Дипломная работа: Топологическая определяемость верхних полурешёток
Название: Топологическая определяемость верхних полурешёток Раздел: Рефераты по математике Тип: дипломная работа |
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Математический факультет Кафедра алгебры и геометрии Выпускная квалификационная работа Топологическая определяемость верхних полурешёток. Выполнил: студент V курса математического факультета Малых Константин Леонидович Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры и геометрии В.В. Чермных Рецензент: доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой алгебры и геометрии Е.М. Вечтомов Допущена к защите в государственной аттестационной комиссии «___» __________2005 г. Зав. Кафедрой Е.М. Вечтомов «___»___________2005 г. Декан факультета В.И. Варанкина Киров 2005 Оглавление. Введение …………………………………………………………………стр. 3 Глава 1 ……………………………………………………………………стр. 4 1. Упорядоченные множества ………………………………………стр. 4 2. Решётки.……………………………………………………………стр. 5 3. Дистрибутивные решётки ………………………………………..стр. 8 4. Топологические пространства……………………………………стр.10 Глава 2…………………………………………………………………….стр.11 1. Верхние полурешётки…………………………………………….стр.11 2. Стоуново пространство …………………………………………..стр.15 Список литературы……………………………………………………….стр.21
Введение. Дистрибутивная решётка является одним из основных алгебраических объектов. В данной работе рассматривается частично упорядоченное множество P ( L ) простых идеалов. Оно даёт нам много информации о дистрибутивной решётке L , но оно не может её полностью охарактеризовать. Поэтому, для того, чтобы множество P ( L ) характеризовало решётку L , необходимо наделить его более сложной структурой. Стоун [1937] задал на множестве P ( L ) топологию. В этой работе рассматривается этот метод в несколько более общем виде. Работа состоит из двух глав. В первой главе вводятся начальные понятия, необходимые для изучения данной темы. Во второй главе рассматриваются верхние полурешётки, а также множество простых идеалов с введенной на нём топологией.
Глава 1. 1. Упорядоченные множества. Определение : Упорядоченным множеством называется непустое множество, на котором определено бинарное отношение , удовлетворяющее для всех следующим условиям: 1.Рефлексивность: . 2.Антисимметричность: если и , то . 3.Транзитивность: если и , то . Если и , то говорят, что меньше или больше , и пишут или . Примеры упорядоченных множеств: 1. Множество целых положительных чисел, а означает, что делит . 2. Множество всех действительных функций на отрезке и означает, что для . Определение: Цепью называется упорядоченное множество, на котором для имеет место или . Используя отношение порядка, можно получить графическое представление любого конечного упорядоченного множества . Изобразим каждый элемент множества в виде небольшого кружка, располагая выше , если . Соединим и отрезком. Полученная фигура называется диаграммой упорядоченного множества . Примеры диаграмм упорядоченных множеств:
2. Решётки Определение: Верхней гранью подмножества в упорядоченном множестве называется элемент из , больший или равный всех из . Определение: Точная верхняя грань подмножества упорядоченного множества – это такая его верхняя грань, которая меньше любой другой его верхней грани. Обозначается символом и читается «супремум X». Согласно аксиоме антисимметричности упорядоченного множества, если точная верхняя грань существует, то она единственна. Понятия нижней грани и точной нижней грани (которая обозначается и читается «инфинум») определяются двойственно. Также, согласно аксиоме антисимметричности упорядоченного множества, если точная нижняя грань существует, то она единственна. Определение: Решёткой называется упорядоченное множество , в котором любые два элемента и имеют точную нижнюю грань, обозначаемую , и точную верхнюю грань, обозначаемую . Примеры решёток: 1. Любая цепь является решёткой, т.к. совпадает с меньшим, а с большим из элементов . 2.
Наибольший элемент, то есть элемент, больший или равный каждого элемента упорядоченного множества, обозначают , а наименьший элемент, то есть меньший или равный каждого элемента упорядоченного множества, обозначают . На решётке можно рассматривать две бинарные операции: - сложение и - произведение Эти операции обладают следующими свойствами: 1. , идемпотентность 2. , коммутативность 3. , ассоциативность 4. , законы поглощения Теорема . Пусть - множество с двумя бинарными операциями , обладающими свойствами (1) – (4). Тогда отношение (или ) является порядком на , а возникающее упорядоченное множество оказывается решёткой, причём:
Доказательство. Рефлексивность отношения вытекает из свойства (1). Заметим, что оно является следствием свойства (4):
Если и , то есть и , то в силу свойства (2), получим . Это означает, что отношение антисимметрично. Если и , то применяя свойство (3), получим: , что доказывает транзитивность отношения . Применяя свойства (3), (1), (2), получим: , . Следовательно, и Если и , то используя свойства (1) – (3), имеем: , т.е. По определению точней верхней грани убедимся, что Из свойств (2), (4) вытекает, что и Если и , то по свойствам (3), (4) получим: Отсюда по свойствам (2) и (4) следует, что , т.е. Таким образом, . ■ Пусть решётка, тогда её наибольший элемент характеризуется одним из свойств: 1. 2. . Аналогично характеризуется наименьший элемент : 1. 2. . 3. Дистрибутивные решётки. Определение: Решётка называется дистрибутивной , если для выполняется: 1. 2. В любой решётке тождества (1) и (2) равносильны. Доказательство этого факта содержится в книге [1], стр. 24.
Теорема: Решётка с 0 и 1 является дистрибутивной тогда и только тогда, когда она не содержит подрешёток вида
Доказательство этого факта можно найти в книге [2]. Далее под словом “решётка” понимается произвольная дистрибутивная решётка с 0 и 1 (причём ).
Определение: Непустое множество называется идеалом в решётке , если выполняются условия: 1. 2.
Определение: Идеал в решётке называется простым , если или . Идеал, порождённый множеством Н (т.е. наименьший идеал, содержащий H ), будет обозначаться (Н]. Если Н = { a } , то вместо ({ a }] будем писать ( a ] и называть ( a ] главным идеалом.
Обозначим через I ( L ) множество всех идеалов решётки L. I ( L ) будем называть решёткой идеалов.
Определение: Решётки и называются изоморфными (обозначение: ), если существует взаимно однозначное отображение , называемое изоморфизмом, множества на множество , такое, что , . 4. Топологические пространства.
Определение: Топологическое пространство – это непустое множество с некоторой системой выделенных его подмножеств, которая удовлетворяет аксиомам: 1. Пустое множество и само пространство принадлежит системе : . 2. Пересечение любого конечного числа множеств из принадлежит , т.е. . 3. Объединение любого семейства множеств из принадлежит , т.е. . Таким образом, топологическое пространство – это пара <, >, где - такое множество подмножеств в , что и замкнуто относительно конечных пересечений и произвольных объединений. Множества из называют открытыми, а их дополнения в замкнутыми. Определение: Пространство называется компактным , если в любом его открытом покрытии можно выбрать конечное подпокрытие. Определение: Подмножество пространства называется компактным , если в любом его открытом покрытии можно выбрать конечное подпокрытие.
Определение: Топологическое пространство называется - пространством , если для любых двух различных его точек существует открытое множество, содержащее ровно одну из этих точек.
Глава 2.
1. Верхние полурешётки. Определение: Ч.у. множество называется верхней полурешёткой , если sup { a , b } существует для любых элементов a и b .
Определение: Непустое множество I верхней полурешётки L называется идеалом , если для любых включение имеет место тогда и только тогда, когда .
Определение : Верхняя полурешётка называется дистрибутивной , если неравенство ≤ (, , L) влечёт за собой существование элементов , таких, что , , и = .(рис.1). Заметим, что элементы и не обязательно единственны.
Некоторые простейшие свойства дистрибутивной верхней полурешётки даёт: Лемма 1 : (*). Если <, > - произвольная полурешётка, то верхняя полурешётка дистрибутивна тогда и только тогда, когда решётка дистрибутивна. (**). Если верхняя полурешётка дистрибутивна, то для любых существует элемент , такой, что и . Следовательно, множество является решёткой. (***). Верхняя полурешётка дистрибутивна тогда и только тогда, когда множество является дистрибутивной решёткой. Доказательство. (*). <, > - дистрибутивна и , то для элементов , , справедливо равенство : значит, полурешётка <,> - дистрибутивна. <,> - дистрибутивна. Пусть решётка содержит диамант или пентагон (рис.2).
1) Пусть решётка содержит пентагон, . Нужно найти такие элементы и , чтобы выполнялось равенство . Но множество элементов меньших b или c состоит из элементов {0, b , c } и их нижняя граница не даст a . Получили противоречие с тем, что <,> - дистрибутивна. Значит, наше предположение неверно и решётка не содержит пентагона. 2) Пусть решётка содержит диамант, . Аналогично, множество элементов меньших b или c состоит из элементов {0, b , c }, их нижняя граница не даст a . Значит, решётка не содержит диаманта. Можно сделать вывод, что решётка дистрибутивна. (**). Имеем , поэтому , где (по определению дистрибутивной полурешётки). Кроме того, является нижней границей элементов и . Рассмотрим идеалы, содержащие элемент и - и . Тогда Ø ,т.к. , нижняя граница элементов a и b , содержится там. Покажем, что I ( L ) – решётка, т.е. существуют точные нижняя и верхняя грани для любых A и B . Покажем, что совпадает с пересечением идеалов A и B . Во-первых, - идеал. Действительно, и и Во-вторых, пусть идеал и . Тогда , т.е. - точная нижняя грань идеалов A и B , т.е. . Теперь покажем, что совпадает с пересечением всех идеалов , содержащих A и B . Обозначим . Поскольку для для , то C идеал. По определению C он будет наименьшим идеалом, содержащим A и B . (***). Пусть – верхняя дистрибутивная полурешётка. Покажем, что . Пусть , т.е. (рис.3), для некоторых Понятно, что . По дистрибутивности, существуют такие, что . Т.к. A – идеал, то , потому что . Аналогично, . Т.е. . Точно также, . Если , то легко показать, что . Доказали, что - идеал. Очевидно, он является верхней гранью идеалов A и B . Если C содержит A и B , то C будет содержать элементы для любых , т.е. Поэтому , поскольку является верхней гранью идеалов A и B и содержится в любой верхней грани. Теперь покажем, что выполняется равенство: . . Пусть , где ,. Т.к. , то , откуда и следовательно . Аналогично, , значит, . Пусть ,где . Отсюда следует дистрибутивность решётки . – дистрибутивная решётка, . Теперь рассмотрим идеалы, образованные этими элементами: (,будет нижней границей для ). Поэтому , что и доказывает дистрибутивность полурешётки . ■
2. Стоуново пространство. Определение : Подмножество верхней полурешётки называется коидеалом , если из неравенства следует и существует нижняя граница множества , такая, что . Определение: Идеал полурешётки называется простым , если и множество является коидеалом. В дальнейшем нам потребуется лемма Цорна, являющаяся эквивалентным утверждением аксиоме выбора.
Лемма Цорна. Пусть A – множество и X – непустое подмножество множества P ( A ). Предположим, что X обладает следующим свойством: если C – цепь в <>, то . Тогда X обладает максимальным элементом. Лемма 2 : Пусть – произвольный идеал и – непустой коидеал дистрибутивной верхней полурешётки . Если , то в полурешётке существует простой идеал такой, что и . Доказательство. Пусть X – множество всех идеалов в L , содержащих I и не пересекающихся с D . Покажем, что X удовлетворяет лемме Цорна. Пусть C – произвольная цепь в X и Если , то для некоторых Пусть для определённости . Тогда и , т.к. - идеал. Поэтому . Обратно, пусть , тогда , для некоторого Получаем , откуда . Доказали, что M – идеал, очевидно, содержащий I и не пересекающийся с D , т.е. . По лемме Цорна X обладает максимальным элементом, т.е. максимальным идеалом P среди содержащих I и не пересекающихся с D . Покажем, что P – простой. Для этого достаточно доказать, что L \ P является коидеалом. Пусть L \ P и . Поскольку , то , иначе в противном случае по определению идеала. Следовательно, . Если , то и пересекающихся с D в силу максимальности P . Получаем и для некоторых элементов . Существует элемент такой, что и , по определению коидеала, следовательно и для некоторых Заметим, что и не лежат в P , т.к. в противном случае . Далее, , поэтому для некоторых и . Как и прежде . Кроме того , поэтому - нижняя грань элементов a и b , не лежащая в P . ■ В дальнейшем, через будем обозначать дистрибутивную верхнюю полурешётку с нулём, через множество всех простых идеалов полурешётки . Множества вида представляют элементы полурешётки в ч.у. множестве (т.е. ). Сделаем все такие множества открытыми в некоторой топологии. Обозначим через топологическое пространство, определённое на множестве . Пространство SpecL будем называть стоуновым пространством полурешётки L .
Лемма 3 : Для любого идеала I полурешётки L положим:
Тогда множества вида исчерпывают все открытые множества в стоуновом пространстве SpecL . Доказательство. Нужно проверить выполнение аксиом топологического пространства. 1) Рассмотрим идеал, образованный 0. Тогда , но 0 лежит в любом идеале, а значит . 2) Возьмём произвольные идеалы и полурешётки и рассмотрим Пусть . Тогда существуют элементы a и Отсюда следует, что , где L \ P – коидеал. По определению коидеала существует элемент d такой, что и , значит,. Т.к. , следовательно, . Получаем, что . Обратное включение очевидно. 2) Пусть - произвольное семейство идеалов. Через обозначим множество всех точных верхних граней конечного числа элементов, являющихся представителями семейства . Покажем, что - идеал. Пусть , тогда , где для некоторого идеала . Тогда лежит в идеале , следовательно, и , т.е. . Обратно очевидно. Доказали, что - идеал. Теперь рассмотрим произвольное объединение. ■ Лемма 4 : Подмножества вида пространства можно охарактеризовать как компактные открытые множества. Доказательство. Действительно, если семейство открытых множеств покрывает множество , т.е. , то Отсюда следует, что для некоторого конечного подмножества , поэтому . Таким образом, множество компактно. Пусть открытое множество r ( I ) компактно, тогда и можно выделить конечное подпокрытие для некоторых . Покажем, что I порождается элементом . Предположим, что это не так, и в идеале I найдётся элемент b не лежащий в . Тогда [ b ) – коидеал, не пересекающийся с . По лемме 2 найдётся простой идеал P содержащий и не пересекающийся с [ b ). Получаем, , т.к. (т.е. ), но , т.к. , противоречие. Следовательно, компактным открытым множеством r ( I ) будет только в случае, если - главный идеал.■ Предложение 5: Пространство является - пространством. Доказательство. Рассмотрим два различных простых идеала и Q . Хотя бы один не содержится в другом. Допустим для определённости, что . Тогда r ( P ) содержит Q , но не содержит P , т.е. SpecL является - пространством. ■ Теорема 6 : Стоуново пространство определяет полурешётку с точностью до изоморфизма. Доказательство. Нужно показать, что две полурешётки и изоморфны тогда и только тогда, когда пространства и гомеоморфны. Очевидно, если решётки изоморфны, то пространства, образованные этими полурешётками будут совпадать. Пусть и гомеоморфны () и . Тогда a определяет компактное открытое множество r ( a ). Множеству r ( a ) соответствует компактное открытое множество , с однозначно определённым элементом по лемме 4. Таким образом получаем отображение : , при котором . Покажем, что - изоморфизм решёток. Если a , b – различные элементы из , то , следовательно, , поэтому и - инъекция. Для произвольного открытому множеству соответствует и очевидно , что показывает сюръективность . Пусть a , b – произвольные элементы из . Заметим, что . Открытому множеству при гомеоморфизме соответствует открытое множество , а соответствует . Следовательно, =. Поскольку =, то , т.е. ■
Литература. 1. Биргкоф Г. Теория решёток. – М.:Наука, 1984. 2. Гретцер Г. Общая теория решёток. – М.: Мир, 1982. 3. Чермных В.В. Полукольца. – Киров.: ВГПУ, 1997.
|