Реферат: Методы прямоугольников и трапеций

Методы прямоугольников и трапеций. Простейшим методом чис­ленного интегрирования является метод прямоугольников. Он непосред­ственно использует замену определенного интеграла интегральной сум­мой (3.20). В качестве точек ξ _i могут выбираться левые (ξ = x _{i -1} ) или правые (ξ _i = x_i ) границы элементарных отрезков. Обозначая f{x_i ) = y_i , ∆x_i = h_i , получаем следующие формулы метода прямоугольников соот­ветственно для этих двух случаев:

∫ f(x) dx h₁ y₀ + h₂ y₁ + ... + h_n y_n-1 (3.24)

∫ f(x) dx h₁ y₁ + h₂ y₂ + ... + h_n y_n (3.25)

Широко распространенным и более точным является вид формулы пря­моугольников, использующий значения функции в средних точках элемен­тарных отрезков (в полуцелых узлах):

∫ f{x)dx , (3.26)

X_i-1/2 = (x_i-1 + x_i )/2 = x_i-1 + h_i /2, i = 1,2,... ,n.

В дальнейшем под методом прямоугольников будем понимать последний алгоритм (он еще называется методом средних).

В рассмотренных методах прямоугольников используется кусочно пос­тоянная интерполяция: на каждом элементарном отрезке функция f ( x ) приближается функцией, принимающей постоянные значения (констан­той). При этом площадь всей фигуры (криволинейной трапеции) при­ближенно складывается из площадей элементарных прямоугольников. На рис. 3.2 верхняя, средняя и нижняя горизонтальные штриховые линии от­носятся к элементарным прямоугольникам, которые соответствуют форму­лам (3.25), (3.26) и (3.24).

Метод трапеций использует линейную интерполяцию, т. е. график функ­ции у = f ( x ) представляется в виде ломаной, соединяющей точ­ки ( x_i , y_i ). В этом случае площадь всей фигуры приближенно складывается из площадей элементарных прямолинейных трапеций (рис. 3.2). Площадь каждой такой трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

σ_i = h_i , i=1,2,...,n.

Складывая все эти равенства, получаем фор­мулу трапеций для численного интегрирова­ния:

∫ f{x)dx (3.27)

y (x_i ,y_i )

(x_i-1 ,y_i-1 )

y_i-1 y_i

h_iV

x

x_i-1 x_i-1/2 x_i

Рис. З.2. Вычисление σ_i в ме­тодах

прямоугольников и трапеций

Важным частным случаем рассмотрен­ных формул является их применение при численном интегрировании с постоянным шагом h_i = h = const ( i = 1,2,..., n ). Формулы прямоугольников и трапеций в этом случае принимают соответственно вид

∫ f{x)dx, (3.28)

∫ f{x)dx(+). (3.29)

Погрешность численного интегрирования определя­ется шагом разбиения. Уменьшая этот шаг, можно добиться большей точ­ности. Правда, увеличивать число точек не всегда возможно. Если функция задана в табличном виде, приходится, как правило, ограничиваться дан­ным множеством точек. Повышение точности может быть в этом случае достигнуто за счет повышения степени используемых интерполяционных многочленов. Рассмотрим два таких способа численного интегрирования: использование квадратичной интерполяции (метод Симпсона) и интерпо­лирование с помощью сплайнов.

Метод Симпсона. Разобьем отрезок интегрирования [а, b ] на чет­ное число п равных частей с шагом h . На каж­дом отрезке [х₀ ,х₂ ], [х₂ ,х₄ ],... , [х _{i -1} ,х _{i +1} ], ... , [х _{n -2} , x_n ] подынтегральную функцию f ( x ) заменим интерполяционным многочленом вто­рой степени:

f(x) φ _i (x) = a_i x² +bⁱ x+c_i , x_i-1 x x_i+1 .

Коэффициенты этих квадратных трехчленов мо­гут быть найдены из условий равенства много­члена в точках х_i , соответствующим табличным данным у_i . В качестве φ _i (х) можно принять ин­терполяционный многочлен Лагранжа второй степени, проходящий через точки M_{i -1} (x_{i -1} ,y_{i -1} ), M_i (x_i ,y_i ), M_{i +1} (x_{i +1} , y_{i +1} ):

φ _i (x)= y_i-1 + y_i + y_i+1 .

Сумма элементарных площадей σ_i и σ_{i +1} (рис. 3.3) может быть вычис­лена с помощью определенного интеграла. Учитывая равенства x_{i +1} – x_i = x_i - x_{i -1} = h , получаем

σ_i + σ_i+1 = ∫ φ _i (x)dx=1/2h² ∫ (x-x_i )(x-x_i+1 )y_i-1 -2(x-x_i-1 )(x-x₊₁ )y_i +(x-x_i-1 )(x-x_i )y_i+1 ]dx=

= h/3(y_i-1 +4y_i +y_i+1 )

Проведя такие вычисления для каждого элементарного отреза [х_{i -1} ,х_{i +1} ], просуммируем полученные выражения:

S = h/3(y₀ +4y₁ +2y₂ +4y₃ +2y₄ +...+2y_n-2 +4y_n-1 +y_n ).

Данное выражение для S принимается в качестве значения определенного интеграла:

∫ f(x)dx h/3[y₀ +4(y₁ +y₃ +...+y_n-1 )+2(y₂ +y₄ +...+y_n-2 )+y_n ]. (3.30)

Полученное соотношение называется формулой Симпсона или формулой парабол.

Эту формулу можно получить и другими способами, например двукрат­ным применением метода трапеций при разбиениях отрезка [а, b ] на части с шагами h и 2 h или комбинированием формул прямоугольников и трапеций (см. п. 5).

Иногда формулу Симпсона записывают с применением полуцелых ин­дексов. В этом случае число отрезков разбиения п произвольно (не обяза­тельно четно), и формула Симпсона имеет вид

∫ f(x)dx h/6[y₀ +4(y_1/2 +y_3/2 +...+y_n-1/2 )+2(y₁ +y₂ +...+y_n-1 )+y_n ]. (3.31)

Легко видеть, что формула (3.31) совпадет с (3.30), если формулу (3.30) применить для числа отрезков разбиения 2п и шага h /2.

Пример. Вычислить по методу Симпсона интеграл I = ∫ .

Значения функции при п = 10, h = 0.1 приведены в табл. 3.3.

Применяя формулу (3.30), находим

I=0.1/3[y₀ +4(y₁ +y₃ +y₅ +y₇ +y₉ )+2(y₂ +y₄ +y₆ +y₈ )+y₁₀ ]=...=0.785398.

Результат численного интегрирования с использованием метода Симп­сона оказался совпадающим с точным значением (шесть значащих цифр).

Один из возможных алгоритмов вычисления определенного интеграла по методу Симпсона представлен на рис. 3.4. В качестве исходных данных задаются границы отрезка интегрирования [а, b ], погрешность ε, а также формула для вычисления значений подынтегральной функции у = f (х). Первоначально отрезок [а, b ] разби­вается на две части с шагом h = ( b — а)/2 . Вычисляется значение интеграла 1₁ . Потом число шагов удваивается, вычисляется значение 1₂ с шагом h /2. Условие окончание счета принимается в виде | I ₁ —1₂ | < е. Если это условие не выполне­но, происходит новое деление шага пополам и т. д.

Отметим, что представленный на рис. 3.4 алгоритм не являет­ся оптимальным: при вычислении каждого приближения I ₂ не исполь­зуются значения функции f (х), уже найденные на предыдущем этапе.