Контрольная работа: Математические вычисления
Название: Математические вычисления Раздел: Рефераты по математике Тип: контрольная работа | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ КОНСОРЦИУМ СРЕДНЕРУССКИЙ УНИВЕРСИТЕТ НОУ ВПО ТУЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ И БИЗНЕСА Контрольная работа по курсу «Математика» Выполнил студент В.В.Тюрин Тула 2010 1. Задача 1 Для заданных двух множеств найти произведения и , изобразить их графически и найти пересечение , Решение 1.Определяем мощность декартового произведения: 2.Записываем декартовы произведения в виде явного перечисления: 3.Определяем пересечение множеств: {Ø} 4.Изображаем элементы декартовых произведений АхВ и ВхА в виде точек декартовой плоскости (рис.1). Произведениями множеств являются совокупности точек, обозначенные разными символами. Рис. 1. Прямое AxB и обратного BxA произведения двух точечных множеств Очевидно, что их пересечение пусто, что и соответствует аналитическому решению. 2. Задача 2 Вычислить предел функции с использованием основных теорем Решение 3. Задача 3 Раскрытие неопределенности вида и с использованием правила Лопиталя Решение Неопределенность 4. Задача 4 Найти производную простой функции Решение Итак, 5. Задача 5 Найти наибольшее и наименьшее значение функции на интервале Решение 1. Находим первую производную заданной функции 2. Определяем критические точки первого рода: или , Отсюда , 3. Подвергаем эти точки дополнительному исследованию в табличной форме (таблица 1), учитывая, что заданная функция определена на участке числовой оси: Таблица 1
Итак, В данном случае один из глобальных экстремумов совпадает с одним из локальных экстремумов. 6. Задача 6 Вычислить неопределенный интеграл методом подстановки Решение Выполним подстановку: Продифференцируем обе части уравнения: = 7. Задача 7 Вычислить неопределенный интеграл от рациональной дроби Решение 1. Найдем производную знаменателя: 2. Выделим в числителе выражение , для этого умножим знаменатель на 2 и умножим дробь на , чтобы значение дроби не изменилось, и вынесем за знак интеграла. 3. Запишем число , как , получим: 4. Разлагаем подынтегральное выражение на сумму элементарных дробей: 5. Вычислим интеграл , для этого выражение внесем под знак дифференциала. Интеграл принимает табличный вид: 6. Вычислим интеграл , для этого выделим в знаменателе полный квадрат. Интеграл принимает табличный вид: 7. Записываем решение: 8. Задача 8 Вычислить определенный интеграл методом интегрирования по частям Решение 9. Задача 9 По заданным координатам вершинам А, В, С треугольника определить его длины сторон, углы и площадь А(-5; -5; 3);В(-4; 1; 1);С(1; 4; 0) Решение 1. Записываем стороны треугольника в форме линейных разложений векторов и строим векторную схему треугольника (рис.1): Рис. 2 Схема треугольника 2 Вычисляем длины сторон: 3. Определяем углы треугольника, следовательно, =23.3o следовательно, 25,4о Угол по формуле . Следовательно, , 4. Проверяем достоверность вычисления углов треугольника следовательно, все расчеты выполнены правильно. 5. Вычисляем площадь треугольника: 10. Задача 10 Найти для заданной матрицы присоединенную и обратную матрицы Решение 1.Вычисляем определитель матрицы Итак, матрица неособенная и для нее существует обратная матрица . 2. Вычисляем для всех элементов матрицы алгебраические дополнения: 3. Записываем присоединенную матрицу: 4. Вычисляем обратную матрицу 5. Проверяем достоверность вычисления обратной матрицы, умножая ее на исходную матрицу = Получили единичную матрицу, следовательно, задача решена верно. 11. Задача 11 Найти произведения и квадратных матриц и Решение Обе перемножаемые матрицы третьего порядка, поэтому умножение их всегда возможно по обычному правилу: 1. Находим прямое произведение матриц (умножение слева направо) 2. Находим обратное произведение матриц (умножение справа налево) 12. Задача 12 Найти произведение прямоугольных матриц Решение 1. Сопоставляя размеры заданных матриц , устанавливаем, что эти прямоугольные матрицы можно перемножать, при этом результирующая матрица будет иметь размеры 3х1: 2. Находим прямое произведение матриц (умножение слева направо) 13. Задача 13 Решить систему линейных уравнений методами Гаусса, Крамера и в матричной форме Решение 1. Решаем систему методом Крамера, учитывая, что в общем случае, решение методом Крамера имеет вид: то есть решение сводится к вычислению четырех определителей третьего порядка. 2. Вычисляем определитель системы: так как определитель системы , следовательно, система имеет решение и при этом одно. 3. Вычисляем остальные определители: 4. Вычисляем значения неизвестных: Итак, решение системы имеет вид: (1, 2, 1). 2. Решение в матричной форме. В общем случае решение СЛАУ в матричной форме имеет вид: . 1. Записываем компоненты заданной СЛАУ в явном виде: , , 2. Вычисляем определитель матрицы : Итак, матрица неособенная и для нее существует обратная матрица . 3. Вычисляем алгебраические дополнения для всех элементов матрицы: 4. Записываем присоединенную матрицу в явном виде: 5. Вычисляем обратную матрицу : 6. Проверяем достоверность вычисления обратной матрицы по условию: Следовательно, обратная матрица вычислена верно. 7. Решаем заданную систему уравнений: или (1, 2, 1). 3. Метод Гаусса 1. Запишем СЛАУ в виде матрицы, расширенной за счет элементов правой части ее: Первую строку оставляем без изменения. Умножаем элементы первой строки на (-3) и прибавляем к соответствующим элементам второй строки. Получим: Затем умножаем элементы первой строки на (-2) и прибавляем к соответствующим элементам третьей строки. Умножаем элементы третьей строки на (-2) и прибавляем к соответствующим элементам второй строки. Первую и вторую строки оставляем без изменения. Умножаем элементы второй строки на 3 и прибавляем к соответствующим элементам третьей строки. Получим: Вычисляем значения переменных СЛАУ снизу вверх: Итак, решение системы уравнений имеет вид: , , или в краткой форме: (1,2,1). 14. Задача 14 Определить число элементарных событий и простых соединений Сколько есть двузначных чисел, у которых обе цифры четные? Решение Всего четных цифр 4 (2,4,6,8), значит существует 4 способа выбора первой цифры двузначного числа и 4 способа выбора второй цифры. Так как выбор цифр осуществляется одновременно, по правилу произведения вычислим количество двузначных чисел, у которых обе цифры четные: 15. Задача 15 Вычислить вероятность события по классической схеме Имеется 6 билетов в театр, 4 из которых на места первого ряда. Какова вероятность того, что из 3 наудачу выбранных билета 2 окажутся на места первого ряда? Решение 1. Определяем общее количество способов, которыми можно взять 3 билета из 6. 2. Определяем количество способов взять три билета, в том числе два на места первого ряда и один на другой ряд: 3. Вероятность искомого события: 16. Задача 16 Вычислить вероятность события с использованием теорем сложения и умножения. Охотник выстрелил три раза по удаляющейся мишени. Вероятность попадания в нее в начале стрельбы равна 0,8, а после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Найти вероятность того, что он попал в цель все три раза. Решение Пусть P(A) – вероятность попадания 3 раза, P(B) – вероятность попадания в 1-й раз, P(C) – вероятность попадания во 2-й раз, P(D) – вероятность попадания в 3-й раз. Тогда P(B)=0,8 P(C)= P(B)-0,1=0,8-0,1=0,7 P(D)= P(C)-0,1=0,7-0,1=0,6 P(A)=P(B) ∙P(C) ∙P(D)=0,8∙0,7∙0,6=0,336 17. Задача 17 Вычисление вероятности повторных независимых испытаний Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей, будет не более трех девочек. Вероятность рождения мальчиков и девочек считаем одинаковой. Решение Используем формулу Я. Бернулли: 1. Определяем исходные данные для формулы Бернулли: n=5, k=3, p=0,5, q=1-0,5=0,5 2. Вычисление вероятности искомого события: 18. Задача 18 Найти законы распределения случайных величин и , если законы распределения случайных величин и имеют вид
Решение Вычисления производим в табличной форме на основании определения разности и произведения случайных величин. 1. Вычисляем промежуточные величины для вычисления распределения переменной величины Z=Х-Y (разности двух случайных величин), используя табл.2. Таблица 2.
2. Записываем закон распределения случайной величины Z=X-Y в табл.3. Таблица 3
2. Проверяем достоверность вычислений: 0.03+0.08+0.15+0.25+0.2+0.17+0.12=1.0 4. Вычисляем промежуточные величины для вычисления распределения случайной величины (произведения тех же случайных величин), используя табл.4. Таблица 4
5. Записываем закон распределения случайной величины в табл. 5. Таблица 5
6. Проверяем достоверность вычислений: 0=1.0+0.06+0.04+0.09+0.04+0.18+0.06+0.06+0.09+0.08+0.12+0.08=1.0 19. Задача 19 Вычислить основные характеристики вариационного ряда Таблица 6
Решение 1. Вычисления производим в табличной форме (табл.7). Таблица 7
2. По итоговым данным табл.7, получаем: - среднюю производительность труда 3. Вычисляем характеристики вариации: - дисперсию - среднее квадратическое отклонение - коэффициент вариации 4. Результаты вычислений иллюстрирует график рис.3. Рис. 3. Результаты вычислений20. Задача 20 Найти линейное уравнение регрессии с построением эмпирической и теоретической линий регрессии и оценить тесноту связи для следующих статистических данных Таблица 8
Решение 1. Решение производим в форме табл. 9 на основании системы нормальными уравнениями метода наименьших квадратов для линейной двухпараметрической регрессии: . Таблица 9
2. Подставляя итоговые числа сумм в уравнения метода наименьших квадратов, получаем алгебраическую систему двух уравнений с двумя неизвестными вида: Отсюда получаем: , а из первого уравнения 3. Записываем корреляционное уравнение 4. Вычисляем коэффициент корреляции уравнения, используя итоговые данные табл.9 Линейный коэффициент корреляционного показывает, что зависимость между параметрами и слабая. 5. Графически результаты вычислений показаны на рис.4 в виде точек исходной статистической совокупности, соединенных серой линией и графика регрессионной зависимости (сплошная черная линия). Рис. 4. Результаты вычислений |