Міністерство освіти України
Львівський державний університет ім. І. Франка
Факультет прикладної математики
та інформатики
Кафедра теорії оптимальних
процесів
.
Звіт
про виконання індивідуального завдання № 3
“Побудова кривих регресій методом парабол”
з курсу
"Теорія імовірностей та математична статистика"
Виконав: студенти групи ПМП-32
Ковальський Д., Шевчук А.
Керівник: Сеньо П.С.
Львів – 1998
Теоритичні відомост
і
Лінійна залежність є найпростішою і в більшості випадків є початковим, першим наближенням до істини. Часто потрібно встановити більш адекватну залежність між компонентами наприклад двомірного випадкового вектора, яка як правило не лінійна.
Так як у вибіркових данних присутні випадковості, то початковий вигляд нелінійної залежності можна приблизно уявити побудувавши на міліметровому папері сукупність точок Ми будемо шукати залежність у вигляді y = a0
+ a1
x + … + ak
xk
, де а0
, …, аk
– початкові моменти.
Ця передумова обумовлюється теоремою Вейерштраса про наближення будь-якої функції многочленом відповідного степеня (многочленом Берштейна).
Складність полягає в тому, що як правило в статистиці многочлени степеня k > 4 не використовуються, а початкові моменти вище четвертого дають великі похибки, а експериментальних данних багато, отже не можна провести многочлен який би проходив через всі вибіркові точки. Тому параболу будемо будувати таку, щоб сума квадратів відхилень вибіркових значень була найменшою.
Розглянувши пари (
xi
,yi
)
скористаємося формулами:
Розв'язавши дану систему, отримаємо рівняння шуканої параболи.
Найбільшу величину похибки при апроксимації початкових данних шукатимемо за наступною формулою:
Приклад дії програми
Початкові данні:
| x
|
o
|
1
|
2
|
3
|
4
|
| y
|
1
|
1.5
|
1.7
|
2.1
|
5.9
|
При
виборі степеня
k=1
результат отримано наступний:
а0
= 0.36
а1
= 1.04
d = 4.776
Графік:
При
k=2:
a0
= 1.3314; a1
= -0.9029; a2
= 0.4857; d= 1.4731
При
k=3:
a0
= 0.9614; a1
= 1.7488; a2
=-1.3643; a3
=-0.3083; d= 0.1041
При
k=4:
a0
= 1.2250; a1
= -0.1381; a2
=-0.0495; a3
=0.090; a4
=-0.0002; d= 0.7906
Текст програми (Borland Pascal 7.0):
uses crt, graph;
var xn,yn:array[1..30] of real; n:integer; chr:char; a: array [1..5] of real;
function stepin (x:real; i:integer):real;
var j:integer; temp:real;
begin
temp:=1;
for j:=1 to i do
begin
temp:=temp*x;
inc (i);
end;
stepin:=temp;
end;
procedure xyread;
var fl:text; i:integer;
begin
TextBackground(3);
TextColor(0);
clrscr;
assign (fl,'3.txt');
reset (fl);
writeln ('Програма знаходження кривих регресiй методом парабол');
writeln ('Шевчук А., Ковальський Д. ПМП-32, 1998');
{ writeln ('Esc for Exit');}
writeln;
writeln;
writeln (' x', ' y');
writeln ;
i:=1;
while not EOF (fl) do
begin
read (fl,xn[i]);
read (fl,yn[i]);
writeln ('x[',i,']=',xn[i]:0:2,' ',' y','[',i,']=',yn[i]:0:2);
inc (i); n:=i-1;
end;
writeln;
writeln ('Тиснiть ENTER для продовження');
close (fl);
repeat
chr:=readkey;
if ord(chr)=13 then break;
until false;
end;
procedure obchysl;
var k :integer; i,j,h:integer;
sx: array [1..6] of real;
sy: array [1..2] of real;
sxy: array [1..3] of real;
matr: array [1..5, 1..5] of real;
b: array [1..5] of real;
s: real;
d:real;
m,v:word;
gd,gm,ch,cv:integer;
x,y:real;
chr:char;
ex:boolean;
{процедура ўнўцўалўзацў• системи кординат}
procedure initgrah(m:word);
var i:integer;
begin
setbkcolor(white);
setcolor(magenta);
ch:=getmaxx div 2 ;
cv:=getmaxy div 2 ;
line(1,cv,getmaxx,cv);
line(getmaxx,cv,getmaxx-6,cv-3);
line(getmaxx,cv,getmaxx-6,cv+3);
line(ch,1,ch,getmaxy);
line(ch,1,ch-3,6);
line(ch,1,ch+3,6);
i:=0;
while ch+i*m<=getmaxx-6 do
begin
line(ch+i*m,cv+2,ch+i*m,cv-2);
line(ch-2,cv+i*m,ch+2,cv+i*m);
line(ch-i*m,cv+2,ch-i*m,cv-2);
line(ch-2,cv-i*m,ch+2,cv-i*m);
i:=i+1;
end;
end;
begin
writeln;
writeln;
writeln ('Крива регресii описуэться рiвнянням y=g(x), де');
writeln ('g(x)=a[0] + a[1]*x + ... + a[k]*x^k');
writeln ('Введiть cтепiнь k (k < = 4):');
readln (k);
for i:=k+1 to 5 do
a[i]:=0;
for i:=1 to 6 do
begin
sx[i]:=0;
for j:=1 to n do
sx[i]:=sx[i] + stepin (xn[j], i);
end;
for i:=1 to 2 do
begin
sy[i]:=0;
for j:=1 to n do
sy[i]:=sy[i] + stepin (yn[j], i);
end;
for i:=1 to 3 do
begin
sxy[i]:=0;
for j:=1 to n do
sxy[i]:=sxy[i] + yn[j] * stepin (xn[j], i);
end;
b[1]:=sy[1];
for j:=2 to k+1 do
matr[1,j]:=sx[j-1];
for i:=2 to k+1 do
b[i]:=sxy[i-1];
for i:=2 to k+1 do
for j:=1 to k+1 do
matr[i,j]:=sx[j+i-2];
matr[1,1]:=n;
{ МЕТОД ГАУСА РОЗВ'ЯЗАННЯ С.Л.А.Р. }
{ прямий хiд методу гауса }
for i:=1 to k do
for j:=i+1 to k+1 do
begin
matr[j,i]:= -matr[j,i]/matr[i,i];
for h:=i+1 to k+1 do
matr[j,h]:=matr[j,h]+matr[j,i]*matr[i,h];
b[j]:=b[j]+matr[j,i]*b[i];
end;
{ обернений хiд методу гауса }
for i:=k+1 downto 1 do
begin
s:=b[i];
for j:=i+1 to k+1 do s:=s-a[j]*matr[i,j];
a[i]:=s/matr[i,i];
end;
writeln ('Моменти:');
for i:=1 to k+1 do
writeln ('a[',i-1,']=',a[i]:0:4);
d:=sy[2]-a[1]*sy[1]-a[2]*sxy[1]-a[3]*sxy[2]-a[4]*sxy[3];
writeln ('Похибка:');
writeln ('d = ',d:0:4);
writeln ('Enter для перегляду графiка');
repeat
chr:=readkey;
if ord(chr)=13 then break;
until false;
m:=50;v:=160;ex:=false;
repeat
gd:=detect;
initgraph(gd,gm,'');
initgrah(m);
highvideo;
setcolor(green);
for i:=1 to n do
begin
line (round(ch+abs(xn[i]*m))-3, round(cv-yn[i]*m)+3,round(ch+abs(xn[i]*m))+3, round(cv-yn[i]*m)-3);
line (round(ch+abs(xn[i]*m))+3, round(cv-yn[i]*m)+3,round(ch+abs(xn[i]*m))-3, round(cv-yn[i]*m)-3);
end;
setcolor(magenta);
{лўва частина графўка}
for i:=(-v) to 0 do
begin
x:=i/20;
y:=a[1] + a[2]*x + a[3]*x*x + a[4]*x*x*x +a[5]*x*x*x*x;
if abs(ch-abs(x)*m) <32500 then
if abs(cv-y*m)<32500 then
lineto(round(ch-abs(x)*m),round(cv-y*m));
end;
{права частина графўка}
for i:=0 to v do
begin
x:=i/20;
y:=a[1] + a[2]*x + a[3]*x*x + a[4]*x*x*x +a[5]*x*x*x*x;
if abs(ch+abs(x)*m) <32500then
if abs(cv-y*m)<32500 then
lineto(round(ch+abs(x)*m),round(cv-y*m));
end;
outtextxy(30,30,'graphic');
{маштабування графўка}
repeat
chr:=readkey;
case ord(chr) of
{збўльшення графўка}
43:begin
case m of
400:outtextxy(40,40,'no more big');
10..390:begin
m:=m+10;
v:=20*trunc(400/m);
break;
end;
end;
end;
{зменшення графўка}
45:begin
case m of
10:outtextxy(40,40,'no more small');
10..1000:begin
m:=m-10;
v:=20*trunc(400/m);
break;
end;
end;
end;
{повернення в меню}
27:begin
ex:=true;
break;
end;
end;
until false;
closegraph;
if ex=true then break;
until false;
closegraph;
end;
BEGIN
xyread;
obchysl;
END.
Список л
і
тератури
1. Крамер Гарольд. Математические методы статистики. М.: Мир, 1976.
2. Бух Арлей. Введение в теорию вероятностей и математическую статистику. М., 1951.
|