Контрольная работа: Вычисление случайных величин

Название: Вычисление случайных величин
Раздел: Рефераты по математике
Тип: контрольная работа

Задача №1.

Двумерная случайная величина (X,Y) имеет равномерное распределение вероятностей в треугольной области ABC:

где S – площадь треугольника ABC.

Определить плотности случайных величин X и Y, математические ожидания M(X) и M(Y), дисперсии D(X) и D(Y), а также коэффициент корреляции . Являются ли случайные величины X и Y независимыми?

Решение.

Разделим область ABC на две равные части вдоль оси OX, тогда из условия

или

следует, что

Тогда плотность двумерной случайной величины (X,Y):


Вычислим плотность составляющей X:

при ,

откуда плотность составляющей X–

Вычислим плотность составляющей Y:

при ,

при ,

Поэтому плотность составляющей Y –

Найдем условную плотность составляющей X:

при , случайные величины X и Y зависимы.

Найдем математическое ожидание случайной величины X:


Найдем дисперсию случайной величины X:

Найдем среднеквадратическое отклонение случайной величины X:

Найдем математическое ожидание случайной величины Y:

Найдем дисперсию случайной величины Y:

Найдем среднеквадратическое отклонение случайной величины Y:


Найдем математическое ожидание двумерной случайной величины (X,Y):

Тогда ковариация: ,

а значит и коэффициент корреляции

Следовательно, случайные величины X и Y - зависимые, но некоррелированные.

Задача №2

Двумерная случайная величина (X,Y) имеет следующее распределение вероятностей:

Y X
3 6 8 9
-0,2 0,035 0,029 0,048 0,049
0,1 0,083 0,107 0,093 0,106
0,3 0,095 0,118 0,129 0,108

Найти коэффициент корреляции между составляющими X и Y.

Решение.


Таблица распределения вероятностей одномерной случайной величины X:

X 3 6 8 9
0,213 0,254 0,270 0,263


Проверка: + + + = 0,213 + 0,254 + 0,270 + 0,263 = 1.

Таблица распределения вероятностей одномерной случайной величины Y:

Y -0,2 0,1 0,3
0,161 0,389 0,450

Проверка: + + = 0,161 + 0,389 + 0,450 = 1.

Вычислим числовые характеристики случайных величин X и Y.

1. Математическое ожидание случайной величины X:

2.


Математическое ожидание случайной величины Y:

3. Дисперсия случайной величины X:

4. Дисперсия случайной величины Y:

5. Среднеквадратическое отклонение случайной величины X:

6. Среднеквадратическое отклонение случайной величины Y:

Таблица распределения вероятностей случайной величины X-M(X):

X-M(X) 3-M(X) 6-M(X) 8-M(X) 9-M(X)
0,213 0,254 0,270 0,263

Таблица распределения вероятностей случайной величины Y-M(Y):

Y-M(Y) -0,2-M(Y) 0,1-M(Y) 0,3-M(Y)
0,161 0,389 0,450

Таблица распределения вероятностей случайной величины [X-M(X)][Y-M(Y)]:

[X-M(X)][Y-M(Y)] 1,260873 0,153873
P 0,035 0,083
-0,584127 0,235773 0,028773 -0,109227 -0,447627
0,095 0,029 0,107 0,118 0,048
-0,054627 0,207373 -0,789327 -0,096327 0,365673
0,093 0,129 0,049 0,106 0,108

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Найдем ковариацию:


Найдем коэффициент корреляции:

Ответ: -0,028.

Задача №3

Рост, см

(X)

Вес, кг (Y)
22,5-25,5 25,5-28,5 28,5-31,5 31,5-34,5 34,5-37,5
117,5-122,5 1 3 - - -
122,5-127,5 - 2 6 1 -
127,5-132,5 - 1 5 5 -
132,5-137,5 - 1 6 7 2
137,5-142,5 - - 1 4 2
142,5-147,5 - - - 1 1
147,5-152,5 - - - - 1

Результаты обследования 50 учеников:

По данным таблицы требуется:

- написать выборочные уравнения прямых регрессии Y на X и X на Y;

- вычертить их графики и определить угол между ними;

- по величине угла между прямыми регрессии сделать заключение о величине связи между X и Y.

Решение.

Принимая рост всех учеников, попавших в данный интервал, равным середине этого интервала, а вес – равным середине соответствующего интервала, получим так называемую корреляционную таблицу:

Для роста X получим:

1. Выборочная средняя

2. Дисперсия выборочная исправленная –

Для веса Y получим:

1. Выборочная средняя -

2. Дисперсия выборочная исправленная –

Найдем выборочный коэффициент корреляции:

Найдем значения коэффициентов регрессии:

Уравнение прямой регрессии Y на X имеет вид:

Уравнение прямой регрессии X на Y имеет вид:


- угол между прямыми регрессии.

Следовательно, связь между X и Y не тесная.