – нулевой вектор-столбец. При условии, что вектор , получаем характеристическое уравнение для определения собственных значений

: (19)

Координаты собственного вектора X_i , соответствующие собственному значению , является решением системы уравнений:

(20)

Собственный вектор определяется с точностью до постоянного множителя.

5. Скалярным произведением двух векторов

и называется число, определяемое равенствами:

(21)

где – угол между векторами и .

Из (21) для скалярного квадрата имеем:

или (22)

С помощью скалярного произведения можно найти:

- проекцию вектора

(23)

угол между двумя векторами

(24)

- работу силы на перемещении

(25)

Условие перпендикулярности ненулевых векторов имеет вид:

или (26)

а условие их коллинеарности:

или (27)

6. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который:

а) имеет длину , где – угол между векторами и ;

б) перпендикулярен к каждому из векторов и ;

в) направлен так, что вектора , , образуют правую тройку (рис. 1).

(28)

Рисунок 1

Геометрически равен площади параллелограмма OADB построенного на векторах и :

S =.(29)

Площадь треугольника OAB:

SD =S =

7. Смешанное произведение трех векторов

есть число равное:

(30)

Объем параллелепипеда, построенного на векторах , и , равен модулю смешанного произведения

(31)

Условие компланарности трех ненулевых векторов , , имеет вид:

(32)

8. Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид:

(33)

где - нормальный вектор прямой, т.е. вектор перпендикулярен прямой, а коэффициент С пропорционален расстоянию pот начала координат до прямой: С ∼p.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид:

(34)

Здесь угловой коэффициент , где угол между осью Ox и прямой; b – начальная ордината, т.е. ордината точки пересечения прямой с осью Oy.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку , имеет вид:

, (35)

Или

. (36)

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и , имеет вид:

(37)

Угол между двумя прямыми и определяется формулой:

(38)

Расстояние от точки до прямой находится по формуле

(39)

9. Общее уравнение плоскости P имеет вид:

(40)

где - нормальный вектор плоскости, т.е. вектор перпендикулярный плоскости, коэффициент в пропорционален расстоянию p/0от начала координат до плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через данною точку перпендикулярно данному вектору имеет вид:

(41)

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , и имеет вид:

(42)

Угол между двумя плоскостями, имеющими нормальные векторы и , определяется как угол между и ; косинус этого угла находится по формуле:

(43)

Расстояние от точки до плоскости определяется формулой:

(44)

10. Прямая в пространстве lопределяется как линия пересечения плоскостей P₁ и P₂ :

(45)

Уравнения (45) называется общими уравнениями прямой в пространстве.

Канонические уравнения прямой в пространстве имеют вид:

(46)

Здесь - точка, через которую проходит прямая, а вектор называется направляющим вектором прямой.

Чтобы привести общие уравнения прямой к каноническому виду, надо координаты точки M₁ найти из системы (45), полагая, например, Z₁ =0, а направляющий вектор:

(47)

где и нормальные векторы плоскостей P₁ и P₂ .

Уравнения прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки и имеют вид:

(48)

Угол между двумя прямыми, имеющими направляющие векторы и , определяется как угол между и , косинус которого находится по формуле:

. (49)

Пример 1 . Доказать совместность системы и решить её тремя способами: по формулам Крамера, методом Гаусса и средствами матричного исчисления

Решение . Вычислим определитель системы:

Так как , то система имеет единственное решение, которое найдем по формулам Крамера (14). Для этого найдем

, ,

Подставляя найденные значения определителей в формулы (14), получим искомое решение системы:

Решим систему методом Гаусса. Выпишем расширенную матрицу системы:

.

Поменяем местами 1-ю и 3-ю строки:

.

Умножим 1-ю строку на –1 и –2 и сложим, соответственно, со 2-й и 3-й строкой:

.

Умножим 3-ю строку на –1 и поменяем местами со 2-й строкой:

.

Умножим элементы 2-й строки на 3 и сложим с соответствующими элементами 3-й строки:

.

Разделим элементы 3-й строки на 26:

.

Система примет вид:

Отсюда все неизвестные определяются последовательно без труда:

Решим систему матричным методом. Здесь

, , .

Так как определитель матрицы отличен от нуля , то матрица А имеет обратную. Для нахождения обратной матрицы А^-1 вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы А:

Согласно формуле (10), матрица А^-1 , обратная к А, имеет вид

.

Проверим правильность вычисления А^-1 исходя из определения обратной матрицы (9) и используя формулу (4):

.

Матричное решение системы в силу формулы (13) имеет вид:

,

откуда следует, что .

Пример 2 . Исследовать систему уравнений и найти её общее решение

Решение. Однородная система имеет нетривиальное решение, если ранг матрицы системы

меньше числа неизвестных. Приведем матрицу А к трапециидальному виду путем элементарных преобразований. Умножим 1-ю строку на 4 и на 8 и вычтем, соответственно из 2-й и 3-й строки, получим:

.

Вычтем из 3-й строки 2-ю, а затем разделим 2-ю строку на 5:

.

Таким образом, ранг матрицы А равен 2 и меньше числа неизвестных . Примем за основные переменные x₁ и x₂ ; свободная переменная – x₃ . Тогда данная система сводится к системе уравнений

решение которой имеет вид

Придавая свободной переменной x₃ произвольные значения x₃ =5t, где, получим общее решение системы в виде

Пример 3 . По координатам вершин пирамиды A(3;-2;2), B(1;-3;1), C(2;0;4), D(6;-4;6) средствами векторной алгебры найти:

1) длины ребер ABи AC;

2) угол между ребрами ABи AC;

3) площадь грани ABC;

4) проекцию вектора на ;

5) объем пирамиды ABCD;

6) уравнения прямых AB и AC;

7)уравнения плоскостей ABCи ABD;

8) угол между плоскостями ABC и ABD.

Решение .

1) Найдем векторы и :

.

Длины этих векторов, т.е. длины ребер ABи AC, таковы:

2) Скалярное произведение векторов и найдем по формуле (21):

,

а косинус угла между ними – по формуле (24):

.

Отсюда следует, что – тупой угол, равный рад с точностью до 0.01. Это и есть искомый угол между ребрами AB и AC.

3) Площадь грани ABC равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и , т.е. половина модуля векторного произведения этих векторов (см. формулу 29):

.

Здесь определитель вычисляется с помощью разложения по первой строке. Следовательно,

(кв. ед.)

4) Проекцию вектора на найдем по формуле (23):

.

5) Объем пирамиды равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного на векторах , , . Вектор . Используя формулу (31), получим:

(куб. ед.).

6) Уравнения прямых AB и ACнайдем как уравнения прямых проходящих через две данные точки, по формуле (48):

(AB)

(AC)

7) Уравнения плоскостей ABCи ABD получим, используя формулу (42):

т.е.

т.е.

По уравнениям плоскостей определим их нормальные векторы:

и .

8) Угол между плоскостями ABC и ABD найдем по формуле (43):

,

откуда рад.

Пример 4 . Прямая l задана в пространстве общими уравнениями

Найти её канонические и параметрические уравнения. Составить уравнения прямой l₁ , проходящей через точку М₁ (1,1,1) параллельно прямой l и вычислить расстояние между ними. Найти проекцию точки М₁ на прямую l.

Решение . По уравнениям плоскостей, задающих прямую l, определяем их нормальные векторы: и . Направляющий вектор

прямой lнайдем по формуле (47):

.

Координаты точки М₁ , через которую проходит прямая l, найдем, полагая , из системы

т.е. координаты точки М₁ (0;-2;0). Используя формулу (46), запишем уравнения прямой l:

Вводя параметр t, перейдем к параметрическим уравнениям прямой l:

За направляющий вектор прямой l₁ , параллельной прямой lпримем вектор . Тогда канонические уравнения прямой l₁ , проходящей через точку М₁ запишутся в виде:

Для нахождения проекции М₂ точки М₁ на прямую l составим уравнение плоскости, проходящей через точку М₁ и перпендикулярной l. За нормальный вектор плоскости примем направляющий вектор , получим:

Найдем координаты точки М₂ из системы:

Подставляя первые три уравнения в четвертое, найдем , откуда

т.е. М₂ (0;-1;2).

Расстояние между прямыми l₁ и l₂ равно длине вектора ,

Пример 5 . Определить собственные значения и собственные векторы матрицы:

.

Решение . Характеристическое уравнение для данной матрицы имеет вид (19)

,

откуда следует, что матрица A имеет два собственных значения и . Собственный вектор , соответствующий , определяется из системы уравнений вида (20)

или

которая сводится к одному уравнению . Полагая , получаем решение в виде ,. Пронормируем это решение, т.е. найдем такое значение , при котором длина собственного вектора равна единице:

.

Следовательно, первый собственный вектор есть

.

Аналогично найдем второй собственный вектор :

или

Таким образом, матрица имеет два различных собственных значения и и два собственных вектора.

Контрольная работа № 2. Введение в анализ. Комплексные числа

Литература: [2], гл. II, III; [4], т. 1, гл. I, II, VII, §1-5; [5], гл. I-III, VIII, §1; [8], гл. I, §1-3, гл. 3, §13.

Основные теоретические сведения

1. Прямоугольные координаты (x, y) точки M и её полярные координаты связаны отношениями:

(1)

где - полярный радиус, а - полярный угол точки M (Рисунок 2).

Рисунок 2

2. Определение конечного предела функции в точке: число A называется пределом функции при , если для любого найдется такое, что при . Обозначение: или .

Функция (F(x)) называется бесконечно малой (бесконечно большой) при , если ().

Две функции f(x) и (x), одновременно стремящихся к нулю или бесконечности при , называются эквивалентными, если .

Обозначение: f(x) ~ (x).

Предел отношения бесконечно малых (бесконечно больших) функций не измениться, если каждую из них заменить эквивалентной её функцией, т.е.

, (2)

если f(x) ~ f₁ (x), (x) ~ ₁ (x).

3. К основным элементарным функциям относятся:

1) степенная функция ;

2) показательная функция ;

3) логарифмическая функция ;

4)тригонометрические функции: ;

5) обратные тригонометрические функции:

.

Предел элементарной функции в точке её определения равен частному значению функции в этой точке: .

Нарушение ограничений, накладываемых на функции при вычислении их пределов, приводит к неопределенностям вида . Элементарными приемами раскрытия неопределенностей являются:

1) сокращение на множитель, создающий неопределенность;

2) деление числителя и знаменателя на старшую степень аргумента (для отношения многочленов при );

3) применение эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших;

4) использование двух замечательных пределов:

; (3)

Отметим также, что

, если ;

, если ;

, если , ;

, если , .

4. Функция f(x)называется непрерывной в точке , если:

1) частное значение функции в т очке равно f(а);

2) существуют конечные односторонние пределы функции

, ; (4)

3) односторонние пределы равны

; (5)

4) предельное значение функции в точке равно её частному значению f(a):

. (6)

Обозначение: .

Точка называется точкой устранимого разрыва, если [нарушается условие (6)].

Точка называется точкой разрыва первого рода, если оба односторонних предела конечны, но [нарушается условие (5)].

Точка называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности [нарушается условие (4)].

5. Выражение вида называется комплексным числом (в алгебраической и тригонометрической форме соответственно). Здесь , - действительная часть, a - мнимая часть комплексного числа z; и - модуль и аргумент числа z:

, . (7)

Комплексные числа изображаются точками на комплексной плоскости (Рисунок 3).

Рисунок 3

Извлечение корня n – й степени (n – натуральное число) из числа

производится по формуле

, (8)

где - арифметический корень модуля z, а .

Пример 1 . Найти полярные координаты точки (Рисунок 4).

Рисунок 4

Решение . Используя формулы (1), находим полярный радиус и полярный угол точки M: , , , так как точка M лежит в IV четверти.

Пример 2 . Построить по точкам график функции в полярной системе координат. Найти уравнение полученной кривой в прямоугольной системе координат, начало которой совмещено с полюсом, а положительная полуось Ox – с полярной осью. Определить вид кривой.

Решение . Так как полярный радиус не отрицателен, т.е. , то , откуда ; значит вся кривая расположена в верхней полуплоскости. Составим вспомогательную таблицу:

Номера точек	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	0	/8	/4	3/8	/2	5/8	3/4	7/8
	0	0.38	0.71	0.92	1	0.92	0.71	0.38	0
	0	0.76	1.24	1.84	2	1.84	1.42	0.76	0

Для построения кривой на луче, проведенном из полюса под углом , откладываем соответствующее значение полярного радиуса и соединяем полученные точки (Рисунок 5).

Рисунок 5

Найдем уравнение кривой в прямоугольной системе координат. Для этого заменим и их выражениями через x и y по формулам (1):

, .

Окончательно имеем , т.е. уравнение выражает окружность с центром в точке (0; 1) и единичным радиусом.

Пример 3 . Найти .

Решение . Подставляя вместо x его предельное значение, равное 3, получаем в числителе бесконечно большую, а в знаменателе – бесконечно малую функцию:

, .

Поэтому .

Пример 4 . Найти .

Решение . Подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенности вида . Так как под знаком предела стоит отношение двух многочленов, то разделим числитель и знаменатель на старшую степень аргумента, т.е. на . В результате получим

,

поскольку при функции и являются бесконечно малыми.

Пример 5 . Найти .

Решение . Для раскрытия получающейся здесь неопределенности вида используем метод замены бесконечно малых эквивалентными. Так как при , , то на основании формулы (2) находим

.

Пример 6 . Найти .

Решение . Подстановка приводит к неопределенности . Сделаем замену переменных: , . Тогда

.

Пример 7 . Исследовать функцию

на непрерывность; найти точки разрыва функции и определить их тип. Построить схематический график функции.

Решение . Так как данная функция определена по всей числовой оси, то “подозрительными на разрыв” являются те точки, в которых изменяется аналитическое выражение функции, т.е. точки и . Вычислим односторонние пределы в этих точках.

Для точки имеем:

;

.

Односторонние пределы функции в точке существуют, но не равны между собой. Следовательно, эта точка является точкой разрыва первого рода.

Для точки получаем:

; .

Односторонние пределы функции при равны между собой и равны частному значению функции . Следовательно, исследуемая точка является точкой непрерывности.

График данной функции приведен на Рисунке 6.

Рисунок 6

Пример 8 . Изобразить на комплексной плоскости числа:

1) ;

2) .

Записать число в тригонометрической, а число - в алгебраической форме.

Решение .

1) Для числа имеем , . Откладывая по оси Ox? А по оси Oy, получаем точку комплексной плоскости, соответствующую числу (Рисунок 7). Модуль этого числа находим по формуле (7): . Аргумент определяем из равенства . Так как число находиться в левой полуплоскости, то его аргумент . Тригонометрическая форма числа имеет вид .

2) Модуль числа равен , а аргумент . Для его изображения на комплексной плоскости проводим из полюса луч под углом к полярной оси и откладываем на нем отрезок длиной . Полученная точка соответствует числу (Рисунок 7). Его действительная часть , а мнимая часть . Таким образом, алгебраическая форма числа имеет вид .

Рисунок 7

Пример 9 . Вычислить .

Решение . Модуль числа –8 равен 8, а аргумент равен . Используя формулу (8), получаем:

;

.

.

.

Контрольная работа № 3. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных

Литература: [2], гл. 4, 8; [4], т. I, гл. Ш-VI, VШ, IХ; [5], гл. IV, IX, ХП; [8], гл. I, § 4, гл. 4.

Производной первого порядка функции по аргументу называется предел

. (1)

Необходимо выучить и запомнить правила дифференцирования и производные основных элементарных функций.

1. Правила дифференцирования функций.

Пусть - постоянная и и - дифференцируемые функции. Тогда:

2. .

3. .

4. . (2)

5. , .

Если функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в точке , то сложная функция

имеет производную по

или . (3)

Таблица производных основных элементарных функций.

1°. , - дифференцируемая функция,

2°. , ; ; ,

3°. _{, ,} ; ; ,

5°. , (4)

6°. ,

7°. ,

8°. ,

9°. .

, (5)

если предел справа существует.

3. Если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство или , то точка называется точкой экстремума функции (соответственно точкой максимума или минимума). Необходимое условие экстремума: если - экстремальная точка функции , то первая производная либо равна нулю или бесконечности, либо не существует. Достаточное условие экстремума: является экстремальной точкой функции , если ее первая производная меняет знак при переходе через точку ; с плюса на минус - при максимуме, с минуса на плюс - при минимуме.

4. Точка называется точкой перегиба кривой , если при переходе через точку меняется направление выпуклости. Необходимое условие точки перегиба: если - точка перегиба кривой , то вторая производная либо равна нулю или бесконечности, либо не существует. Достаточное условие точки перегиба: является точкой перегиба кривой , если при переходе через точку вторая производная меняет знак.

5. Прямая называется наклонной асимптотой кривой , если расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при . При этом

, (6)

При имеем горизонтальную асимптоту: .

Если

или (7)

то прямая называется вертикальной асимптотой.

6. Общая схема исследования функции и построения её графика:

I. Элементарное исследование:

1. Найти область определения функции;

2. Исследовать функцию на симметричность и периодичность;

3. Вычислить предельные значения функции в её граничных точках;

4. Выяснить существование асимптот;

5. Определить, если это не вызовет особых затруднений, точки пересечения графика функции и координатными осями;

6. Сделать эскиз графика функции, используя полученные результаты.

II. Исследование графика функции по первой производной:

1. Найти решение уравнения и ;

2. Точки, «подозрительные» на экстремум, исследовать с помощью достаточного условия экстремума, определить вид экстремума;

3. Вычислить значения функции в точках экстремума;

4. Найти интервалы монотонности функции;

5. Нанести на эскиз графика экстремальные точки;

6. Уточнить вид графика функции согласно полученным результатам.

III. Исследование графика функции по второй производной:

1. Найти решение уравнения и ;

2. Точки, «подозрительные» на перегиб, исследовать с помощью достаточного условия;

3. Вычислить значения функции в точках перегиба;

4. Найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции;

5. Нанести на эскиз графика точки перегиба;

6. Окончательно построить график функции.

Если исследование проведено без ошибок, то результаты всех этапов должны согласовываться друг с другом. Если же согласование отсутствует, необходимо проверить правильность результатов отдельных этапов и исправить ошибки.

7. Частной производной первого порядка функции нескольких переменных по аргументу называется предел

(8)

(приращение получает только один аргумент ). Обозначение: , .

Отыскание частной производной сводится к дифференцированию функции одной переменой , полученной при фиксировании аргументов и : , .

8. Скалярным полем называется скалярная функция точки вместе с областью её определения.

Уравнение

(или ) (9)

определяет семейство поверхностей (или линий) уровня, на которых скалярное поле принимает одно в то же значение .

Скалярное поле характеризуется градиентом

(10)

в производной по направлению равной скалярному произведению и единичного вектора направления :

. (11)

Пример 1 . Составить уравнение касательной и нормали к кривой в точке, абсцисса которой .

Решение . Найдем ординату точки касания: . Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке :

.

Подставляя значения , и в уравнения касательной

и нормали ,

получаем:

, (касательная);

, (нормаль).

Пример 2 . Используя правило Лопиталя вычислить предел функции:

1) ;

2)

Решение. Подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенности вида . Раскроем ее с помощью правила Лопиталя (5):

;

Однократное применение правила Лопиталя не приводит к раскрытию неопределенности (по-прежнему получаем ), поэтому применим его ещё раз:

;

Таким образом, в результате двукратного применения правила Лопиталя находим, что искомый предел равен 5.

2) Убедившись, что имеет место неопределенность вида , применим правило Лопиталя:

Пример 3 . Исследовать на экстремум функцию

.

Решение. Находим первую производную:

.

Из уравнений и получаем точки, «подозрительные» на экстремум: , , . Исследуем их, определяя знак первой производной слева и справа от каждой точки. Для наглядности результаты представим в виде таблицы изменения знака :

	-		+		-		-
	убыв.	возр.	не опред.	убыв.		убыв.

В первой строке указаны интервалы, на которые область определения функции разбивается точками , , и сами эти точки. Во второй строке указаны знаки производной в интервалах монотонности. В третьей строке приведено заключение о поведении функции.

Исследуемая функция, как следует из таблицы, имеет минимум в точке

: .

Точки и не являются точками экстремума, так как в первой точке функция не определена, а в окрестности второй точки первая производная сохраняет знак.

Пример 4 . Найти асимптоты графика функции

.

Решение . Точка является точкой разрыва функции. Так как

,

то прямая служит вертикальной асимптотой

графика функции [см. формулы (7)].

Ищем наклонные асимптоты , используя формулы (6):

,

.

Таким образом, уравнение наклонной асимптоты имеет вид

.

Пример 5 . Построить график функции , используя общую схему исследования функции.

Решение .

Область определения функции: , . Функция не является симметричной и периодической. Находим предельные значения функции:

; ; .

График функции имеет одну вертикальную асимптоту и одну наклонную асимптоту (см. пример 4). Он пересекает координатные оси в точке .

Функция имеет один минимум при (см пример 3).

Вторая производная обращается в бесконечность при и равна нулю в точке , которая является единственной точкой перегиба (см. таблицу):

	+		+		-
	È	не опр.	È	точка перегиба	Ç

Учитывая полученные результаты, строим график функции (рис. 8)

:

Рисунок 8

Пример 6. Найти первую производную функции y=f(x) , заданной параметрически: .

Решение. Дифференцируем и по параметру : ,

. Искомая производная от y по x равна отношению производных от и по :

.

Пример 7 . Найти частные производные , , функции

.

Решение . Считая функцию функцией только одной переменной , а переменные и рассматривая как постоянные [см. формулу (8)], находим. Аналогично, считая функцией только , а затем только , получаем , .

Пример 8 . Найти поверхности уровня скалярного поля . Вычислить производную поля в точке по направлению вектора , где .

Решение. Поверхностями уровня данного поля являются концентрические сферы с центром в начале координат [см. формулу (9)]: . Градиент вычисляется по формуле (10): .

Найдем единичный вектор направления :

а затем по формуле (7) производную скалярного поля по направлению вектора в точке :

.

Так как , то данное скалярное поле убывает в направлении вектора .

Контрольная работа № 4. Интегральное исчисление функции одной и нескольких переменных

Литература: [2], гл. V, VII; [4], т. 1, гл. X-XII; [5], гл. XIII, XIV; [8], гл. II.

Основные теоретические сведения

1. Неопределенным интегралом от функции называется выражение вида , если . Функция называется первообразной для заданной функции .

Таблица неопределенных интегралов

- дифференцируемая функция

При интегрировании наиболее часто используются следующие методы.

1) Если

, то

(1)

где a и b – некоторые постоянные.

2) Подведение под знак дифференциала:

(2)

так как

3) Формула интегрирования по частям:

(3)

Обычно выражение dv выбирается так, чтобы его интегрирование не вызывало особых затруднений. За u, как правило, принимается такая функция, дифференцирование которой приводит к её упрощению. К классам функций, интегрируемых по частям, относятся, в частности, функции вида где - многочлен от x.

4) Интегрирование рациональных дробей, т.е. отношений двух многочленов и (соответственно k-ой и n-ой степени): , сводится к разложению подынтегральной функции на элементарные, всегда интегрируемые дроби вида:

(4)

где l и m – целые положительные числа, трехчлен не имеет действительных корней. При этом в случае неправильной дроби должна быть предварительно выделена целая часть.

5) Интегрирование методом замены переменной (способ подстановки) является одним из эффективных приемов интегрирования. Его сущность состоит в переходе от переменной x к новой переменной t: Наиболее целесообразная для этого интеграла замена переменной, т.е. выбор функции не всегда очевидна. Однако для некоторых часто встречающихся классов функций можно указать такие стандартные подстановки:

где R – символ рациональной функции.

2. Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла имеет вид:

(5)

если и первообразная непрерывна на отрезке .

Определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной прямыми и частью графика функции , взятой со знаком плюс, если и со знаком минус, если

3. Если интервал интегрирования не ограничен (например, ) или функция не ограничена в окрестности одного из пределов интегрирования (например, при ), то по определению полагают:

(6)

и (7)

Интегралы в левых частях равенств (6) и (7) называются несобственными интегралами. Несобственный интеграл называется сходящимся, если существует конечный предел в правой части равенств (6) и (7).

Если же предел не существует, то несобственный интеграл называется расходящимся.

4. Пусть криволинейная трапеция, ограниченная прямыми и частью графика кривой , вращается вокруг оси Ox. Тогда объем полученного при этом тела вращения вычисляется по формуле:

(8)

Пример 1 . Найти .

Решение . Так как то, используя формулы (1), получим:

Проверка:

Пример 2 . Найти .

Решение .

Так как то по формуле (2) находим:

Пример 3 . Найти .

Решение . Применим метод интегрирования по частям. Положим тогда используя формулу (3), имеем:

Пример 4 . Найти .

Решение . Подынтегральная дробь является правильной и разлагается на элементарные дроби вида (4):

Освобождаясь от знаменателей в обеих частях этого равенства и приравнивая числители, получаем тождество для вычисления неопределенных коэффициентов A, B и С:

Составим систему трех уравнений с тремя неизвестными. Одно уравнение получим, полагая (корень знаменателя подынтегральной функции). Два других получим, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих частях тождества, например при и :

Решение этой системы дает: Таким образом,

Пример 5 . Вычислить определенный интеграл .

Решение . Применим метод замены переменной; положим откуда Найдем пределы интегрирования по переменной t: при имеем , а при имеем Переходя в сходном интеграле к новой переменной t и применяя формулу Ньютона-Лейбница (5), получаем:

Пример 6 . Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:

.

Решение . 1) Первый интеграл является несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования. Согласно определению (6), имеем:

;

Следовательно, данный интеграл расходится.

2) Второй интеграл является несобственным интегралом от неограниченной функции; терпит бесконечный разрыв в нижнем пределе при Согласно определению (7), получаем:

т.е. этот несобственный интеграл сходится.

Пример 7 . Вычислить плоской фигуры, ограниченной кривыми (Рисунок 9).

Рисунок 9

Решение .

Пример 5 . Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox кривой

Решение . Объем полученного тела вращения найдем по формуле (8).

Задачи

Контрольная работа №1

Задача 1

Доказать совместность системы и решить её тремя способами: по формулам Крамера; методом Гаусса и средствами матричного исчисления.

Номер вар.	Система линейных уравнений	Номер вар.	Система линейных уравнений
1		11
2		12
3		13
4		14
5		15
6		16
7		17
8		18
9		19
10		20

Задача 2

Исследовать и найти общее решение системы линейных однородных уравнений.

Номер вар.	Система линейных уравнений	Номер вар.	Система линейных уравнений
1		11
2		12
3		13
4		14
5		15
6		16
7		17
8		18
9		19
10		20

Задача 3

Даны координаты вершин треугольника АВС. Составить уравнения сторон треугольника, медианы, высоты и биссектрисы угла А, а также прямых, проходящих через вершины треугольника и параллельных его сторонам. Найти длину высоты, медианы и биссектрисы.

Задача 4

По координатам вершин пирамиды АВСД средствами векторной алгебры найти:

1) длины ребер АВ и АС;

2) угол между ребрами АВ и АС;

3) площадь грани АВС;

4) проекцию вектора АВ и АС;

5) объем пирамиды.

Задача 5

Составить уравнение плоскости Р, проходящей через точку А перпендикулярно вектору . Написать ее общее уравнение, а также нормальное уравнение плоскости в отрезках. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А, В, С. Найти угол между плоскостями Р и . Найти расстояние от точки Д до плоскости Р.

Задача 6

Прямая l задана в пространстве общими уравнениями. Написать ее канонические и параметрические уравнения. Составить уравнение прямой , проходящей через точку М параллельно прямой lи вычислить расстояние между ними. Найти проекцию точки М на прямую l и точку пересечения прямой l и плоскости Р.

Контрольная работа №2

Задача 7

Построить графики функций:

Номер вар.	Функции
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

Задача 8

Вычислить пределы:

Задача 9

Исследовать на непрерывность функции и построить их графики

Номер вар.	Функции
1	1) 2) 3)
2	1) 2) 3)
3	1) 2) 3)
4	1) 2) 3)
5	1) 2) 3)
6	1) 2) 3)
7	1) 2) 3)
8	1) 2) 3)
9	1) 2) 3)
10	1) 2) 3)
11	1) 2) 3)
12	1) 2) 3)
13	1) 2) 3)
14	1) 2) 3)
15	1) 2) 3)
16	1) 2) 3)
17	1) 2) 3)
18	1) 2) 3)
19	1) 2) 3)
20	1) 2) 3)

Задача 10

Решить уравнение и изобразить его корни на комплексной плоскости.

Проверить, что

Номер варианта
1	9	15	11	5
2	4	-12	13	-5
3	9	21	17	5
4	4	12	13	5
5	2	-4	3	-1
6	9	-21	17	-5
7	2	4	3	1
8	4	-8	9	-5
9	9	-15	11	-5
10	4	8	9	5
11	2	3	4	3
12	3	-4	5	-4
13	4	5	6	5
14	5	-6	7	-6
15	6	7	8	7
16	7	-9	10	-8
17	8	5	7	10
18	9	-6	5	-8
19	6	5	3	4
20	5	-7	4	-2

Контрольная работа №3

Задача 11

Найти производные данных функций, используя правила вычисления производных.

Номер вар.	Функции
1	а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;
2	а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;
3	а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;
4	а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;
5	а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;
6	а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;
7	а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;
8	а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;
9	а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;
10	а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
11	а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;
12	а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;
13	а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;
14	а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;
15	а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;
16	а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;
17	а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;
18	а) ; б) ; ; г) ; д) ;
19	а) ; б) ;в) ; г) ;д) ;
20	а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

Задача 12

Найти пределы функций с помощью правила Лопиталя.

Номер вар.	Пределы
1	а); б) ; в) ; г) .
2	а); б) ; в) ; г) .
3	а); б) ; в) ; г) .
4	а); б) ; в) ; г) .
5	а); б) ; в) ; г) .
6	а); б) ; в) ; г) .
7	а); б) ; в) ; г) .
8	а); б) ; в) ; г) .
9	а) ; б) ; в) ; г) .
10	а); б) ; в) ; г) .
11	а) ; б) ; в) ; г) .
12	а) ; б) ; в) ; г) .
13	а) ;б) ; в) ; г) .
14	а) ; б) ; в) ; г) .
15	а) ; б) ; в) ; г) .
16	а); б) ; в) ; г) .
17	а) ; б) ; в) ; г) .
18	а) ; б) ; в) ; г) .
19	а) ; б) ; в) ; г) .
20	а) ; б) ; в) ; г) .

Задача 13

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Номер вар.	Функция, отрезок
1	.
2	.
3	.
4	.
5	.
6	.
7	.
8	.
9	.
10	.
11	.
12	.
13	.
14	.
15	.
16	.
17	.
18	.
19	.
20

Задача 14

Провести полное исследование и построить графики функций.

Номер вар.	Функции
1	а) ; б) .
2	а) ; б) .
3	а) ; б) .
4	а) ; б) .
5	а) ; б) .
6	а) ; б) .
7	а) ; б) .
8	а) ; б) .
9	а) ; б) .
10	а) ; б) .
11	а) ; б) .
12	а) ; б) .
13	а) ; б) .
14	а) ; б) .
15	а) ; б) .
16	а) ; б) .
17	а) ; б) .
18	а) ; б) .
19	а) ; б) .
20	а) ; б) .

Задача 15

Дано скалярное поле .

1) Составить уравнение линии u = C и построить её график

2) Вычислить с помощью градиента производную скалярного поля в точке A по направлению вектора .

3) Найти наибольшую скорость изменения скалярного поля в точке A.

Номер вар.		С	Координаты т.А	Координаты т.В
1		-4
2		2
3		-1
4		7
5		4
6		2
7		-1
8		-4
9		4
10		7
11		-12
12		-3
13		-4
14		4
15		-9
16		4
17		-9
18		5
19		-1
20		-8

Контрольная работа №4

Задача 16

Найти неопределенные интегралы.

Номер вар.	Интегралы
1	а); б); в); г).
2	а); б); в); г).
3	а); б); в); г).
4	а); б); в); г).
5	а); б); в); г).
6	а); б); в); г).
7	а); б); в); г).
8	а); б); в); г).
9	а); б); в); г).
10	а); б); в); г).
11	а); б); в); г).
12	а); б); в); г).
13	а); б); в); г).
14	а); б); в); г).
15	а); б); в); г).
16	а); б); в); г).
17	а); б); в); г).
18	а); б); в); г).
19	а); б); в); г).
20	а); б); в); г).

Задача 17

Найти определенные интегралы.

Номер вар.	Интегралы
1	а) б)в) г)
2	а) б)в) г)
3	а) б)в) г)
4	а) б)в) г)
5	а) б)в) г)
6	а) б)в) г)
7	а) б)в) г)
8	а) б)в) г)
9	а) б)в) г)
10	а) б)в) г)
11	а) б)в) г)
12	а) б)в) г)
13	а) б)в) г)
14	а) б)в) г)
15	а) б)в) г)
16	а) б)в) г)
17	а) б)в) г)
18	а) б)в) г)
19	а) б)в) г)
20	а) б)в) г)

Задача 1 8

Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать чертеж области.

Номер вар.	Уравнения линий
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

Задача 19

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями, по известным поперечным сечениям.

Номер вар.	Поверхности
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

Задача 20

Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ. Сделать чертеж

Номер вар.	Поверхности
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20