Реферат: Данные о прибыли и производстве валовой продукции

Задача 1.

По 10 сельскохозяйственным предприятием имеются данные о прибыли и производстве валовой продукции (производительности труда) на одного среднегодового работника (табл. 1).

Таблица 1 – Исходные данные.

Требуется:

1. Рассчитать параметры уравнения парной линейной регрессии зависимости прибыли от производительности труда.

2. Оценить качество уравнения с помощью средней ошибки аппроксимации.

3. Найти средний (обобщающий) коэффициент эластичности.

4. Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

5. Оценить значимость коэффициента через t – критерий Стьюдента при a=0,05

6. Оценить статистическую надежность результатор регрессионного анализа с помощью F – критерия Фишера при a=0,05.

7. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значения фактора увеличиться на 10% от его среднего уровня.

Решение

1. Уравнение парной линейной регрессии имеет вид:

,

где – прибыль на одного среднегодового работника, тыс. руб.;

– производства валовой продукции на одного среднегодового работника, тыс. руб.;

a, b– параметры уравнения.

Для определения параметров уравнения a и b составим систему нормальных уравнений. Исходное уравнения последовательно умножим на коэффициенты при неизвестных a и b, и затем каждое уравнение просуммируем:

где n – число единиц совокупности.

Для расчетов построим вспомогательную таблицу (табл. 2).

Таблица 2 – Вспомогательная таблица для расчета статистических величин

с/х предприятие	Прибыль на 1 среднегодового работника, тыс. руб.	Валовая продукция на одного среднегодового работника, тыс. руб.
	у	х
1	23	320	529	102400	7360	17,7	5,3	23,04
2	19	300	361	90000	5700	17,1	1,9	9,86
3	13	390	169	152100	5070	19,7	-6,7	51,65
4	25	410	625	168100	10250	20,3	4,7	18,84
5	27	440	729	193600	11880	21,2	5,8	21,65
6	19	350	361	122500	6650	18,6	0,4	2,29
7	10	380	100	144400	3800	19,4	-9,4	94,27
8	14	400	196	160000	5600	20,0	-6,0	42,88
9	22	450	484	202500	9900	21,4	0,6	2,54
10	24	420	576	176400	10080	20,6	3,4	14,26
сумма	196	3860	4130	1512000	76290	-	-	281,28

Параметры уравнения регрессии можно определить и по другим формулам, которые вытекают из системы нормальных уравнений:

Уравнения регрессии имеет вид:

Коэффициент регрессии b=0,029показывает, что при росте производительности труда на 1 тыс. руб. прибыли на одного работника в среднем по данной совокупности хозяйств увеличивается на 0,029 тыс. руб.

2. Оценим качество уравнения с помощью средней ошибки аппроксимации по формуле:

где - ошибка аппроксимации.

Подставляем в уравнения регрессии фактические значения х, определим теоретические (расчетные) значения (табл. 2). Найдем величину средней ошибки аппроксимации . Для этого заполним две последние графы табл. 2. Отсюда:

В среднем расчетные значения прибыли на одного среднегодового работника отклоняются от фактических на 28,128%. Качество уравнения регрессии можно оценить как хорошее, так как средняя ошибка аппроксимации не превышает допустимого предела ().

3. Рассчитаем средний коэффициент эластичности по формуле:

где и – средние значения признаков.

Отсюда:

Коэффициент эластичности показывает, что в среднем при росте производительности труда на 1% прибыли на одного работника повышается на 0,571%.

4. Для определения тесноты связи между исследуемыми признаками рассчитываем корреляции. Для парной линейной зависимости формула имеет вид:

где - средняя сумма произведения признаков;

и – средние квадратическое отклонения по х и у.

Данные для расчета коэффициента представлены в табл. 2 и в пункте 3 решения. Отсюда:

Коэффициент корреляции =0,251 свидетельствует, что связь между признаками есть, но не очень большая. Коэффициент детерминации =0,251² =0,063 показывает, что 6% …..

5. Для проверки статической зависимости (существенности) значением линейного коэффициента парной корреляции рассчитываем t– критерий Стьюдента по формуле:

Вычисленное сравним с табличным (критическим) значением при принятом уровне значимости а=0,05 и числе степеней свободы v=n-2=10-2=8. Табличное значение по таблице распределения Стьюдента равно 2,306.

Фактическое значения критерия меньше табличного, что свидетельствует о…

6. Оценим значимости уравнения регрессии и показатели тесноты связи с помощью F – критерия Фишера. Для этого сравним его фактическое значения F_факт с табличным (критическим) значением F_табл.

Фактическое значение F_факт по формуле:

В нашем случае:

Табличное значение F_табл. По таблице значения F – критерия Фишера – при а=0,05, k₁ =m=1и k₂ =n-m-1=10-1-1=8 равно 5,32 (m – число параметров при переменной х).

Фактическое значения критерия меньше табличного, свидетельствует о …

7. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Рассчитаем прогнозное значения прибыли на одного работника при средним росте производительности труда на 10%.

Прогнозное значение производительности труда:

Прогнозное значение прибыли на одного работника:

Задача 2

По 30 сельскохозяйственным предприятием имеются данные о средних значениях и вариации урожайности картофеля, количество внесенных органических удобрений и доли посадок картофеля после лучших предшественников, а так же о значениях коэффициентов парной корреляции между этими признаками (табл. 3)

Таблица 3 – Исходные данные.

Показатель	Признак	Среднее значения	Среднее квадратическое отклонения	Линейные коэффициенты парной корреляции
Урожайность картофеля с 1 га, ц	y	120	24	-
Внесено органических удобрений на 1 га посадки картофеля, т	x1	21	2
Доля посадок картофеля по лучшим предшественникам, %	x2	55	10

Требуется:

1. Построить уравнение множественной линейной регрессии зависимости урожайности картофеля от количества внесенных органических удобрений и доле посадок картофеля по лучшим предшественникам в стандартизированном масштабе и в естественной форме.

2. Определить линейный коэффициент множественной корреляции.

3. Рассчитать F – критерий Фишера при уровне значимости, а=0,05.

Решение

1. Уравнение множественной линейной регрессии имеет вид:

где - урожайность картофеля с 1 га, ц;

- внесено органический удобрений на 1 га посадки картофеля, т;

- доля посадки картофеля по лучшим предшественникам, %;

, - параметры уравнения.

Для расчета его параметров а, и сначала построим уравнения множественной регрессии в стандартизированном масштабе:

где , и - стандартизированные переменные;

и – стандартизированные коэффициенты регрессии.

Стандартизированные коэффициенты регрессии определим по формулам:

Уравнение множественной регрессии в стандартизированной форме имеет вид:

Стандартизированные коэффициенты регрессии позволяют сделать заключение о сравнительной силе влияния каждого фактора на урожайность картофеля. Наиболее значительное влияние доли посадок картофеля лучшим предшественникам. Количество внесенных органических удобрений оказывают меньшее воздействие.

Для построения уравнения в естественной форме рассчитаем и , используя формулы перехода от к

где и - средние квадратическое отклонения.

Параметры а определим из соотношения:

Получим уравнение:

Каждый из коэффициентов уравнения регрессии определяет среднее изменение урожайности за счет изменения соответствующего фактора при фиксированном уровне другого. Так, коэффициент при х₁ показывает, что увеличение (или снижение) количества внесения органических удобрений на 1 т ведет к повышению (или снижению) урожайности картофеля на 4,404 ц. Соответственно коэффициент при х₂ определяет меру зависимости урожайности картофеля от доли высадки его по лучшим предшественникам.

2. Для определения линейного коэффициента множественной корреляции использует формулу:

Коэффициент множественной корреляции показывает тесную зависимость между анализируемыми признаками. Коэффициент множественной детерминации свидетельствует, что 31,8% изменения урожайности картофеля связано с анализируемыми признаками.

3. Статистическую значимость уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи оценим с помощью общего F – критерий Фишера по формуле:

где – число единиц совокупности;

- число факторов в уравнении линейной регрессии.

В нашем случае: