Курсовая работа: Электрон в слое
Название: Электрон в слое Раздел: Рефераты по науке и технике Тип: курсовая работа | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Министерство Образования, Молодежи и Спорта Республики Молдова Государственный университет Молдовы Курсовая Работа Тема: Электрон в слое.
Кишинёв 1997 г. Собственно говоря, одномерная задача, которая сейчас будет рассмотрена, во многих учебных руководствах довольно подробно разобрана путём введения некоторых упрощений. Она состоит в следующем : Микрочастица (электрон) движется вдоль оси x , и её движение полностью определяется следующим гамильтонианом : ì-ћ2 /(2m)׶2 /¶x2 + U0 , x < -a Ùï H = í-ћ2 /(2m0 )׶2 /¶x2 , -a < x < a ï î-ћ2 /(2m)׶2 /¶x2 +U0 , x > a Где m - эффективная масса электрона в областях I , III ; m0 - эффективная масса электрона в области II. Запишем уравнение Шрёдингера для каждой области : ì¶2 YI /¶x2 + 2m/ћ2 ×(E - U0 )YI = 0 , x £-a ï í¶2 YII /¶x2 + 2m0 /ћ2 ×E×YI = 0 , -a £ x £ a ï î¶2 YIII /¶x2 + 2m/ћ2 ×(E - U0 )×YI = 0 , x ³ a Область I : Общий вид решения уравнения Шрёдингера для 1-ой области записывается сразу : YI (x) = A×exp(n×x) + B×exp(-n×x). Используя свойство ограниченности волновой функции, мы придём к тому что B = 0. Значит, YI (x) = A×exp(n×x). Волновая функция для второй области тоже элементарно определяется : YII (x) = C×exp(i ×k×x) + D×exp(-i ×k×x). Функция состояния для третьей области выглядит так : YIII (x) = F×exp(-n×x). Где k = (2m0 ×E/ћ2 )1/2 n = (2m×(U0 -E)/ћ2 )1/2 . Стратегия наших дальнейших действий будет состоять в следующем : ¨ Напишем систему из 4 уравнений, удовлетворение которых эквивалентно удовлетворению функциями граничным условиям. ¨ В этой системе из 4 уравнений будут фигурировать неизвестные коэффициенты A,C,D и F. Мы составим линейную однородную систему относительно них. ¨ Ясно, что существование нетривиальных решений допускается только в случае когда детерминант системы равен нулю. Как выяснится чуть позже, из этого весьма полезного факта мы извлечём уравнение, корнями которого будут возможные уровни энергии. Приступим к осуществлению первого пункта, т.е. запишем условия сшивания волновых функций : YI (x=-a) = YII (x=-a) YII (x=a) = YIII (x=a) YI ¢(x=-a)/m = YII ¢(x=-a)/m0 YII ¢(x=a)/m0 = YIII ¢(x=a)/m А в наших определениях этих функций это выглядит так : A×exp(-n×a) = C×exp(-i ×k×a) + D×exp(i ×k×a) m- 1 ×A× n×exp(-n×a) = i ×k×/m0 ×(C×exp(-i ×k×a) - D×exp(i ×k×a)) C×exp(i ×k×a) + D×exp(-i ×k×a) = F×exp(-n×a) i ×k×/m0 ×(C×exp(i ×k×a) - D×exp(-i ×k×a)) = - n/m×F×exp(-n×a). Теперь составим определитель : |exp(-n×a) -exp(-i ×k×a) -exp(i ×k×a) 0 | |m- 1 ×n×exp(-n×a) -1/m0 ×i ×k×exp(-i ×k×a) 1/m0 ×i ×k×exp(i ×k×a) 0 | |0 exp(i ×k×a) exp(-i ×k×a) -exp(-n×a) | |0 1/m0 ×i ×k×exp(i ×k×a) -1/m0 ×i ×k×exp(-i ×k×a) 1/m×n×exp(-n×a)| Если теперь раскрыть этот определитель по обычным правилам и приравнять его к нулю, то мы получим следующее уравнение для уровней энергии: ((n/m)2 - (k/m0 )2 )×Sin(2×k×a) + 2×k×n/(m×m0 )×Cos(2×k×a) = 0. Это уравнение решается численным методом, а именно, методом Ньютона. Найдём неизвестные коэффициенты A, C, D, F для более полного описания волновой функции. Для этого воспользуемся некоторыми соотношениями, которые непосредственно вытекают из условий сшивания и условия нормировки. C = F×exp(-n×a)×{exp(i ×k×a) + exp(-3×i ×k×a) ×( i ×k/m0 - n/m)/(n/m + i ×k/m0 )} D = C×exp(-2×i ×k×a)×( i ×k/m0 - n/m)/(n/m + i ×k/m0 ) A = exp(n×a)×(C×exp(-i ×k×a) + D×exp(i ×k×a)) . Поскольку A, C и в линейно зависят от F, то целесообразно ввести обозначения : A = RA ×F C = RC ×F D = RD ×F. RA , RC , RD - известные постоянные. Таким образом, если мы каким-то образом узнаем константу F, то мы определим остальные константы A, C, D. А сделаем мы это с помощью условия нормировки. Действительно : YI (x) = F×RA ×exp(n×x) YII (x) = F×( RC ×exp(i ×k×x) + RD ×exp(-i ×k×x)). YIII (x) = F×exp(-n×x). I1 + I2 + I3 = 1 Где I1 = |F|2 ×|RA |2 ×òQ exp(2×n×x)×dx = |F|2 ×|RA |2 ×(2×n)- 1 ×exp(2×n×x) = = |F|2 ×|RA |2 ×(2×n)- 1 ×exp(-2×n×a) I2 = |F|2 ×{ òL |RC |2 ×dx + òL |RD |2 ×dx + RC ×RD * ×òL exp(2×i ×k×x)×dx + + RC * ×RD ×òL exp(-2×i ×k×x)×dx } = |F|2 ×{ 2×a×(|RC |2 + |RD |2 ) + ((exp(2×i ×k×a) - exp(-2×i ×k×a))×RC ×RD * /(2×i ×k) + + i ×((exp(-2×i ×k×a) - exp(2×i ×k×a))×RC * ×RD /(2×k) } I3 = |F|2 ×òW exp(-2×n×x)×dx = |F|2 ×(2×n)- 1 ×exp(-2×n×a) |F|2 = { |RA |2 ×(2×n)- 1 ×exp(-2×n×a) + 2×a×(|RC |2 + |RD |2 ) + ((exp(2×i ×k×a) - exp(-2×i ×k×a))×RC ×RD * /(2×i ×k) + + i ×((exp(-2×i ×k×a) - exp(2×i ×k×a))×RC * ×RD /(2×k) + (2×n)- 1 ×exp(-2×n×a) }- 1 . Теперь, когда мы знаем F, нетрудно определить коэффициенты A, C, D, а значит и волновую функцию, характеризующую состояние электрона. Электрон в слоях Задача, которая сейчас будет описана, характеризуется тем, что потенциал обладает пространственной периодичностью. Схематически это изображается так. То есть, это ни что иное как одномерное движение электрона в периодическом поле. Графически это можно изобразить серией потенциальных барьеров или, как говорят, серией потенциальных ступенек. Аналитически условие периодичности потенциала записывается весьма просто: U(x)=U(x+2a) (1) Соотношение (1) записано в предположении, что ширина каждой потенциальной ямы равна ширине всякого потенциального барьера. Ясно, что волновые функции, соответствующие областям I, III, удовлетворяют одному и тому же уравнению Шредингера: ¶2 Y/¶x2 + 2m/ћ2 ×(E-U0 )Y = 0 следовательно эти функции отличаются только постоянным множителем, который называется фазовым множителем. Этот фазовый множитель мы будем обозначать следующим образом: r = exp(i 2ak) Тогда Y(x+2ma) = Y(x)×rm , где m=0, ±1, ±2,... (2) Оказывается, что достаточным для определения дискретного энергетического спектра (рассматривается только случай когда E<U0 ) и волновой функции является рассмотрение областей I, II, III. Действительно, пользуясь соотношением (2), мы определим волновую функцию на всей действительной оси. Рассмотрим область I: Уравнение Шредингера для нее записывается в виде: ¶2 YI /¶x2 + 2m2 /ћ2 ×(E-U0 )YI = 0 , 0 > x > -a его решение выглядит просто: YI (x) = A×exp(n×x) + B×exp(-n×x). Где n = (2m2 (U0 -E) /ћ2 )1/2 Рассмотрим область II: Уравнение Шредингера для нее записывается в виде: ¶2 YII /¶x2 + 2m1 /ћ2 ×EYII = 0 , a³x³ 0 его решение выглядит просто: YII (x) = C×exp(i ×p×x) + D×exp(-i ×p×x). Где p = (2m1 E/ћ2 )1/2 Рассмотрим область III: ¶2 YIII /¶x2 + 2m2 /ћ2 ×(E - U0 )YIII = 0 , 2a > x > a его решение выглядит просто: YIII (x) = r (A×exp(n×x) + B×exp(-n×x)). Запишем граничные условия: YI (x=0) = YII (x=0) YII (x=a) = YIII (x=a) YI ¢(x=0)/m = YII ¢(x=0)/m0 YII ¢(x=a)/m0 = YIII ¢(x=a)/m Подставляя волновые функции в эту систему уравнений, мы получим некоторые связи между коэффициентами A, B, C, D: A+B=C+D C exp(i p a)+D exp(-i p a) = exp(i 2 a k) (A exp(n a)+B exp(-n a)) (A-B) n/m2 = (C-D) i p / m1 (C exp(i p a)-D exp(-i p a)) i p / m1 = exp(i 2 a k) n/m2 (A exp(n a)-B exp(-n a)) Следуя приведённым выше соображениям, мы составим определитель : |1 1 -1 -1 | |exp(i ×k×2a+n×a) exp(i ×k×2a-n×a) -exp(i ×p×a) -exp(-i ×p×a) | |n/m2 -n/m2 -i ×p/m1 i ×p/m1 | |n/m2 exp(i ×k×2a+n×a) -n/m2 ×exp(i ×k×2a-n×a) - i ×p/m1 ×exp(i ×p×a) i ×p/m1 ×exp(-i ×p×a) | и приравняем его к нулю. Результатом раскрытия определителя будет весьма громоздкое уравнение содержащее в качестве неизвестного энергию электрона. Рассчитанные уровни энергии для различных эффективных масс приведены ниже. a=10; U=10; m1 =4; m2 =1
a=10 U=10m1 =2m2 =1
a=10 U=10m1 =1m2 =1
a=10 U=10m1 =0.5m2 =1
a=10 U=10m1 =.25m2 =1
|