Курсова робота

З дисципліни”Основи дискретної математики”

На тему: Алгоритм Дейкстра

Зміст

1. Вступ

Останнім часом дослідження в областях, що традиційно відносяться до дискретної математики, займають усе більш помітне місце. Поряд з такими класичними розділами математики, як математичний аналіз, диференціальні рівняння, у навчальних планах спеціальності "Прикладна математика" і багатьох інших спеціальностей з'явилися розділи по математичній логіці, алгебрі, комбінаториці і теорії графів. Причини цього неважко зрозуміти, просто розглянувши задачу, розв'язувану пошуку найкоротшого шляху в графі .

2. Елементи теорії графів

Основні визначення

Граф (graph) - пари G=(V,E), де V - безліч об'єктів довільної природи, називаних вершинами (vertices, nodes), а E - сімейство пар e_i =(v_i1 , v_i2 ), v_ij V, називаних ребрами (edges). У загальному випадку безліч V і/чи сімейство E можуть містити нескінченне число елементів, але ми будемо розглядати тільки кінцеві графи , тобто графи, у яких як V, так і E кінцеві.

У приведеному визначенні графа E не випадково названо сімейством пар, а не безліччю. Справа в тім, що елементи E можуть бути не унікальні, тобто можливі кратні ребра . Існує інше, більш коректне визначення: граф визначається як трійка G=(V,E,), де V - безліч вершин, E - безліч ребер, а =(v,u,e) - тримісний предикат (булевська функція від трьох перемінних), що повертає True тоді і тільки тоді, коли ребро e інцидентне вершинам v і u. Однак такі "строгості" у нашому викладі є надмірними.

Якщо порядок елементів, що входять у e_i , має значення, то граф називається орієнтованим (directed graph), скорочено - орграф (digraph), інакше - неорієнтованим (undirected graph). Ребра орграфа називаються дугами (arcs). Надалі будемо вважати, що термін "граф", застосовуваний без уточнень "орієнтований" чи "неорієнтований", позначає неорієнтований граф.

Приклад: G=(V,E); V={1,2,3,4}; E=<(1,1), (1,2), (1,3), (2,4), (2,4)>

G
Якщо e=(v,u), те вершини v і u називаються кінцями ребра . При цьому говорять, що ребро e є суміжним (інцидентним ) кожної з вершин v і u. Вершини v і u також називаються суміжними (інцидентними). У загальному випадку, допускаються ребра виду e=(v,v); такі ребра називаються петлями .

Ступінь вершини графа - це число ребер, інцидентних даній вершині, причому петлі враховуються двічі. Оскільки кожне ребро інцидентне двом вершинам, сума ступенів усіх вершин графа дорівнює подвоєній кількості ребер: Sum(deg(v_i ), i=1..|V|)=2|E|.

Граф, що не містить петель і кратних ребер, називається звичайним , чи простим графом (simple graph). У багатьох публікаціях використовується інша термінологія: під графом розуміється простий граф, граф із кратними ребрами називають мультиграфом , з петлями - псевдографом .

Деякі класи графів одержали особливі найменування. Граф з будь-якою кількістю вершин, не утримуючих ребер, називається порожнім . Звичайний граф з n вершинами, будь-яка пара вершин якого з'єднана ребром, називається повним і позначається K_n (очевидно, що в повному графі n(n-1)/2 ребер).

Граф, вершини якого можна розбити на непересічні підмножини V₁ і V₂ так, що ніякі дві вершини, що належать тому самому підмножині, не суміжні, називається двочастковим (чи біхроматичним, чи графом Кенига) і позначається B_mn (m=|V₁ |, n=|V₂ |, m+n=|V|). Повний двочастковий граф - такий двочастковий граф, що кожна вершина безлічі V₁ зв'язана з усіма вершинами безлічі V₂ , і навпаки; позначення - K_mn . Зауваження: повний двочастковий граф B_mn не є повним (за винятком B₁₁ =K₂ ).

B₃₃

Підграфом , чи частиною графа G=(V,E) називається такий граф G'=(V',E'), що V'V і дві несуміжні вершини в G не суміжні в G'. Повним підграфом називається підграф, будь-яка пара вершин якого суміжна.

Основним підграфом (суграфом) графа G називається будь-який його підграф, що містить ту ж безліч вершин, що і G.

Ізоморфізм, гомеоморфізм

Графи G₁ =(V₁ ,E₁ ) і G₂ =(V₂ ,E₂ ) називаються ізоморфними (позначення: G₁ ~G₂ ), якщо між графами існує взаємо-однозначне відображення : G₁ G₂ (V₁ V₂ , E₁ E₂ ), що зберігає відповідність між ребрами (дугами) графів, тобто для будь-якого ребра (дуги) e=(v,u) вірно: е'=(v,u)=((v),(u)) (eE₁ , е'E₂ ). Відображення  називається ізоморфним відображенням .

Іншими словами, ізоморфні графи розрізняються тільки позначенням вершин.

Ізоморфні графи. Одне з ізоморфних відображень: (0,0), (1,3), (2,5), (3,6), (4,7), (5,2), (6,1), (7,4), (8,9), (9,8).

Характеристики графів, інваріантні відносно ізоморфизмов графів (тобто приймаючі однакові значення на ізоморфних графах), називаються інваріантами графів.

Підрозділом ребра (v₁ ,v₂ ) графи називається операція додавання в граф вершини v' і заміни цього ребра на два суміжних ребра (v₁ ,v') і (v',v₂ ): V'=V+{v'}, E'=E-{(v₁ ,v₂ )}+{(v₁ ,v')}+{(v',v₂ ).

Граф G' називається підрозділом графа G, якщо він може бути отриманий з G шляхом кінцевого числа підрозділів ребер.

Дві графи називаються гомеоморфними , якщо для них існують ізоморфні підрозділи.

Шляхи і цикли

Шляхом у графі (чи маршрутом в орграфі) називається послідовність вершин, що чергується, і ребер (чи дуг - в орграфі) виду _v 0, (_v 0,_v 1), _v 1, ... , (v_n-1 ,v_n ), v_n . Число n називається довжиною шляху . Шлях без повторюваних ребер називається ланцюгом , без повторюваних вершин - простим ланцюгом . Шлях може бути замкнутим (v₀ =v_n ). Замкнутий шлях без повторюваних ребер називається циклом (чи контуром в орграфі); без повторюваних вершин (крім першої й останньої) - простим циклом .

Твердження 1. Якщо в графі існує шлях, що веде з вершини v₀ у v_n , то існує і простий ланцюг між цими вершинами.

Доказ: такий простий ланцюг можна побудувати, "викинувши" зі шляху всі цикли.

~

Граф називається зв'язковим , якщо існує шлях між будь-якими двома його вершинами, і незв'язним - у противному випадку. Незв'язний граф складається з декількох зв'язних компонентів (зв'язкових підграфов).

Для орграфів поняття св'язаність є більш складним: розрізняють сильну св'язаність, однобічну звязність і слабку зв’язність. Орграф називається сильно зв'язковим , якщо для будь-яких двох його вершин v і u існує як маршрут з v у u (v->u), так і з u у v (u->v). Орграф називається односторонньо зв'язковим , якщо для будь-яких двох його вершин u і v існує по крайньої один з маршрутів v->u чи u->v. Нарешті, орграф називається слабко зв'язковим , якщо зв'язний неорієнтований граф, одержуваний з цього орграфа шляхом зняття орієнтації з дуг. Очевидно, що будь-який сильно зв'язний граф є односторонньо зв'язковим, а односторонньо зв'язний - слабко зв'язковим, але не навпаки.

Дерева

Деревом називається довільний зв'язний граф без циклів.

Лема 1. Нехай G=(V,E) - зв'язний граф, вершини v₁ і v₂ якого не суміжні. Тоді в графі G'=(V,E+(v₁ ,v₂ )) існує простий цикл, що проходить через ребро (v₁ ,v₂ ).

Доказ: тому що G - зв'язний, у ньому існує шлях з v₂ і v₁ , а значить (по утвержденю 1),і простий ланцюг v₂ ...v₁ . Отже, у графі G' існує шлях v₂ ...v₁ (v₁ ,v₂ )v₂ , що є простим циклом (по визначенню).

~

Лема 2. Нехай G=(V,E) - зв'язний граф, ребро e=(v₁ ,v₂ ) якого входить у деякий цикл. Тоді граф G'=(V,E-e) - також зв'язний, тобто при видаленні кільцевого ребра (ребра, що входить у деякий цикл) зі зв'язного графа цей граф залишається зв'язковим.

Доказ: тому що G - зв'язний, у ньому існує шлях S між будь-якими двома вершинами v_i і v_j . Якщо e не входить у шлях S=v_i ...v_j , то цей шлях існує й у графі G', а виходить, G' залишається зв'язковим. Інакше (e входить у цей шлях): S=v_i ...v₁ (v₁ ,v₂ )v₂ ...v_j . За умовою e - входить у деякий цикл, отже, існує замкнутий шлях C=v₂ (v₂ ,v₁ )v₁ Tv₂ (початком замкнутого шляху ми можемо вважати будь-яку його вершину), причому ребро e=(v₁ ,v₂ ) не входить у T (якщо існує шлях між вершинами, то існує і шлях, що є простим ланцюгом - див. утвердження 1). Але тоді існує шлях S'=v_i ...v₁ Tv₂ ...v_j , у котрій не входить ребро e=(v₁ ,v₂ ) і, отже, цей шлях існує в графі G'.

~

Лема 3. Нехай G=(V,E), p=|V|, q=|E|.
1) число зв'язних компонентів у G більше або дорівнює |V|-|E| (N_комп. p-q);
2) якщо в G немає циклів, то число зв'язних компонентів у G дорівнює |V|-|E| (N_комп. =p-q).

Доказ: побудуємо порожній граф з p вершинами (очевидно, у ньому рівно p зв'язкових компонент) і будемо додавати ребра по одному.

При додаванні ребра можливі дві ситуації: (а) нове ребро з'єднує вершини, що знаходилися до цього в різних компонентах (у цьому випадку кількість компонент зменшується на одиницю) і (б) нове ребро з'єднує вершини, що належать одному компоненту (число компонентів не змінюється). Отже, при додаванні q ребер число компонент зменшиться не більше ніж на q, і, отже, кількість компонентів у графі буде більше або дорівнює p-q. Це доводить твердження (1).

Відповідно до леми 1, при додаванні ребра в зв'язний граф у ньому з'являється цикл. Якщо в графі немає циклів, це означає, що при додаванні ребер завжди відбувався варіант (а) - інакше з'явилися б цикли. Отже, число компонентів при кожнім додаванні ребра зменшувалося на одиницю, і після додавання q ребер у графі буде рівно p-q компонент. Це доводить твердження (2).

~

Наслідок 1 леми 3: якщо |E||V|-2, те граф G=(V,E) незв'язний (випливає безпосередньо з лемі 3).

Теорема 1. Любою зв'язний граф містить підграф, що є деревом.

Доказ: якщо в зв'язному графі немає циклів, то він уже є деревом по визначенню. Інакше знаходимо будь-як кільцеве ребро і видаляємо його; відповідно до лемми 2 граф залишається зв'язковим. Продовжуємо процес, поки в графі існують цикли. У силу кінцівки графа цей алгоритм побудує дерево за кінцеве число кроків.

Зауваження: фактично доведене більш сильне твердження - що будь-який зв'язний граф містить основній підграф (підграф з тією же кількістю вершин, що і сам граф), що є деревом.

~

Теорема 2. Для будь-якого дерева G=(V,E) вірно: |V|-|E|=1.

Доказ: по визначенню, у дереві немає циклів, отже, відповідно до леми 3 у ньому рівно |V|-|E| зв'язкових компонент. Але по визначенню дерево зв'язне, тобто складається з одного зв'язного компонента, тому |V|-|E|=1.

~

Теорема 3. Наступні властивості графів еквівалентні:

1. G=(V,E) - дерево;
2. будь-які дві вершини G з'єднані єдиним простим ланцюгом;
3. G - граф без циклів, у якого |E|=|V|-1;
4. G - зв'язний граф, у якого |E|=|V|-1;
5. G - зв'язний граф, але при видаленні будь-якого ребра він стає незв'язним;
6. G - граф без циклів, але при додаванні будь-якого ребра в ньому з'являється рівно один (з точністю до завдання початкової вершини і напрямку обходу) простий цикл.

Доказ: доведемо теорему в послідовності (1)<=>(2), (2)=>(3)=>(4)=>(5)=>(6)=>(1).

(1)=>(2): допустимо, що деякі дві вершини v₁ і v₂ графа G з'єднані, принаймні, двома різними простими ланцюгами L₁ =u₁ ....u_k , де u₁ =v₁ і u_k =v₂ , і L₂ =w₁ ....w_m , де w₁ =v₁ і w_m =v₂ . З того, що ланцюги є простими і різними, випливає, що існує число j, 1<j<min(k,m), таке, що u_j-1 w_j-1 , u_j w_j , ... , u_j+a-1 w_j+b-1 , u_j+a w_j+b , де a1, b1. Отже, у G існує цикл ІЗ=u_j-1 (u_j-1 ,u_j )u_j ...u_j+a (w_j+b ,w_j+b-1 )w_j+b-1 ... w_j (w_j ,w_j-1 )w_j-1 (див. малюнок) - одержали протиріччя з (1).

(2)=>(1):
(а) граф G є зв'язковим по визначенню связаність (будь-які дві вершини графа з'єднані ланцюгом);
(б) допустимо, що в графі G існує цикл, що проходить через деяку вершину v: C=v(v,u₁ )u₁ ....u_k (u_k ,v)v. Але це означає, що між v і кожної з вершин u_i існують, принаймні, два різних шляхи L₁ =v(v,u₁ )u₁ ...u_i-1 (u_i-1 ,u_i )u_i і L₂ =v(v,u_k )u_k ...u_i+1 (u_i+1 ,u_i )u_i (шляхи різні, тому що по визначенню в циклі відсутні повторювані ребра). У силу утвердження 1 з цих шляхів можна "виділити" прості ланцюги, що також будуть різні (у L₁ і L₂ немає співпадаючих ребер), - одержали протиріччя з (2).
З (а), (б) і визначення дерева випливає, що G є деревом. (2)=>(3): по теорема 2;
(3)=>(4): по лемма 3;
(4)=>(5): т.к. |E|=|V|-1, те після видалення ребра в новому графі буде |V|-2 ребер, і по слідству 1 лемки 3 цей граф буде незв'язним;
(5)=>(6):
(a) доведемо першу частину твердження (G - граф без циклів): допустимо, у G є цикли; але тоді при видаленні будь-якого кільцевого ребра він залишиться зв'язковим, що суперечить (4);
(б) доведемо другу частину твердження (при додаванні будь-якого ребра в G з'являється рівно один простий цикл): зі связаність графа і лемма 1 випливає, що при додаванні будь-якого ребра в G з'являється, як мінімум, один простий цикл; у силу (2) цей простий цикл єдиний (зворотне означало б, що в G існують вершини, з'єднані більш ніж одним простим ланцюгом);
(6)=>(1): допустимо, G - не дерево, тобто граф чи не зв'язний містить цикли. Циклів не може бути в силу (5а), тому залишається варіант: G - незв'язний і складається мінімум із двох компонентів. Але тоді при додаванні ребра між вершинами, що належать різним компонентам, цикли не утворяться, а це суперечить (5б).

~

Основним деревом (кістяком) зв'язного графа називається будь-який його основний підграф, що є деревом.

Існування основного підграфа для будь-якого зв'язного графа доводиться теоремою 1.

Загальне число основних дерев зв'язного графа може бути дуже велика. Так, для повного графа з n вершинами воно дорівнює n^n-2 (без доказу).

Граф і два його основних дерева (вилучені ребра показані пунктиром).

Для довільного (можливо, незв'язного) графа G основне дерево визначається як будь-який його основний підграф, не утримуючих циклів і маючи стільки ж компонентів связаність, що і G.

Цикломатичне число і фундаментальні цикли

Цикломатичрим числом графа G=(V,E) називається з k зв'язковими компонентами називається число (G)=|E|-|V|+k.

Фундаментальним циклом графа G=(V,E) з основним деревом T=(V,E') називається простий цикл, одержуваний у результаті додавання в T одного з ребер G, не приналежного E'.

Твердження 1. Кількість фундаментальних циклів графа G=(V,E) при будь-якому фіксованому основним дереві T=(V,E') дорівнює цикломатичному числу G.

Доказ: відповідно до лемма 3 п.2, k=|V|-|E'|, отже, <кількість ребер G, не приналежних E'> = |E|-|E'| = |E|-(|V|-k) = (G). При додаванні кожного з цих ребер у T з'являється рівно один простий цикл у силу теоремі 3 п.6; всі одержувані при цьому прості цикли різні, тому що кожний з них містить принаймні одне унікальне ребро - те саме ребро G, не приналежне E', що було додано в дерево.

~

Компланарні графи

Зіставивши вершинам графа крапки на чи площині в просторі, а ребрам - лінії, що з'єднують крапки, що відповідають кінцям ребра, можна одержати діаграму - візуальне представлення даного графа.
Очевидно, що для будь-якого графа можна побудувати нескінченну кількість таких діаграм. Якщо на деякій діаграмі серед крапок, що відповідають вершинам графа, немає співпадаючих, а лінії, що відповідають ребрам графа, не мають загальних крапок (за винятком кінців), то ця діаграма називається геометричною реалізацією графа.

Теорема 1. Для будь-якого графа існує геометрична реалізація в тривимірному евклідовому просторі.

Доказ:

1. реалізуємо |V| крапок, що відповідають вершинам графа, на одній прямій;
2. проведемо через цю пряму |E| різних на півплощин;
3. реалізуємо кожне ребро у своїй на півплощині.

~

Виникає питання: чи будь-який граф можна реалізувати на площині? Відповідь - негативний. Геометричну реалізацію на площині допускають лише деякі графи; такі графи називаються компланарними.

Для наступного викладу нам знадобиться поняття грані . Неформально визначимо грань як частина площини, на які площина "розрізається" лініями геометричної реалізації графа. Завжди існує необмежена зовнішня грань.

- 7 вершин, 8 ребер, 3 грані

Формула Ейлера. Для будь-якої геометричної реалізації графа G=(V,E) на площині вірно: p-q+r=2, де p=|V|, q=|E|, r - число граней (без доказу).

Теорема 2. Якщо в зв'язковому планарним графі немає циклів довжини менше k і k3, то qk(p-2)/(k-2), де p=|V|, q=|E|.

Доказ (не зовсім формальне): нехай граф реалізований на площині і при цьому вийшло r граней. Нехай q_i - число сторін у i-й грані (див. малюнок). Кожне ребро є стороною двох граней, тому 2q=Sum(q_i , i=1..r). По умови в графі немає циклів довжини менше k, але тоді q_i k (тому що сторони грані утворять цикл) і 2q=Sum(q_i , i=1..r)kr. По формулі Эйлера r=2-p+q, отже, 2qk(2-p+q), з чого випливає доказувана нерівність.

- 8 ребер, 3 грані, 3+6+7=16 сторін
~

Наслідок 1 теореми 2: для будь-якого зв'язкового пленарного графа без петель і кратних ребер виконується нерівність: q3(p-2), де p=|V|, q=|E|.

Доказ: тому що за умовою в графі немає петель і кратних ребер, у ньому немає і циклів довжини менше 3, тому, підставляючи k=3 у нерівність теоремі 2, одержуємо: qk(p-2)/(k-2)=3(p-2).

~

Теорема 3. Граф K₅ не компланарний.

Доказ: K₅ зв'язний, у ньому немає петель і кратних ребер, але наслідок 1 теореми 2 не виконується - q=10>3(p-2)=9. Виходить, K₅ не компланарний.

~

Теорема 4. Граф K₃₃ не компланарний.

Зауваження: використання наслідку 1 теореми 2 тут не допоможе, тому що q=9<3(p-2)=12.

Доказ: у K₃₃ немає циклів довжини менше 4, тому застосуємо нерівність теоремі 2 безпосередньо (при k=4): q=9>4(p-2)/2=8. Отже, K₃₃ не компланарний.

~

Теорема Понтрягіна-Куратовского (критерій компланарності графів). Граф G планарин тоді і тільки тоді, коли він не містить підграфов, гомеоморфних K₅ чи K₃₃ .

Доказ: необхідність випливає з тверджень 1-4 (див. нижче), а також з того факту, що графи K₅ і K₃₃ не компланарні (відповідно до теорем 3 і 4).

Твердження 1 : якщо графи U₁ і U₂ ізоморфні, то U₁ компланарний тоді і тільки тоді, коли U₂ компланарний.

Доказ: будь-яка геометрична реалізація U₁ є геометричною реалізацією U₂ , і навпаки.

Твердження 2 : будь-який підрозділ U' графа U компланарний тоді і тільки тоді, коли U компланарний.

Доказ:
(=>) граф U' компланарний, отже, існує його геометрична реалізація на площині R'. Побудуємо по R' плоску геометричну реалізацію R графа U. Для цього об'єднаємо всі лінії R', що відповідають ребрам U', отриманим у результаті виконання операцій підрозділу ребер. У силу існування R граф U є компланарним.
<=) граф U компланарний, отже, існує його геометрична реалізація на площині R. Побудуємо по R плоску геометричну реалізацію R' графа U'. Для цього повторимо в будь-якій послідовності операції підрозділу ребер, що привели до побудови U'. Після виконання кожної з цих операцій будемо розбивати лінію, що відповідає ребру, що підрозділяється, на двох ліній (розбивка можна робити в будь-якій крапці, що не збігається з кінцями лінії). У силу існування R' граф U' є компланарним.

Твердження 3: якщо графи U₁ і U₂ гомеоморфні, те U₁ компланарний тоді і тільки тоді, коли U₂ компланарний.

Доказ:
(=>) за умовою U₁ і U₂ гомеоморфні  {по визначенню}  існують їхні ізоморфні підрозділи U₁ ' і U₂ '. За умовою граф U₁ компланарний  {по утв.2}  граф U₁ ' компланарний  {по утв.1}  ізоморфний йому граф U₂ ' компланарний  {по утв.2}  граф U₂ компланарний.
(<=) аналогічно.

Твердження 4: якщо підграф U' графа U не компланарний, те U також не компланарний.

Доказ: допустимо, що граф U компланарний. Отже, існує його плоска геометрична реалізація R. Але тоді можна побудувати плоску геометричну реалізацію R' графа U': для цього досить видалити з R крапки і лінії, що відповідають тим вершинам і ребрам U, яких немає в U'. З існування R' випливає, що U' компланарний - одержали протиріччя.

Достатність теореми доводиться набагато складніше (див., наприклад, [3]).

~

Існують і інші критерії компланарності графів [3].

Розфарбування графів

Верховим розфарбуванням (далі - просто розфарбуванням) графа називається відображення безлічі вершин графа на кінцеву безліч (безліч квітів); n-розфарбування графа - розфарбування з використанням n квітів. Розфарбування називається правильної , якщо ніякі дві вершини одного кольору не суміжні. Очевидно, що для графа без петель завжди існує правильне розфарбування в |V| квітів.

Хроматичним числом графа G називається мінімальне число n=(G), таке, що існує правильне n-розфарбування.

Лема 1. У будь-якому компланарному графі без петель і кратних ребер існує вершина ступеня не більш п'яти.

Доказ: допустимо, що ступеня усіх вершин перевершують 5. Тоді 2q=Sum(deg(v_i ), i=1..|V|)p і q3p. Але по слідству 1 теореми 2 повинне виконуватися нерівність q3(p-2)<3p - одержали протиріччя.

~

Теорема про п'ять фарб. Кожен компланарний граф без петель і кратних ребер є не більш ніж 5-хроматичним.

Доказ: (індукцією по числу вершин).

При p=1 твердження теореми вірно. Допустимо, що (*) твердження вірне для всіх p<p₀ . Доведемо, що тоді воно вірно і для p₀ .

Розглянемо компланарний граф G без петель і кратних ребер з p₀ вершинами; по лемі 1 у ньому є вершина v₀ ступеня не більш 5. По припущенню індукції (*) граф G', одержуваний видаленням з G вершини v₀ (очевидно, також компланарний), може бути розфарбований не більш, ніж у 5 квітів. Нехай (**) v₁ ...v_k , k=deg(v₀ ) - усі вершини-сусіди вершини v₀ , розташовані по годинній стрілці відносно v₀ . Якщо в розфарбуванні вершин v₁ ...v_k використовується не більш 4-х квітів, то "пофарбуємо" вершину v₀ у що залишився 5-й колір і одержимо правильне розфарбування.

Залишилося розглянути випадок, коли в розфарбуванні вершин v₁ ...v_k у графі G' використовується 5 квітів (k=5). Нехай c_i - колір вершини v_i (i=1..5). Розглянемо безліч A, що складається з вершини v₁ і усіх вершин графа G, крім v₀ , у котрі можна дійти з v₁ тільки по вершинах квітів c₁ і c₃ . Можливі два випадки:

1. v₃ A;
2. v₃ A.

У першому випадку поміняємо кольору вершин безлічі A (c₁ c₃ ); фарбування при цьому залишиться правильної. Дійсно, безліч A складається по визначенню з усіх вершин квітів c₁ і c₃ , у котрі можна дійти з v₁ , тому серед вершин, суміжних вершинам, що належать A, немає вершин квітів c₁ чи c₃ . Після заміни квітів вершин безлічі A вершина v₁ одержить колір з₃ , отже, можна використовувати колір c₁ для "фарбування" вершини v₀ і одержати в такий спосіб правильне розфарбування графа G.

Залишається другий випадок. З приналежності вершини v₃ безлічі A випливає, що існує шлях з v₁ у v₃ (v₁ Sv₃ ), що проходить тільки по вершинах квітів c₁ і c₃ (див. малюнок). Розглянемо цикл L=v₁ Sv₃ (v₃ ,v₀ )v₀ (v₀ ,v₁ )v₁ і замкнуту криву, що відповідає цьому циклу в геометричній реалізації графа. Вершина v₂ знаходиться усередині цієї замкнутої кривої, а v₄ - зовні. Це випливає, по-перше, з того, що лінії, що відповідають ребрам графа в його геометричній реалізації, не можуть перетинатися (не вважаючи кінців), і, по-друге, з (**).Визначимо безліч B, що складається з вершини v₂ і усіх вершин графа G, крім v₀ , у котрі можна дійти з v₂ тільки по вершинах квітів c₂ і c₄ . Вершина v₄ не належить B, оскільки будь-який шлях з v₂ у v₄ повинний проходити, принаймні, через одну вершину, що належить циклу L - тобто або через вершину v₀ , або через вершину, пофарбовану в кольори c₁ чи c₃ . Отже, як і в першому випадку, можна поміняти кольору вершин безлічі B (c₂ c₄ ) і "пофарбувати" v₀ у c₂ .

~

Теорема про чотири фарби. Кожен компланарний граф без петель і кратних ребер є не більш ніж 4-хроматичним.

Проблема чотирьох фарб залишалася невирішеної протягом багатьох літ. Затверджується, що ця теорема була доведена за допомогою хитромудрих міркувань і комп'ютерної програми в 1976 році (Kenneth Appel and Wolfgang Haken. Every Planar Map is Four Colorable. Contemporary Mathematics 98, American Mathematical Society, 1980). Короткий виклад ідеї їхнього доказу мається в [3].

Графи з атрибутами

У багатьох випадках елементам (вершинам і ребрам) графа ставляться у відповідність різні дані - атрибути (мітки). Якщо як атрибути використовуються цілі чи речовинні числа, то такі графи називають зваженими . Фактично, зважений граф - це функція, визначена на графі. Як атрибути можуть виступати і нечислові дані, тому я буду називати графів з атрибутами позначеними , чи атрибутованнями (Графами-а-графами). Наприклад, структурні формули хімічних сполук представляються молекулярними графами - А-графами, вершини яких відповідають атомам хімічної структури, а ребра - валентним зв'язкам між атомами. Для вершин молекулярного графа визначений, принаймні, атрибут "номер атома в періодичній таблиці елементів", для ребер - "тип валентного зв'язку (одинарна, подвійна, потрійна й ін.)"; можуть використовуватися додаткові атрибути, наприклад, заряд атома.

Для графів з атрибутами можна ввести посилене визначення ізоморфізму: будемо вважати дві А-графи ізоморфними, якщо вони ізоморфні в звичайному змісті, і, крім того, ізоморфне відображення зберігає атрибути (тобто атрибути відповідних вершин і ребер в обох графах збігаються).

Незалежні безлічі і покриття

Незалежна безліч вершин (НМВ) - безліч вершин графа, ніякі дві вершини якого не інцидентні.

Максимальна незалежна безліч вершин (МНМВ) - НМВ, що не міститься ні в якому іншому НМВ.

Зауваження: у даному визначенні "максимальність" означає "нерозширюваність"; у загальному випадку граф може мати трохи МНМВ різної потужності.

Найбільша незалежна безліч вершин - НМВ максимальної потужності.

Потужність найбільшого НМВ (очевидно, це одне з МНМВ) називається верховим числом незалежності графа (а також нещільністю , числом внутрішньої чи стійкості числом верхового упакування графа); позначення - (G).

Незалежна безліч ребер (НМР) , чи паросполучення - безліч ребер графа, ніякі два ребра якого не інцидентні.

Потужність найбільшого паросполучення називається числом паросполучення графа; позначення - (G).

Домінуюче безліч вершин (ДМВ) - така безліч вершин графа, що кожна вершина графа або належить ДМВ, або інцидентна деякій вершині, що належить ДМВ.

Верхове покриття (ВП) - така безліч вершин графа, що кожне ребро графа інцидентне хоча б одній вершині, що належить ДМВ.

Потужність найменшого верхового покриття називається числом верхового покриття графа; позначення - (G).

Домінуюче безліч ребер (ДМР) , чи реберне покриття - така безліч ребер зв'язного графа, що кожна вершина графа інцидентна хоча б одному ребру, що входить у ДМР.

Потужність найменшого ДМР називається числом реберного покриття графа; позначення - (G).

На малюнку позначені реберне покритті графа (пунктиром), МНМВ (білі вершини) і верхове покриття (чорні вершини).

Величини (G), (G), (G) і (G) є інваріантами графа. Між цими інваріантами існує зв'язок, установлювана наступними лемами.

Лема 1. Безліч S є найменшим верховим покриттям графа G=(V,E) тоді і тільки тоді, коли T=V(G)\S є найбільшою незалежною безліччю вершин графа.

Доказ:
(=>)
1. доведемо, що ніякі дві вершини, що входять у T, не інцидентні (тобто T є НМВ). Допустимо зворотне: (v_i ,v_j )E(G), v_i T, v_j T. Але це означає, що ребро (v_i ,v_j ) не покривається безліччю S - протиріччя з визначенням ВП.
2. T є найбільшим НМВ у силу мінімальності |S| і тотожності |S| + |V(G)\S|  |V(G)|.
(<=)
1. доведемо, що кожне ребро G інцидентне хоча б одній вершині S (тобто S є ВП). Допустимо зворотне: (v_i ,v_j )E(G), v_i S, v_j S. Але це значить, що v_i T, v_j T - протиріччя з визначенням НМВ.
2. аналогічно доказу (=>).

~

Наслідок 1 леми 1. Для будь-якого графа G=(V,E) сума числа верхового покриття і верхового числа незалежності постійна і дорівнює кількості вершин G: (G)+(G)=|V(G)|.

Лема 2. Якщо граф G=(V,E) не має ізольованих вершин, то сума його числа паросполучення і числа реберного покриття постійна і дорівнює кількості вершин G: (G)+(G)=|V(G)|.

Доказ:

1) Нехай C - найменше реберне покриття G, що містить (G) ребер. Розглянемо підграф GC графа G, утворений безліччю ребер C і інцидентними вершинами G; по визначенню покриття в нього входять усі вершини G. Оскільки C є найменшим, GC складається з однієї чи більшої кількості компонентів, кожна з який є деревом (дійсно, у противному випадку можна було б "викинути" з них кільцеві ребра й одержати покриття меншої потужності). По теоремі 2 кількість ребер у кожнім компоненті GS_i графа GC на одиницю менше кількості вершин: |E(GC_i )| = |V(GC_i )| - 1. Просуммировав ці рівності для всіх i, одержимо: |E(GC)| = |V(GC)| - p, де p - кількість компонентів у GС, отже, p = |V(G)| - (G). З іншого боку, якщо взяти по одному ребру з кожного компонента GC, одержимо деяке паросполучення, отже, (G)  p = |V(G)| - (G) і (G) + (G)  |V(G)| (*).

2) Нехай M - найбільше паросполучення G, що містить (G) ребер. Розглянемо безліч U вершин графа G, не покритих М. З визначення паросполучення випливає, що |U| = |V(G)| - 2|M| = |V(G)| - 2(G). Безліч U є незалежним (дійсно, якби дві довільні вершини U "зв'язувалися" ребром, то можна було б додати це ребро M і одержати паросполучення більшої потужності). Оскільки G за умовою не має ізольованих вершин, для кожної вершини, що входить у U, існує ребро, що покриває неї. Позначимо безліч таких ребер через S. Безлічі M і S не перетинаються, тому |M  S| = |M| + |S| = (G) + |U| = |V(G)| - (G). Об'єднання M і S є реберним покриттям графа по визначенню, отже, (G)  |M  S| = |V(G)| - (G) і (G) + (G)  |V(G)| (**).

З нерівностей (*) і (**) випливає результат леми.

~

Подальші результати справедливі тільки для двочасткових графів.

Теорема 1 (мінімаксная теорема Кеніга). Якщо граф G є двочастковим, то (G) = (G).

(без доказу)

Визначення: зроблене паросполучення (1-фактор) - паросполучення, що покриває усі вершини графа.

Нехай X - довільна підмножина вершин графа G=(V,E). Позначимо через (X) безліч вершин G, інцидентних вершинам X.

Теорема 2 (теорема про весілля). Якщо G - двочастковий граф з частками P₁ і P₂ , то G має зроблене паросполучення тоді і тільки тоді, коли |P₁ | = |P₂ | і, принаймні, одне з P_i (i=1..2) володіє тим властивістю, що для будь-якого X P_i виконується нерівність |X|  |(X)|.

(без доказу)

Назва теореми зв'язана з наступною "несерйозною" задачею: визначити, чи можливо "переженити" групу юнаків і дівчин так, щоб усі залишилися задоволені. Якщо допустити, що всі "симпатії" взаємні (припущення, прямо скажемо, нереалістичне), то задача зводиться до перебування зробленого паросполучення в двочастковому графі, вершини однієї з часток якого відповідають юнакам, іншої - дівчинам, і дві вершини зв'язані ребром тоді і тільки тоді, коли юнак і дівчина подобаються один одному.

2.Задача знаходження мінмального шляху в графах :

Алгоритм Дейкстра

Розглянемо задачу про найкоротший шлях. Нехай G=(V,E) - зважений зв'язний граф з ненегативними вагами ребер (дуг). Вага f(e) ребра e інтерпретуємо як відстань між вершинами, суміжними даному ребру. Для заданої початкової вершини s і кінцевої вершини t шукається простий ланцюг, що з'єднує s і t мінімальної ваги. (s,t) - ланцюг мінімальної ваги називають найкоротшим (s,t) - шляхом. Очевидно, рішення задачі існує. Опишемо один з можливих алгоритмів рішення (Е. Дейкстра, 1959 р.).

Ініціалізація:

1. усім вершинам v_i приписується мітка - речовинне число: d(s)=0, d(v_i )=+ для всіх v_i s;
2. мітки усіх вершин, крім s, вважаються тимчасовими, мітка s - постійної;
3. вершина s з'являється поточної (c:=s);
4. усі ребра (дуги) вважаються непоміченими.

Основна частина:

1. для усіх вершин u_j , інцидентних поточній вершині c, мітки яких є тимчасовими, перераховуємо ці мітки по формулі: d(u_j ):=min{d(u_j ), d(c)+Weight(c,u_j )} (*), де (c,u_j ) - ребро (дуга), що з'єднує вершини c і u_j , а Weight(c,u_j ) - її вага; при наявності кратних ребер вибирається ребро з мінімальною вагою;
2. якщо мітки усіх вершин є постійними або рівні , те шлях не існує; ВИХІД("немає рішення");
3. інакше знаходимо серед вершин з тимчасовими мітками (серед усіх таких вершин, а не тільки тих, чиї мітки змінилися в результаті останнього виконання кроку (1)!) вершину x з мінімальною міткою, повідомляємо її мітку постійної, позначаємо ребро (дугу) (с',x), таке, що d(x) = d(с')+Weight(с',x), де с'=з або с' - вершина, що була поточної на одному з попередніх кроків (с'=з, якщо на кроці (1) при u_j =x реалізувалася друга частина формули (*)), і робимо цю вершину поточної (c:=x);
4. якщо c=t, то знайдений шлях довжини d(t), якому можна відновити в такий спосіб: це той шлях між s і t, що складається тільки з позначених на кроці (3) ребер (дуг) (можна довести, що він існує й единий); ВИХІД("рішення знайдене");
5. інакше переходимо на крок (1).

Алгоритм можна модифікувати так, щоб він закінчував роботу після одержання усіма вершинами графа G постійних міток, тобто знаходяться найкоротші шляхи з s в усі вершини графа. Алгоритм визначить основне дерево в найкоротших шляхів з вершини s. Для будь-якої вершини v єдиний (s,v) - шлях у дереві в буде найкоротшим (s,v) - шляхом у графі G.

Алгоритм Дейкстра не завжди знаходить правильне рішення у випадку довільних ваг ребер (дуг) графа. Наприклад, для орграфа, зображеного на малюнку, алгоритм Дейкстра знайде маршрут s(s,t)t довжини 1 між вершинами s і t, а не мінімальний маршрут довжини 2+(-2)=0, що проходить через третю вершину графа.

Приклад орграфа, для якого не будем застосовувати алгоритм Дейкста.

Текст програми написаної на основі алгоритму Дейкстра

/* Алгоритм пошуку дерева найкоротших шляхів у зваженому графі */

/* Е.Дейкстра 1959 р. */

#include <stdio.h>

#include <stdlib.h>

#include <float.h>

int load_matrix(int n, double* weigh); /* Уведенняматриціваг */

int deik(int n, int s, double* weigh, int* Q, double* L); /* Алгоритмпошуку */

void print(int n, int* Q, double* L); /* Висновокрезультату */

void main(void){

int n=0,s=0,ret=0;

double *weigh;

int* Q; /* Масив міток покажчиків на попередню вершину */

double* L; /* Масив найдених ваг шляху до вершини */

printf("\nАлгоpитм пошуку дерева найкоротших шляхів у зваженому графі.\n");

printf("Е.Дейкстpа, 1959 р.\n");

printf("\nВведіть кількість вершин..");

scanf("%d",&n);

if (n <= 1){

printf("\nКількість вершин повинне бути більше одиниці!\n");

exit(1);

}

printf("\nВведіть початкову вершину..");

scanf("%d",&s);

s--;

if ((s < 0)||(s > (n-1))){

printf("\nПочаткова вершина зазначена неправильно! \n");

exit(1);

}

Q=malloc(n*sizeof(int));

L=malloc(n*sizeof(double));

weigh=malloc(sizeof(double)*n*n);

if ((weigh == NULL)||(Q == NULL)||(L == NULL)){

printf("\nHедостатньо пам'яті для завантаження масиву! \n");

exit(2);

}

ret=load_matrix(n,weigh);

if (ret != 0){

printf("\nПомилкавведенняданих!\n");

exit(5);

}

ret=deik(n,s,weigh,Q,L);

if (ret != 0){

switch (ret){

case 1 :

printf("\nГpафнеєзв'язаним!\n");

exit(3);

case 2 :

printf("\nHедостаточнопам'ятідляроботи!\n");

exit(4);

}

}

print(n,Q,L);

free(weigh);

free(Q);

free(L);

}

int load_matrix(int n, double* weigh){

int i,j,k;

double tmp;

for (i=0; i < n; i++){

for (j=0; j < n; j++){

weigh[n*i+j]=(-1);

}

}

printf("\nВведіть послідовно ваги ребер для зазначених чи вершин -1 для несуміжних.");

for (i=0; i < n; i++){

for (j=i+1; j < n; j++){

printf("\nВеpшини %d і %d ",i+1,j+1);

k=scanf("%lf",&tmp);

if (k != 1){return(1);}

weigh[i*n+j]=tmp;

}

}

return(0);

}

int deik(int n,int s, double* weigh, int* Q, double* L){

int i,j,k;

int* QI; /* Масив індикаторів сталості міток покажчиків */

double tmp;

QI=calloc(n,sizeof(int));

if (QI == NULL){return(2);}

QI[s]=1;

for (i=0; i < n; i++){

Q[i]=(-1);

L[i]=DBL_MAX;

}

Q[s]=s;

L[s]=0;

weigh[n*(n-1)+s]=0;

for (k=0; k < n; k++){ /* Основний цикл по вершинах */

for (i=0; i < n; i++){ /* Цикл по рядках матриці ваг */

for (j=i+1; j < n; j++){ /* Цикл по стовпцях матриці ваг */

if ((QI[i]+QI[j] == 1)&&

(QI[i]*QI[j] == 0)&&

(weigh[i*n+j] != (-1.0))&&

(((QI[i] == 1)&&((L[i]+weigh[i*n+j]) < L[j]))||

((QI[j] == 1)&&((L[j]+weigh[i*n+j]) < L[i])))){

if (QI[i] == 1){

L[j]=L[i]+weigh[i*n+j];

Q[j]=i;

}

else{

L[i]=L[j]+weigh[i*n+j];

Q[i]=j;

}

}

}

}

for (tmp=DBL_MAX,i=0; i < n; i++){

if ((tmp > L[i])&&(QI[i] == 0)){

tmp=L[i];

j=i;

}

}

QI[j]=1;

}

free(QI);

return(0);

}

void print(int n, int* Q, double* L){

int i;

printf("\n\nДеpевонайкоротшихшляхів:");

for (i=0; i < n; i++){

printf("\nВеpшина: %d Предок: %d Вага: %5.2lf",i+1,Q[i]+1,L[i]);

}

}

Результат виконання програми

Алгоритм пошуку дерева найкоротших шляхів у зваженому графі.

Е.Дейкстра, 1959 р.

Уведіть кількість вершин.. 6

Уведіть початкову вершину.. 6

Уведіть послідовно ваги ребер для зазначених чи вершин -1 для несуміжних.

Вершини 1 і 2 2

Вершини 1 і 3 -1

Вершини 1 і 4 2

Вершини 1 і 5 -1

Вершини 1 і 6 5

Вершини 2 і 3 2

Вершини 2 і 4 -1

Вершини 2 і 5 2

Вершини 2 і 6 -1

Вершини 3 і 4 -1

Вершини 3 і 5 -1

Вершини 3 і 6 12

Вершини 4 і 5 1

Вершини 4 і 6 2

Вершини 5 і 6 5

Дерево найкоротших шляхів:

Вершина: 1 Предок: 4 Вага: 4.00

Вершина: 2 Предок: 5 Вага: 5.00

Вершина: 3 Предок: 2 Вага: 7.00

Вершина: 4 Предок: 6 Вага: 2.00

Вершина: 5 Предок: 4 Вага: 3.00

Вершина: 6 Предок: 6 Вага: 0.00

Графічне зображення початкового графа та дерева мінімальних шляхів після виконання програми

4.Висновок

Ця курсова робота показує що дискретна математика, поряд з такими класичними розділами математики, як математичний аналіз, диференціальні рівняння, у навчальних планах спеціальності "Прикладна математика" і різні розділи по математичній логіці, алгебрі, комбінаториці і теорії графів тісно пов’язані із сучасним програмуванням. Причини цього неважко зрозуміти, просто розглянувши задачу, у цій курсовій роботі, яка за допомогою алгоритму Е. Дейкстра має змогу пошуку найкоротшого шляху в графі .

5 . Література

1. Зыков А.А. Теорія кінцевих графів. - Новосибірськ: Наука, 1969.

2. Харари Ф. Теорія графів. - М.: Світ, 1973.

3. Зыков А.А. Основи теорії графів. - М.: Наука, 1987.

4. Кристофидес Н. Теорія графів. Алгоритмічний підхід. - М.: Світ, 1978.

5. Майника Э. Алгоритми оптимізації на мережах і графах. - М.: Світ, 1981.

6. Ловас Л., Пламмер М. Прикладні задачі теорії графів. Теорія паросочетаний у математику, фізику, хімії. - М.: Світ, 1998.