Шпаргалка: Тригонометрия
Название: Тригонометрия Раздел: Рефераты по математике Тип: шпаргалка |
Действительные числа: Теорема: R - несчётное множество. Док-во: метод от противного. Несчётность (0;1) X1 =0,n11 n12 n13 …n1k … m1 Î{0,1,…,9}\{9,n11 } X2 =0,n21 n22 n23 …n2k … m2 Î{0,1,…,9}\{9,n22 } ……………………… ……………………… Xk =0,nk1 nk2 nk3 …nkk … mk Î{0,1,…,9}\{9,nkk } a=0,m1 m2 …mk … Þa¹x1 a¹x2 a¹x3 …… a¹xk aÏ(0;1) Противоречие. 0<a<1 Þ R - несчётное множество. Теорема: Q - Счётное множество. Док-ть: Q+ - счётное, т.к. Q=Q- U{0}UQ+ Док-во: Q+ - счётное множество, т.к. оно есть объединение счётного семейства счётных множеств. Q- - Тоже, что и Q+ только все элементы множества отрецательные . По теореме: Всякое множество счётных одмножеств явл. Само счётным ÞQ - сч. мн. Предел числовой последовательности: Пусть aÎR, e>0 {x:| x-a|<e} Последовательность {Xn } имеет конечный предел если сущ. такое число a?R, что кокого бы нибыло e>0 почти все члены этой последовательности e- окрестность точки a. Почти все - это значит за исключением быть может конечного числа. $n0 =n0 (e)ÎN: n>n0 Þ|xn -a|<e a=limxn , при n®¥ Свойства: 1. Единственность (Если предел есть, то только один) Док-во: Метод от противного. a=limxn , b=limxn , при n®¥, a>b, a-b=e>0 $n0 =n0 (e/3):|xn -a|<e/3 и|xn -b|<e/3 e=a-b=(a-xn )-(b-xn ) e=|(a-xn )-(b-xn )|£|(a-xn )|+|(b-xn )|£2e/3 e£2e/3 Противоречие. 2. Ограниченность (Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена) Дано: $limxn =a, при n®¥ - конечный предел Док-ть:$M>0:|xn |<M "n Док-во: limxn =a, при n®¥:"e>0 $n0 =n0 (e):a-e<xn <a+e, при n>n0 Пусть e=1, тогда при n>n0 (1) будет выполняться a-1<xn <a+1 или |xn -a|<1 Тогда |xn |<|(xn -a)+a|<|xn -a|+|a|<|a|+1 "n>n0 (1) P=max{|a1 |,|a2 |,…,|ano |} M=max{P,|a|+1}Þ|xn |<M "n 3. Предел п одпоследовательности (Если последовательность имеет предел а, то любая её подпоследовательность имеет тоже предел а) Свойства предельного перехода связанные с неравенствами : Теорема 1. Пусть $limxn =x, при n®¥ - конечный (1 последовательность) $limyn =y, при n®¥ - конечный (2 последовательность) Если x<y, то для почти всех n xn <yn Док-во: e=y-x>0 $n| =n| (e/3): |xn -x|<e/3 "n>n| $n|| =n|| (e/3): |yn -y|<e/3 "n>n| n0 =max{n| ,n|| }, n>n0 x-e/3<xn <x+e/3 î y-e/3<yn <y+e/3 ìÞ xn <x+e/3<y-e/3<yn Þ"n>n0 xn <yn Что и т. док-ть. Следствие: Если последовательность имеет предел отличный от нуля, то эта последовательность отделена от нуля. Эта последовательность при больших n сохраняет знак своего предела) x=limxn , x¹0 1) x>0 Предположим x>0 x/2>0Þx>x/2 limxn >x/2, при n®¥Из Т.1. следует, что $n0 :"n>n0 xn >x/2>0 Теорема 2. Предположим, что $limxn =x и$limyn =y, при n®¥ Если для почти всех n:xn £yn , то и x£y Док-во: Метод от противного. x>y по Т.1. Þxn >yn для почти всех n Противоречие. Теорема 3. Теорема о двустороннем ограничении. Пусь $limxn =limyn =a, при n®¥, и предположим, что xn £zn £yn "n, тогда 1) Сущ. limzn , при n®¥ 2) limzn =a, при n®¥ Док-во: $n| =n| (e):a-e£xn £a+e, "n>n| $n|| =n|| (e):a-e£yn £a+e, "n>n|| n0 =max{n| ,n|| } n>n0 Þ a-e£xn £zn £yn £a+eÞ a-e£zn £a+eÞ$limzn =a Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности: defû {xn }-б.м. :=limxn =0, при n®¥, т.е. "e>0 $n0 =n0 (e) n>n0 Þ|xn |<e defû {xn }-б.б. :=limxn =¥, при n®¥, т.е. "e>0 $n0 =n0 (e) n>n0 Þ|xn |>e Свойство 1. Произведение б.м. последов. на ограниченную даёт сного б.м. {xn }-б.м. {yn }-ограниченная {xn yn }-б.м. Док-во: $M>0:|yn |£M "n - значит ограничена. "e>0 $n0 =n0 (e/M):n>n0 Þ|xn |<e/M Þ Þ n>n0 |xn yn |=|xn ||yn |£e/M*M=eÞ {xn yn }-б.м. Свойство 2. Произведение б.б. на посл. Отделённую от нуля даст б.б. {xn }-б.б. и {yn }-отдел от нуля Док-во: {1/xn *1/yn }=б.м.*огран.=б.м. (по 1-ому свойству)Þ{xn yn }-б.б. Свойство 3. Сумма двух (любого кон. числа) б.м. послед. Даст снова б.м. {xn } и {yn }-б.м. Þ{xn +yn }-б.м. Док-во: "e$n| =n| (e/2):n>n| |xn |<e/2 $n|| =n|| (e/2):n>n|| |yn |<e/2 n0 =max{n| ,n|| } n>n0 Þ|xn +yn |£|xn |+|yn |<e/2+e/2=e Для того чтобы получить это св-во с любым числом последовательностей нужно применить метод мат. индукции. Свойство 4. Сумма б.б. одного знака снова б.б. того же знака Док-во: Очивиднл. Неопределённые интегралы. def / F(x) называется первообразной для f(x) на[a;b] если F ¢(x)=f(x) У непрерывной функции первообразная всегда есть. Теорема: Различные первообразные одной и той же функции отличаются на одно и тоже постоянное слагаемое. Док-во: F1 (x) и F2 (x) – первообразные для f(x) F(x)= F1 (x)- F2 (x) F ¢(x)= F1 ¢(x)- F1 ¢(x)=f(x)-f(x)=0 F(x)=const Def / Совокупность всех первообразных одной и той же функции называется её неопределённым интегралом. Св-ва линейности: Замена переменных в неопределённом интеграле или методом подстановки. Теорема: Пусть функция x= x(t): (a;b)®(a;b), xÎC1 (a;b), fÎC(a;b) 1) ½x=x(t) 2) Если x¢(t) сохраняет знак, тогда ½t=t(x) Док-во: 1) d/dxF(x(t))=F ¢(x(t))x¢(t)=f(x(t))x¢(t) 2) x(t) – строго монотонная Þ$обратная t=t(x) ½t=t(x) Интегрирование по частям. Рекуррентная формула.
y=a+bx2 y¢=2bx xy¢=2bx2 =2(y-a) U=1/yn dx=dV dU=(-ny¢/yn+1 )dx V=x In =x/yn +2nIn -2naIn+1 1) In+1 =(1/2na)(x/yn +(2n-1)In ), n¹0, a¹0 2) In =(1/(2n-1))(2naIn+1 -x/yn ), n¹1/2, a¹0 Поле комплексных чисел. (x;y)=(x;0)+(y;0)(0;1)=x+yi – алгебраическая запись комплексного числа Чертёж : |