Курсовая работа: Уменьшение оценки взаимной спектральной плотности стационарного случайного процесса
Название: Уменьшение оценки взаимной спектральной плотности стационарного случайного процесса Раздел: Рефераты по математике Тип: курсовая работа |
Математический факультетКафедра информатики и прикладной математикиКУРСОВАЯ РАБОТА НА ТЕМУ: «УМЕНЬШЕНИЕ ОЦЕНКИ ВЗАИМНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ СТАЦИОНАРНОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА» Брест 2009ВВЕДЕНИЕ 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В РАБОТЕ 2. УМЕНЬШЕНИЕ СМЕЩЕНИЯ ОЦЕНКИ ВЗАИМНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ СПИСОКИСПОЛЬЗОВАННЫХИСТОЧНИКОВ ВВЕДЕНИЕПочти в каждой области встречаются явления, которые интересно и важно изучать в их развитии и изменении во времени. В повседневной жизни могут представлять интерес, например, метеорологические условия, цены на тот или иной товар, те или иные характеристики состояния здоровья индивидуума и т.п. Все они изменяются во времени. Совокупность измерений какой-либо одной характеристики подобного рода и представляет собой временной ряд. Одной из главных задач спектрального анализа временных рядов является построение и исследование оценок спектральных плотностей стационарных случайных процессов, так как они дают важную информацию о структуре процесса. Методы анализа временных рядов широко используются в различных областях науки и техники, их можно применять при анализе больших объемов данных, получаемых в процессе вибрационных испытаний или извлекаемых из сводок экономических данных. В данной работе исследована оценка спектральной плотности, построенная с использованием различных окон просмотра данных. Построены графики этой оценки для временного ряда, представляющего собой последовательность наблюдений - температуры воздуха в городе Бресте с октября 2008 по февраль 2009 года. Графики построены также для центрированного случайного процесса. 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В РАБОТЕ Векторным временным рядом (r-мерным временным рядом) называется совокупность функций вида . Переменная t обычно соответствует времени выполнения или регистрации наблюдений и измерений. Действительным случайным процессом = называется семейство случайных величин, заданных на вероятностном пространстве , где , , - некоторое параметрическое множество. Если , или - подмножество из , то говорят, что , - случайный процесс с дискретным временем . Если , или подмножество из , то говорят, что , - случайный процесс с непрерывным временем. Введем характеристики случайного процесса , , во временной области. Математическим ожиданием случайного процесса , , называется функция вида , где . Дисперсией случайного процесса , , называется функция вида , где . Спектральной плотностью случайного процесса , , называется функция вида =, , при условии, что . Нормированной спектральной плотностью случайного процесса называется функция вида где , если и , если . Из определения видно, что спектральная плотность непрерывная, периодическая функция с периодом, равным по каждому из аргументов. Ковариационной функцией случайного процесса , , называется функция вида . Смешанным моментом го порядка , , случайного процесса , , называется функция вида , , . Заметим, что , . Лемма 1.1. Для любого целого р справедливо следующее соотношение . Доказательство. Если , то доказательство очевидно. Рассмотрим случай . Воспользуемся формулой Эйлера тогда Лемма доказана. Пусть - значения случайного процесса в точках . Введем функцию , которую будем называть характеристической функцией , где - ненулевой действительный вектор, , . Смешанный момент го порядка , , можно также определить как , , . Смешанным семиинвариантом (кумулянтом) го порядка , , случайного процесса , , называется функция вида , , , которую также будем обозначать как . Между смешанными моментами и смешанными семиинвариантами го порядка, , существуют связывающие их соотношения, которые имеют вид , , где суммирование производится по всевозможным разбиениям множества , , , , . При , , . При Спектральной плотностью случайного процесса , , называется функция вида =, , при условии, что Из определения видно, что спектральная плотность непрерывная, периодическая функция с периодом, равным по каждому из аргументов. Семиинвариантной спектральной плотностью го порядка, , случайного процесса , , называется функция вида =, , при условии, что . Теорема 1. Для смешанного семиинварианта го порядка, , случайного процесса справедливы представления ,. Пусть - случайный процесс, заданный на вероятностном пространстве , и - мерная функция распределения, где Случайный процесс называется стационарным в узком смысле (строго стационарным), если для любого натурального , любых и любого , такого что выполняется соотношение где Возьмем произвольное . Пусть , тогда В дальнейшем функцию, в правой части (1), будем обозначать Используя определение стационарного в узком смысле СП , смешанный момент го порядка, , будем обозначать Смешанный семиинвариант го порядка, , стационарного в узком смысле СП будем обозначать Случайный процесс , называется стационарным в широком смысле , если и Замечание 1. Если , является стационарным в узком смысле СП и то , является стационарным в широком смысле, но не наоборот. Спектральной плотностью стационарного случайного процесса , называется функция вида , при условии, что Семиинвариантной спектральной плотностью - го порядка , , стационарного СП , называется функция вида при условии, что Для смешанного семиинварианта -го порядка, , стационарного СП справедливо следующее соотношение . Для эти соотношения примут вид . 2. УМЕНЬШЕНИЕ СМЕЩЕНИЯ ОЦЕНКИ ВЗАИМНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ Рассмотрим действительный стационарный в широком смысле случайный процесс,, с математическим ожиданием , , взаимной ковариационной функцией , и взаимной спектральной плотностью . Предположим, имеются Т последовательных, полученных через равные промежутки времени наблюдений за составляющей , рассматриваемого процесса . Как оценку взаимной спектральной плотности в точке рассмотрим статистику (2.1) где , - произвольная, не зависящая от наблюдений четная целочисленная функция, для , а (2.2) s – целое число, - целая часть числа . Статистика , называемая выборочной взаимной спектральной плотностью или периодограммой, задается соотношением (2.3) определено равенством (2.2). Предположим, если оценка взаимной спектральной плотности , построенная по T наблюдениям, является асимптотически несмещенной, то математическое ожидание ее можно представить в виде (2.4) где некоторые действительные функции, не зависящие от T, В качестве оценки взаимной спектральной плотности возьмем статистику , и исследуем первый момент построенной оценки. Математическое ожидание построенной оценки будет следующее Использовав соотношение (2.4), получим где Поскольку следовательно, оценка является асимптотически несмещенной со смещением, убывающим как . Так как равенство (2.4) справедливо и при , то, рассматривая оценку где , то оценка является асимптотически несмещенной со смещением, убывающим на . Далее рассмотрим оценку (2.5) Найдем математическое ожидание построенной оценки : где Следовательно, оценка является асимптотически несмещенной со смещением, убывающим как . Найдем явный вид коэффициентов в представлении (2.4), Видим, что Таким образом, справедливо следующее утверждение. Теорема 2.1 . Оценка взаимной спектральной плотности стационарного в широком смысле случайного процесса , задаваемая равенством (2.5), удовлетворяет соотношению , , при условии, что справедливо соотношение (2.4) для При нахождении моментов оценок спектральных плотностей вторых и высших порядков появляются функции вида (2.6) где задаются соотношением Чтобы выделить определенные характеристики спектральных оценок, нередко прибегают к сглаживанию значений на концах случайного временного ряда. Временное сглаживание представляет собой умножение ряда на «окно данных». В соотношении (2.3) введена функция , называемая окном просмотра данных (множителем сходимости, коэффициентом сглаживания). Функцию (3.1) называют частотным окном. Из соотношения (3.1) вытекает, что Характерное поведение функции состоит в том, что она становится все более сконцентрированной в окрестности нуля при . Примеры окон просмотра данных: 1. 1 – окно Дирихле; 2. 1- – окно Фейера; 3. ; 4. – окно Хэннинга; 5. – окно Хэмминга; 6. – окно Хэмминга; 7. , где – окно Хэмминга; 8. 1- – окно Рисса. В данной работе исследована оценка спектральной плотности вида где , а периодограмма задана следующим соотношением Построены графики этой оценки для различных окон данных на основании данных, представляющих собой последовательность наблюдений - температуры воздуха в городе Бресте с октября 2008 по февраль 2009 года. Графики построены также для центрированного случайного процесса. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 1. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. – М.: Мир, 1976. – 755 с. 2. Бриллинджер Д. Временные ряды. Обработка данных и теория. - М.: Мир, 1980. - 536 с. 3. Журбенко И.Г. Спектральный анализ временных рядов. - М.: Изд-во МГУ, 1982. - 168 с. 4. Труш Н.Н. Асимптотические методы статистического анализа временных рядов. – Мн.: БГУ, 1999. - 218 с. 5. Труш Н.Н., Мирская Е.И. Случайные процессы. Преобразования Фурье наблюдений. – Мн.: БГУ, 2000. Для исследования оценки (3.1) был исследован ряд, состоящий из 176 наблюдений ежедневной температуры воздуха в городе Бресте с октября 2008 по февраль 2009 года. Рис. 1 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Дирихле Рис. 2 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Дирихле для центрированного случайного процесса Рис. 3 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Фейера Рис. 4 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Фейера для центрированного случайного процесса Рис. 5 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна вида 3 Рис. 6 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна вида 3 для центрированного случайного процесса Рис. 7 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэннинга Рис. 8 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэннинга для центрированного случайного процесса Рис. 9 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 5 Рис. 10 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 5 для центрированного случайного процесса Рис. 11 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 6 Рис. 12 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 6 для центрированного случайного процесса Рис. 13 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 7 Рис. 14 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 7 для центрированного случайного процесса Рис. 15 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Рисса Рис. 16 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Рисса для центрированного случайного процесса |