Реферат на тему:
«Введение в стереометрию»
I
.Основные аксиомы стереометрии
В стереометрии к основным понятиям планиметрии добавляется еще одно - плоскость, а вместе с ним - аксиомы, регулирующие «взаимоотношения» плоскостей с другими объектами геометрии. Таких аксиом три.
Первая- аксиома выхода в пространство
- придает «театру геометрических действий» новое, третье измерение:
· Имеется четыре точки, не лежащие в одной плоскости (рис. 1)
   Таким образом, не все точки находятся в одной плоскости. Но этого недостаточно. Нужно, чтобы различных плоскостей было бесконечно много. Это обеспечивается второй аксиомой- аксиомой плоскости
:· Через любые три точки проходит плоскость.
 
     С третьей аксиомой мы сталкиваемся, когда складываем фигурки из бумаги: все знают, что, образующиеся при этом линии сгиба - прямые.
Аксиома пересечения плоскостей
звучит так:
·
Если две плоскости имеют общую точку, то их пересечение есть прямая.
· (рис.2)
Отсюда следует: если три точки лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость единственная.
 Действительно, если через какие- то три точки проходят две разные плоскости, то через эти точки можно провести прямую, а именно прямую, по которой плоскости пересекаются. Отметим, что последнее свойство само нередко включается в аксиомы.
Третья аксиома играет очень существенную и неочевидную с первого взгляда роль в стереометрии: она делает пространство в точности трехмерным, потому что в пространствах размерности четыре и выше плоскости могут пересекаться по одной точке. К трем указанным так же присоединяются планометрические аксиомы, переосмысленные и подправленные с учетом того, что теперь мы имеем дело не с одной, а с несколькими плоскостями. Например, аксиому прямой - через две различные точки можно провести одну и только одну прямую - переносят в стереометрию дословно, но только она уже распространяется на две точки пространства.
В качестве следствия выведем прямо из аксиом одно полезное следствие: прямая, имеющая с плоскостью хотя бы две общие точки, целиком лежит в этой плоскости.
   Пусть прямая l
проходит через точки А
и В
плоскости α
(рис. 3). Вне плоскости α
есть хотя бы одна точка С
(по аксиоме выхода в пространство). В соответствии с аксиомой плоскости через А
,В
и С
можно провести плоскостьβ
. Она отлична от плоскости α
, так как содержит С
и имеет с α
две общие точки. Значит,β
пересекается сα
по прямой, которой, как и l
, принадлежат А
, В
. По аксиоме прямой, линия пересечения плоскостей совпадает с l
. Но эта линия лежит в плоскости α
, что и требовалось доказать.
Путем несложных доказательств мы находим, что:
· На каждой плоскости выполняются все утвержде-ния планиметрии.
II
. Прямые, плоскости, параллельность.
Уже такое основное понятие, как параллельность прямых, нуждается в новом определении:
две прямые в пространстве называются парал-лельнылт, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Так что не попадайтесь в одну из излюбленных экзаменаторами ловушек — не пытайтесь «доказывать», что через две параллельные прямые можно провести плоскость: это верно по определению параллельности прямых! Знаменитую планиметрическую аксиому о единственности параллельной включают и в аксиомы стереометрии, а с её помощью доказывают главное свойство параллельных прямых в пространстве:
· Через точку, не лежащую на прямой, можно провести одну и только одну прямую параллельно данной.
Сохраняется и другое важное свойство параллельных прямых, называемое транзитивностью параллельности:
· Если две прямые а и b параллельны третьей прямой с, то они параллельны друг другу.
Но доказать это свойство в стереометрии сложнее. На плоскости непараллельные прямые обязаны пересекаться и потому не могут быть одновременно параллельны третьей (иначе нарушается аксиома параллельных). В пространстве существуют непараллельные и притом непересекающиеся прямые — если они лежат в разных плоскостях. О таких прямых говорят, что они скрещиваются.
           На рис. 4 изображён куб; прямые АВ и ВС пересекаются, АВ и CD — параллельны, а АВ и В¹С¹ — скрещиваются. В дальнейшем мы часто будем прибегать к помощи куба, чтобы иллюстрировать понятия и факты стереометрии. Наш куб склеен из шести граней-квадратов. Исходя из этого, мы будем выводить и другие его свойства. Например, можно утверждать, что прямая АВ параллельна C¹D¹, потому что обе они параллельны общей стороне CD содержащих их квадратов.
В стереометрии отношение параллельности рассматривается и для плоскостей: две плоскости или прямая и плоскость параллельны, если они не имеют общих точек. Прямую и плоскость удобно считать параллельными и в том случае, когда лежит в плоскости. Для плоскостей и прямых справедливы теоремы о транзитивности:· Если две плоскости параллельны третьей плоскости, то они параллельны между собой.
· Если прямая и плоскость параллельны некоторой прямой( или плоскости), то они параллельны друг другу.
Наиболее важный частный случай второй теоремы- признак параллельности прямой и плоскости:
· Прямая параллельна плоскости, если она параллельна некоторой прямой в этой плоскости.
А вот признак параллельности плоскостей:
· Если две пересекающиеся прямые в одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым в другой плоскости, то и плоскости параллельны.
Часто используется и такая простая теорема:
· Прямые, по которым две параллельные плоскости пересекаются третьей, параллельны друг другу.
Посмотрим еще раз на куб (рис. 4). Из признака параллельности прямой и плоскости следует, например, что прямая А¹В¹ параллельна плоскости АВСD (так как она параллельна прямой АВ в этой плоскости), а противоположные грани куба, в частности А¹В¹С¹D¹ и ABCD, параллельны по признаку параллельности плоскостей: прямые A¹B¹ и B¹С¹ в одной грани соответственно параллельны прямым АВ и ВС в другой. И чуть менее простой пример. Плоскость, содержащая параллельные прямые AA¹ и СС¹, пересекают параллельные плоскости АВСD и A¹B¹C¹D¹ по прямым АС и А¹С¹, значит, эти прямые параллельны: аналогично, параллельные прямые В¹С и А¹D. Следовательно, параллельные плоскости АВ¹С и А¹DC, пересекающие куб по треугольникам.
|