Реферат: Задачи по Математике 2
Название: Задачи по Математике 2 Раздел: Рефераты по математике Тип: реферат |
Часть 1. Системы координат. Коэффициент Ламэ. Элементы векторной алгебры. 1.1.(х0 , у0 ) равно: Ответ: 0 1.2.[z0 , y0 ] равно: Ответ: - х0 1.3.[z0 , x0 ] равно: Ответ: y0 1.4.(х0 ,z0 ) равно: Ответ: 0 1.5.(y0 ,z0 ) равно: Ответ: 0 1.6.[z0 ,r0 ] равно: Ответ: Ф0 1.7.[Ө0 , r0 ] равно: Ответ: -Ф0 1.8.(z0 ,Ф0 ) равно: Ответ: 0 1.9.[ Ф0 , Ө0 ] равно: Ответ: -r0 1.10.(х0 , [y0 ,z0 ]) равно: Ответ:1, (z0 , [x0 ,y0 ]) 1.11. (x0 , [z0 ,y0 ]) равно: Ответ: (y0 ,[x0 ,z0 ]), -1 1.12. (x0 , [y0 ,y0 ]) равно: Ответ: 0 1.13. [x0 , [y0 ,z0 ]] равно: Ответ: 0, y0 (x0 ,z0 ) – z0 (x0 ,y0 ) 1.14. (r0 ,[z0 ,Ф0 ]) равно: Ответ:-1, (Ф0 , [r0 , z0 ]) 1.15. (r0 , [Ө0 , Ф0 ]) равно: Ответ: 1, (Ф0 , [r0 , Ө0 ]) 1.16. (x0 , [y0 ,z0 ]) равно: Ответ:1 1.17. (x0 ,[y0 , x0 ]) равно: Ответ: 0 1.18. Коэффициенты Ламэ в прямоугольной системе координат равны: Ответ: h1 =1, h2 =1, h3 =1 1.19. Коэффициенты Ламэ в цилиндрической системе координат равны: Ответ: h1 =1, h2 =r, h3 =1 1.20. Коэффициент Ламэ в сферической системе координат равны: Ответ: h1 =1, h2 =r, h3 =rsinѲ 1.21. (a, b) скалярное произведение векторов a и b в декартовой системе координат равно: Ответ: ax bx +ay by +az bz 1.22. [a, b] – векторное произведение векторов aи b в декартовой системе координат равно: Ответ: выбрать матрицу (x0 y0 z0 ….) 1.23. (a, [b, c]) – смешанное произведение векторов a, b,c в декартовой системе координат равно: Ответ: выбрать матрицу (ax bx cx …..) 1.24. Двойное векторное произведение векторов А, В и С равно: Ответ: А х (В х С) = В(А,С) – С(А,В) 1.25. (А,[A,B])равно: Ответ: 0 1.26. (A,[B,B]) равно: Ответ: 0 1.27. (A,[B,C]) равно: Ответ: (C,[A,B]), (B,[C,A]) 1.28. A x (B x C) равно: Ответ: B(A,C) – C(A,B) 1.29. Объем параллелепипеда построенного на векторах А,В и С равен: Ответ: |(A,[B,C])| 1.30. Угол между векторами А и В равен: Ответ: ф=arcsin |[A,B]|/|A| x |B| Ф= arccos (A,B)/|A| x |B| 1.31. Проекция вектора А на направление вектора В равна: Ответ: (А, В) /|B| 1.32. Орт радиус-вектора r=x0 x+ y0 y + z0 z равен: Ответ:длинное выражение с корнями 1.33. Площадь параллелограмма, построенного на векторах А и В равна: Ответ: |ABsinф|, где |A|= A, |B| = B, ф - угол между векторами |[A,B]| 1.34. Если [A,B]=C, то [B,A] равно: Ответ: -С, -С0 |C|∂ Часть 2. Векторный анализ: - Скалярное поле. Градиент - Векторное поле. Дивергенция. Ротор. Оператор Гамильтона. 2.1. gradψ – градиент скалярной функции ψ в декартовой системе координат равен: Ответ: x0 ∂ψ/∂x+y0 ∂ψ/∂y+z0 ∂ψ/∂z 2.2.gradr – градиент скалярной функции r = |r|, где r = x0 x+y0 y+z0 z, равен: Ответ: x0 ∂r/∂x+ y0 ∂r/∂y+ z0 ∂r/∂z, r0 2.3. grad ln(r), где r =|r|, r0 =r/r, r=x0 x+y0 y+z0 z, равен: Ответ: r0 /r 2.4. grad sin r,где r=|r|=√x^2+y^2+z^2, r=x0 x+y0 y+z0 z равен: Ответ: в sin r/ dr grad r, (cos r) r0 2.5. grad 1/r, где r=|r|,r=x0 x+y0 y+z0 z равен: Ответ: -r0 /r^2 2.6. [gradr, r] равно: Ответ: 0 2.7.Производная скалярной функции U=r(r=|r|), по направлению оси OZ, где r=x0 x+y0 y+z0 zравна: Ответ: ∂U/∂z=(gradr, z0 ), ∂U/∂z=z/r 2.8. Производная скалярной функции U=1/r(r=|r|), по направлению радиус вектора r=x0 x+y0 y+z0 z равна: Ответ: ∂U/∂r=(grad(1/r),r0 ), ∂U/∂r=-1/r^2 2.9. Производная скалярной функции U=r, где r=|r|= √x^2+y^2+z^2 , по направлению оси OX равна: Ответ: ∂U/∂x=(gradr, x0 ), ∂U/∂x=x/r 2.10. Производная скалярной функции U=lnr (где r=|r|) по направлению радиус вектора r=x0 x+y0 y+z0 zравна: Ответ: ∂U/∂r=1/r, ∂U/∂r=(grad(lnr), r0 ) 2.11. Производная скалярной функции U=cosr (где r=|r|) по направлению радиус вектора r=x0 x+y0 y+z0 zравна: Ответ: ∂U/∂r= (grad(cosr), r0 ), ∂U/∂r=-sinr 2.12. divF –дивергнеция вектора F=x0 Fx +y0 Fy +z0 Fz равна: Ответ: ∂Fx /∂x+∂Fy /∂y+∂Fz /∂z 2.13. В поле вектора а отсутствуют источники и стоки, если: Ответ:diva = 0 , (перевернутый треуг, а)=0, где переверн. треуг. – оператор Гамильтона 2.14. div (r), где r=x0 x+ y0 y+z0 z, равна: Ответ:3, drx /dx+dry /dy+drz /dz 2.15. div (sin(r)r), где r=|r|, r=x0 x+y0 y+z0 z равна: Ответ: 3sin(r)+r cos(r), sin(r)div(r)+(r,grad(sin(r))) 2.16. div ((ln r)r), где r=|r|, r=x0 x+y0 y+z0 z равна: Ответ:(lnr)div r+(grad lnr,r), 3 ln r+1/r(r/r,r) 2.17. Поток вектора F через поверхность S – это: Ответ: Ф=∫(F,n0 )ds, где n0 -единичный вектор нормали n к поверхности S 2.18. Дивергенция орта радиус-вектора r0 =r/r, где r=|r|, r=x0 x+y0 y+z0 z равна: Ответ: div r0 =1/r div r + (grad1/r,r), div r0 =2/r 2.19. теорема Остроградского-Гаусса это: Ответ: ∮Fds=∫divFdv,где S-замкнутая поверхность, ограничивающая объем V 2.20 rot F – ротор вектора F=x0 Fx +y0 Fy +z0 Fz равен: Ответ: матрица 2.21.Поле вектора а потенциально, если Ответ:rota=0, a=gradψ, где ψ- скалярная функция 2.22. Ротор орта радиус- вектора r0 =r/r, где r=|r|, r=x0 x+y0 y+z0 zравен: Ответ:rot r0 =1/rrotr+[grad 1/r, r], rot r0 =0 2.23.Теорема Стокса- это: Ответ: ∮Fdl=∫rotFds, где L- одновитковый замкнутый контур, S – поверхность опирающаяся на L 2.24. Если циркуляция вектора Fпо замкнутому контуру L равна нулю,( ∮Fdl=0) то: Ответ:Поле вектора F – потенциально, rotF=0 2.25. Поле радиус – вектора r=x0 x+y0 y+z0 z: Ответ: Содержит источники и стоки, потенциально 2.26. rotr, где r=x0 x+y0 y+z0 zравен: Ответ: 0 2.27. rot(f(r) r), где r=|r|, r=x0 x+y0 y+z0 z, равен: Ответ: 0, f(r) rotr +[gradf(r),r] 2.28. Выражение перевернутый треугольник х F=[ перевернутый треугольник х F], где F=x0 Fx +y0 Fy +z0 Fz , а перевернутый треугольник- оператор Гамильтона равно: Ответ: rotF 2.29. Выражение первернутый треугольник в квалрате = треугольник в декартовой системе координат равно: Ответ: ∂^2/∂x^2+∂^2/∂y^2+∂^2/∂z^2 2.30. Используя понятие оператора Гамильтона, доказать, что gradψ равен: Ответ:[перев треуг, перев треуг]ψ, 0 2.31. Используя понятие оператора Гамильтона, доказать, что divgradψравна: Ответ: переверн треуг в квадрате ψ, (перев треуг, перевер треуг)ψ 2.32. Используя понятие оператора Гамильтона, доказать, что rotrotF равен: Ответ:graddivF – перев треуг в квадрате F 2.33. Используя понятие оператора Гамильтона, доказать, что grad(ψφ), где ψ и φ скалярные функции, равен: Ответ:φ gradψ+ψgradφ 2.34. Используя понятие оператора Гамильтона, доказать, что div(ψF), где ψ-скалярная функция, рвна: Ответ:ψdivF+(gradψ,F) 2.35. Используя понятие оператора Гамильтона, доказать, что divrotFравна: Ответ:0, (переверн треуг, [перев треуг,F]) 2.36. Выражение переверн треуг ψ, где ψ-скалярная функция, а перев треуг – оператор Гамильтона равно: Ответ:gradψ, x0 ∂ψ/∂x+y0 ∂ψ/∂y+z0 ∂ψ/∂z 2.37. Выражение перев треуг х F=(переверн треуг,F), где F=x0 Fx +y0 Fy +z0 Fz , а перев треуг – оператор Гамильтона рано: Ответ: div F, матрица |