Лабораторная работа: Изучения прямолинейного движения на машине атвуда

Название: Изучения прямолинейного движения на машине атвуда
Раздел: Рефераты по физике
Тип: лабораторная работа

Федеральное Агентство по образованию

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Кафедра физики

ОТЧЕТ

Лабораторная работа по курсу "Общая физика"

ИЗУЧЕНИЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ

НА МАШИНЕ АТВУДА

Преподаватель Студент группы 220201

___________ /____________. / Стороженко Сергей Валерьевич

___________2011 г. 2011 г.

2011


1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Целью работы является изучение закона прямолинейного ускоренного движения тел под действием сил земного тяготения с помощью машины Атвуда.

2. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДИКИ ЭКСПЕРИМЕНТА


Схема экспериментальной установки на основе машины Атвуда приведена на рис.2.1.

На вертикальной стойке 1 крепится легкий блок 2, через который перекинута нить 3 с грузами 4 одинаковой массы. В верхней части стойки расположен электромагнит, который может удерживать блок, не давая ему вращаться. На среднем кронштейне 5 закреплен фотодатчик 6. На корпусе среднего кронштейна имеется риска, совпадающая с оптической осью фотодатчика. Средний кронштейн имеет возможность свободного перемещения и фиксации на вертикальной стойке. На вертикальной стойке укреплена миллиметровая линейка 7, по которой определяют начальное и конечное положения грузов. Начальное положение определяют по нижнему срезу груза, а конечное - по риске на корпусе среднего кронштейна.

Миллисекундомер 8 представляет собой прибор с цифровой индикацией времени. Регулировочные опоры 9 используют для регулировки положения экспериментальной установки на лабораторном столе.

Принцип работы машины Атвуда заключается в том, что когда на концах нити висят грузы одинаковой массы, то система находится в положении безразличного равновесия. Если на правый груз положить перегрузок, то система грузов выйдет из состояния равновесия и начнет двигаться.

3. ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ

Средние значения времени < t > и квадрата времени < t 2 > прохождения грузом с перегрузом пути S:

(3.1)

(3.2)

Абсолютная суммарная погрешность измерения времени прохождения пути S:

(3.3)

Абсолютная случайная погрешность измерения времени прохождения пути S:

σсл (t ) = t(a, n ) × S (t ) ; (3.4)

где t(a, n ) - коэффициент Стьюдента

стандартная абсолютная погрешность измерения времени:

(3.5)

где

ti - времени прохождения пути при i –ом измерении ( i =1. … , n ),

n – число измерений, < t > - среднее значение времени прохождения пути.

Абсолютная суммарная погрешность косвенного измерения квадрата времени прохождения пути S:

σ(t 2 ) = 2 < t > σ(t ) (3.6)

Абсолютная погрешность косвенного измерения корня квадратного из расстояния:

(3.7)

Угловой коэффициент экспериментальной прямой:

b = (3.8)

Величина ускорения, определяемого из линеаризованного графика:

a = 2b2 (3.9)

Абсолютную случайную погрешность ускорения sсл (a ) рассчитываем методом наименьших квадратов.

Рассчитываем параметры линеаризованного графика

(y = f(x) = Ax + B) и случайные абсолютные погрешности параметров.

Расчет производится по формулам: (3.10)

куда входят следующие величины:

(3.11)

где n – число экспериментальных точек.

Абсолютная случайная погрешность определения углового коэффициента: sсл (β ):

(3.12)

где вспомогательная величина:

(3.13)

Абсолютная случайная погрешность ускорения:

s ( a ) = 4 b s ( b ) (3.14)

4. РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ИХ АНАЛИЗ.

Макет № 82

Измеренные значения и результаты их обработки приведены в таблице 4.1.

Результаты прямых и косвенных измерений Таблица 4.1

S 1 = 10, см

S 2 = 20, см

S 3 = 30, см

S 4 = 35, см

S 5 =42, см

Номер измере­ния

=3,16 см1/2

= 4,47 см1/2

= 5,48 см1/2

= 5,92 см1/2

=6,48 см1/2

t , c

t 2 , c2

t , c

t 2 , c2

t , c

t 2 , c2

t , c

t 2 , c2

t , c

t 2 , c2

1

1,558

2,427

2,425

5,881

3,186

10,150

3,297

10,870

3,627

13,155

2

1,423

2,025

2,178

4,744

2,964

8,785

3,017

9,102

3,538

12,517

3

1,446

2,091

1,856

3,445

2,585

6,682

3,015

9,090

3,145

9,891

4

1,341

1,798

1,554

2,415

2,662

7,086

2,783

7,745

2,775

7,701

5

1,376

1,893

1,396

1,949

2,505

6,275

2,694

7,257

2,530

6,401

< t >, c

1,43

1,88

2,78

2,96

3,12

< t 2 >, c2

2,05

3,69

7,79

8,81

11,33

Средние значения времени < t > и квадрата времени < t 2 > прохождения пути S, приведенные в таблице 4.1, рассчитаны по выражениям 3.1 и 3.2 (число точек измерения n=5 ).

Для первой точки измерения (S 1 = 10 см):

Стандартную абсолютную погрешность измерения времени рассчитываем по формуле 3.5 для числа измерений n=5:

Δt1 = t1 −< t>1 = 1,558−1,43 = 0,13 с; Δt1 2 = ( 0,13)2 = 0,0169 с2 ;

Δt2 = t2 −< t>1 = 1,423−1,43 = -0,007 с; Δt1 2 = (-0,007)2 = 0,000049 с2 ;

Δt3 = t3 −< t>1 = 1,446−1,43 = 0,016 с; Δt1 2 = (0,016)2 = 0,000256 с2 ;

Δt4 = t4 −< t>1 = 1,341−1,43 = -0,089 с; Δt1 2 = (-0,089)2 = 0,00792 с2 ;

Δt5 = t5 −< t>1 = 1,376−1,43 = -0,054 с; Δt1 2 = (-0,0584)2 = 0,002916 с2 ;


0,0169 +0,000049+0,000256+0,00792+0,002916

S(t)1 = 5x(5-1) = 0,001 с;

Абсолютная случайная погрешность измерения времени прохождения пути определяется по формуле 3.4. При доверительной вероятности a=0,9 и числе измерений n =5 коэффициент Стьюдента t(a, n ) = 2,1:

σсл (t )1 = 2,1×0,001 = 0,0021 c ;

Результаты расчетов погрешностей

прямых и косвенных измерений времени и квадрата времени.

Таблица 4.2

измерения

№ опыта

t, с

Δt, с

Δt2 , с2

<t>, с

S(t), с

σ(t),с

σ(t2 ), с2

1

1

1,558

0,13

0,0169

1,43

0,001

0,0021

0,006

2

1,423

-0,007

0,000049

3

1,446

0,016

0,000256

4

1,341

-0,089

0,00792

5

1,376

-0,054

0,002916

t1 = 1,43 ± 0,0021, с

2

6

2,425

0,545

0,297025

1,88

0,036

0,076

0,286

7

2,178

0,298

0,088804

8

1,856

-0,024

0,000576

9

1,554

-0,326

0,106276

10

1,396

-0,484

0,234256

t2 = 1,88± 0,076 с

3

11

3,186

0,406

0,164836

2,78

0,012

0,0252

0,14

12

2,964

0,184

0,033856

13

2,585

-0,195

0,038025

14

2,662

-0,118

0,013924

15

2,505

-0,275

0,075625

t3 = 2,78 ± 0,0252, с

4

16

3,297

0,337

0,113569

2,96

0,011

0,0231

0,14

17

3,017

0,057

0,003249

18

3,015

0,055

0,003025

19

2,783

-0,177

0,031329

20

2,694

-0,266

0,070756

t4 = 2,96± 0,0231, с

5

21

3,627

0,507

0,257049

3,12

0,045

0,0945

0,56

22

3,538

0,418

0,174724

23

3,145

0,025

0,000625

24

2,775

-0,345

0,119025

25

2,530

-0,59

0,3481

t5 = 3,12 ± 0,0945, с

Абсолютную систематическую приборную погрешность измерения времени определяем как половину цены наименьшего деления секундомера :

σсис (t) = 0,0005 с ;

Абсолютная суммарная погрешность измерения времени прохождения пути по формуле 3.3 :

σ(t)1 = 0,0005²+0,0021² = 0,0021 с;

Так как величина σсис (t) много меньше величины σсл (t )1 сис (t) = 0,0005 с << σсл (t )1 = 0,0021 c), то в дальнейшем будем считать, что σ(t )1 ≈ σсис (t )1 .

Абсолютная суммарная погрешность косвенного измерения квадрата времени прохождения пути рассчитываем по формуле 3.6 :

σ(t 2 )1 = 2×1,43×0,0021 = 0,006 с2 ;

Результаты измерений записываем в виде < t > ± σ(t) :

t1 = 1,43±0,0021 с.

Результаты расчетов случайной, приборной и общей погрешности измерений времени и квадрата времени приведены в таблице 4.2.

Абсолютную погрешность измерения расстояния определяем как половину цены деления линейки:

σ(S) = 0,05 см ;

Абсолютная погрешность косвенного измерения корня квадратного из расстояния по формуле 3.7 :

Для остальных точек измерений (при других значениях S) расчет проводится аналогично.

Результаты расчетов приведены в таблицах 4.2 и 4.3.

Таблица 4.3.

n/n

S , см

σ(S), см

, см0,5

σ(). см0,5

<t>, c

(<t>)2 , c2

(<t>)× , c× см0,5

1

10

0,5

3,16

0,01

1,43

2,05

4,519

2

20

0,5

4,47

0,01

1,88

3,69

8,404

3

30

0,5

5,48

0,01

2,78

7,79

15,234

4

35

0,5

5,92

0,01

2,96

8,81

17,523

5

42

0,5

6,48

0,01

3,12

11,31

20,218

å

137

25,51

12,17

33,65

65,90

МНК

S 6

S 2

S 1

S 4

S 3

На основании данных, приведенных в таблицах 4.2, 4.3 строим графики зависимостей S = f 1 ( t ) ( рис. 4.1.) и S = f 2 ( t 2 ) ( рис. 4.2.), на графиках наносим доверительные интервалы.

Рисунок 4.1. Зависимость пройденного пути S от времени t .

Рисунок 4.2. Зависимость пройденного пути S от квадрата времени t 2 .

На рис.4.3. представлен линеаризованный график = f 3 ( t ) зависимости квадратного корня пройденного пути от времени t .

Рисунок 4.3. Зависимость от времени t .

На графике (рис. 4.3) видно, что прямая пересекает доверительные интервалы для всех экспериментальных точек.

Определим из графика угловой коэффициент прямой по формуле 3.8:

b граф = 4 / 2,3 = 1,73 см0,5 /с ;

Величину ускорения определим по формуле 3.9:

a граф = 2×1,732 =5,98 см/с2 ;

По методу наименьших квадратов (МНК) рассчитаем параметр b линеаризованного графика = b t и случайную абсолютную погрешность параметра sсл (b ).

По формулам 3.11, используя данные таблицы 4.3, определяем значение величин S 1 S 6 для расчета по МНК (число точек n =5):

S 1 = 12,17 c; S4 = 33,65 c2 ;

S 2 = 25,51см1/2 ; S 6 = 137 см ;

S 3 = 65,90 c×см1/2 ; S 5 = 5×33,65 − 12,17 2 = 20,14 c × см1/2 .

По формуле 3.10 определим параметр b линеаризованного графика:

b = (5×65,90 − 12,17 ×25,51) / 20,14 = 0,94 см1/2 /c.

Угловой коэффициент прямой b = 0,94 см1/2 /c.

Значение вспомогательной величины S 0 по формуле 3.13:

S 0 = 137/ 3 – (25,512 + 0,94 2 ×20,14 ) / 15 = 1,03 см.

По формуле 3.12 определим погрешность вычисления углового коэффициента прямой:

s ( b) = (5×1,032 /20,14) 0,5 = 0,513 см1/2 /c .

Величина ускорения по формуле 3.9 :

a = 2×0,942 = 1,76 см/с2 .

Абсолютная случайная погрешность ускорения по формуле 3.14 :

s ( a ) = 4×0,94×0,513 = 1,93 см/с2 .

Получаем:

a = (1,76 ± 1,93) см/с2 = (1,76 ± 1,93)×10-2 м/с2 .

5. ВЫВОДЫ

В результате проделанной работы мы смогли в пределах погрешностей измерений построить линеаризованный график зависимости . Все точки в этой зависимости укладываются на прямую в пределах их погрешностей.

Подтвердили справедливость закона прямолинейного ускоренного движения тел под действием сил земного тяготения с помощью машины Атвуда:

при равноускоренном движении с нулевой начальной скоростью справедливо выражение S = at 2 /2 ,

где S – путь пройденный телом за время движения t,

a – ускорение движения.

В ходе работы определена величина ускорения и сделана оценка ее погрешности:

a = (1,76 ± 1,93) × 10-2 м/с2 .


6. ОТВЕТЫ НА КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Какие силы действуют на груз с перегрузком во время движения?

На груз с перегрузом во время движения действует сила тяжести F тяж2 и противоположно направленная сила натяжения нити T2 .

Сила тяжести F тяж2 = ( M + m ) g , где M – масса груза, m – масса перегрузка, g – ускорение свободного падения.

2. Запишите уравнение движения для каждого из грузов.

Уравнение движения грузов имеют вид:

( M + m ) g T 1 = ( M + m ) a 1 - груз с перегрузом (справа)

MgT 2 = Ma 2 - груз ( слева )

В силу не растяжимости нити a 2 = - a 1 ; при невесомом блоке T 1 = T 2 имеем следующие уравнения движения:

(M + m)gT = (M + m)a

Mg T = - Ma

3. Укажите возможные причины, обуславливающие несовпадение теоретических выводов с результатами измерений.

- физические допущения, принятые при теоретическом анализе движения грузов в эксперименте; погрешности измерения величин;

- точность вычислений.

4. Каким образом из линеаризованного графика можно оценить систематическую погрешность измерения времени?

Систематическая погрешность измерения времени σсис (t) приводит к тому, что прямая на линеаризованном графике не проходит через начало координат. Величина отрезка, отсекаемого прямой при пересечении с осью t ( от точки пересечения до начала координат), есть величина систематической погрешности измерения времени σсис (t).

5. Укажите физические допущения, используемые при теоретическом анализе движения грузов в машине Атвуда.

Идеализация движения грузов на машине Атвуда:

- нить и блок невесомы, нить не растяжима, сила трения на оси блока мала, можно пренебречь.