Дипломная работа: Методика обучения решению комбинаторных задач

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Московский Государственный Гуманитарный Университет имени М.А. Шолохова

Кафедра Методики преподавания математики

Выпускная квалификационная работа

«Методика обучения решению комбинаторных задач и формирование первичного представления о вероятности в 5-6 классах»

Москва, 2008

Содержание

Введение

1. Психологические особенности учащихся 5-6 классов

1.1 Развитие логического мышления у школьников посредством математики

2. Содержание вопроса комбинаторики и теории вероятности в учебной литературе

2.1 Анализ учебной литературы

2.2 Анализ учебно-методической литературы

2.3 Общие сведения

3. Развитие интереса к изучению математики у учащихся

3.1 Примерные уроки по теме «Решение комбинаторных задач и теория вероятностей»

3.2 Экспериментальная часть

Заключение

Библиография

Приложения

Введение

На современном этапе развития общества, когда в нашу жизнь стремительно вошли референдумы и социологические опросы, кредиты и страховые полисы, разнообразные банковские начисления и т.п., становится очевидной актуальность включения в школьный курс математики материала вероятностно-статистического характера.

Данная тема исследования актуальна для наших детей в связи с тем, что современные школьники стали более развиты и им требуются не просто задачи на вычисление, а задачи, требующие в своем решении участия логического мышления, а также задачи, наиболее приближенные к жизненным ситуациям. Такими задачами и являются задачи на комбинаторику и вероятность. Данное исследование определяет уровень логического мышления школьников 10-13 лет. А выявление методов обучения решению таких задач дает возможность выбора наиболее оптимального метода для преподавания в школе.

Данная тема исследования интересна потому, что таких задач в школьной программе 5-6 классов не много, но и их решение можно свести к игре, интересной детям.

Объектом исследования являются задачи на комбинаторику и теорию вероятности.

Предметом, в свою очередь, методика обучения решению комбинаторных задач и формирования первоначального представления о вероятности в 5-6 классах основной школы.

Целью исследования выступает изучение методики обучения решению комбинаторных задач и задач на вероятность в 5-6 классах основной школы.

Цель нашего исследования раскрывается в следующих задачах:

1. Проанализировать научную и методическую литературу по теме исследования.

2. Изучить психологические особенности учащихся 5-6 классов.

3. Выявить уровень логического мышления учащихся 5-6 классов.

4. Изучить методику ознакомления детей с задачами на комбинаторику, соединив их с решением жизненных ситуаций для возраста учащихся 5-6 классов.

5. Разработать фрагменты уроков и занятий математического кружка.

6. Проверить методику обучения решению комбинаторных задач и задач на вероятность в 5-6 классах основной школы на педагогической практике.

В основу исследования положена гипотеза, согласно которой возможно сформировать первоначальное представление о вероятности и научить решать комбинаторные задачи учащихся 5-6 классов, используя методы проблемного обучения, занимательные задачи, задачи, содержащие жизненные ситуации.

1. Психологические особенности учащихся 5-6 классов

Учащиеся 5-6 классов – это дети 11-13 лет. Психологические особенности учащихся этого возраста, по мнению различных авторов, рассматриваются как кризисные и связаны с перестройкой в трех основных сферах: телесной, психологической и социальной. На телесном уровне происходят существенные гормональные изменения, на социальном уровне подросток занимает промежуточное положение между ребенком и взрослым, на психологическом подростковый возраст характеризуется формированием самосознания.

Каждый возрастной период является переходным, подготавливающим человека к переходу на более высокую возрастную ступень. Развитие всех сторон личности и интеллекта подростка предполагает сотрудничество ребенка и взрослого в процессе осуществления собственной деятельности, игры, учения, общения, труда. Такое сотрудничество в школе нередко отсутствует.

По мнению Л.И. Божович, главное внимание в воспитании подростка следует сосредоточить на развитии мотивационной сферы личности: определения своего места в жизни, формировании мировоззрения и его влияния на познавательную деятельность, самосознание и моральное сознание.

Именно в этот период формируются нравственные ценности, жизненные перспективы, происходит осознание самого себя, своих возможностей, способностей, интересов, стремление ощутить себя и стать взрослым, тяга к общению со сверстниками, оформляются общие взгляды на жизнь, на отношения между людьми, на свое будущее, иными словами - формируются личностные смыслы жизни.

Основными новообразованиями в подростковом возрасте являются: сознательная регуляция своих поступков, умение учитывать чувства, интересы других людей и ориентироваться на них в своем поведении.

Новообразования не возникают сами по себе, а являются итогом собственного опыта ребенка, полученного в результате активного включения в выполнение самых разных форм общественной деятельности.

Л.И. Божович подчеркивала, что в психическом развитии ребенка определяющим является не только характер его ведущей деятельности, но и характер той системы взаимоотношений с окружающими его людьми, в которую он вступает на различных этапах своего развития.

Поэтому общение подростков со сверстниками и взрослыми необходимо считать важнейшим условием их личностного развития. Неудачи в общении ведут к внутреннему дискомфорту, компенсировать который не могут никакие объективные высокие показатели в других сферах их жизни и деятельности. Общение субъективно воспринимается подростками как нечто личностно очень важное. Однако, как показывает анализ современного педагогического процесса, потребность учащихся подростков в благоприятном доверительном общении со взрослыми и сверстниками в школе очень часто не получает своего удовлетворения. Это ведет к формированию повышенной тревожности, развитию чувства неуверенности в себе, связанного с неадекватной и неустойчивой самооценкой, со сложностями в личностном развитии, мешает ориентации в жизненных ситуациях. Все это много раз усугубляется, если у ребенка отсутствует благоприятное общение в семье.

При работе с младшими подростками упор следует сделать на пробуждение интереса и развития доверия к самому себе, на понимание своих возможностей, способностей, особенностей характера.

Важным показателей умственного развития детей является уровень сформированности у них обобщающего мышления, отражающий интеллект, который формируется у них в учебной деятельности.

Определенный тип организации образовательных воздействий, как правило, приводит к формированию в той или иной конкретной школе некоторого "типичного учащегося", психологические особенности развития которого соответствуют специфике осуществляемых воздействий. Это проявляется в особенностях интеллектуального развития учащихся, степени их включенности в учебную работу на уроках, учебной инициативы, активности взаимодействия с учителей и одноклассниками. Чем в большей мере выражены перечисленные параметры, тем с большей определенностью можно говорить об эффективной психологической организации образовательных воздействий.

1.1 Развитие логического мышления школьников средствами математики

В последнее время много говорится о преемственности в обучении между начальной и средней школой. Этот вопрос стал так остро потому, что наблюдается значительное снижение успеваемости при переходе учащихся в среднее звено, растет нежелание посещать школу, угасает интерес к учебе. Причин тому много, например: увеличение учебной нагрузки, трудности в адаптации к новым условиям обучения, физиологические особенности и изменения в психике ребенка и т.д. Считается, что складывающаяся к 11 годам система мыслительных операций подготавливает почву для формирования научных понятий, и на последнем этапе интеллектуального развития, т.е. периоде формальных операций, подросток освобождается от конкретной привязанности к объектам, и тем самым приобретает возможность мыслить так же, как взрослый человек. Он рассматривает суждения, как гипотезы, из которых можно вывести всевозможные следствия; его мышление становится гипотетико-дедуктивным. Согласно Пиаже эта стадия заканчивается к 14-15 годам.

Школа обязана строить обучение таким образом, чтобы шло интенсивное развитие различных качеств ребенка, в частности, его логического мышления. В 5-6 классах этому наиболее полно соответствует математика. При этом считается, что «левополушарные» формально-логические компоненты мышления организуют любой знаковый материал таким образом, что создается строго упорядоченный и однозначно понимаемый контекст, необходимый для успешного общения между людьми. Это могут быть не только слова, но и другие символы, знаки и даже образы, то есть когда из всех реальных и потенциальных связей между предметами и явлениями выбирается несколько определенных, не создающих противоречий и укладывающихся в данный контекст.

По некоторым данным, созревание правого полушария идет более быстрыми темпами, чем левого, и поэтому в ранний период развития его вклад в обеспечение психологического функционирования превышает вклад левого полушария, даже утверждается, что до 9—10 лет ребенок является правополушарным существом. Такая оценка не лишена некоторых оснований, поскольку соотносится с определенными особенностями психического развития детей в дошкольном, а отчасти и в младшем школьном возрасте.

В возрасте 10-11 лет происходят изменения в головном мозге, более быстрыми темпами начинает развиваться левое полушарие. Это обстоятельство и должно учитываться при обучении математике, как науке особым образом развивающей логическое мышление. В этом процессе ребенок все чаще начинает мыслить не только образами, но у него появляется возможность к абстрагированию. Именно отсюда при обучении младших подростков математике следует учитывать возрастную ассимитрию полушарий головного мозга. В частности, использовать моделирование учебных задач, проигрывание их на уроке, накопление образов, связанных с собственным сопереживанием той или иной учебной задаче.

Остановимся на некоторых особенностях содержания учебного материала в 5-6 классах. Многие темы не соответствуют уровню формирования логического мышления детей этого возраста, но большинство учителей математики считают обратное.

2. Содержание вопроса комбинаторики и теории вероятности в учебной литературе

ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ СТАНДАРТ

ОСНОВНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

ПО МАТЕМАТИКЕ

ОБЯЗАТЕЛЬНЫЙ МИНИМУМ СОДЕРЖАНИЯ ОСНОВНЫХ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ПРОГРАММ

Элементы логики, комбинаторики, статистики

и теории вероятностей

Доказательство. Определения, доказательство, аксиомы и теоремы, следствия.

Необходимые и достаточные условия. Контрпример. Доказательство от противного. Прямая и обратная теоремы.

Понятие об аксиоматике и аксиоматическом построении геометрических решений. Пятый постулат Евклида и его история.

Множества и комбинаторика. Множество. Элемент множества, подмножество. Объединение и пересечение множеств. Диаграммы Эйлера.

Примеры решения комбинаторных задач: перебор вариантов, правило умножения.

Статистические данные. Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Средние результаты измерений. Понятие о статистическом выводе на основе выборки. Понятие и примеры случайных событий.

Вероятность. Частота события, вероятность. Равновозможные события и подсчет их вероятности. Представление о геометрической вероятности.

На рубеже третьего тысячелетия становится очевидной универсальность вероятностно-статистических законов, они стали основой описания научной картины мира. И ребенок в своей жизни ежедневно сталкивается с вероятностными ситуациями, ведь игра и азарт составляют существенную часть его жизни. Круг вопросов, связанных с осознанием соотношения понятий вероятности и достоверности, проблемой выбора наилучшего из нескольких вариантов решения, оценкой степени риска и шансов на успех, представлением о справедливости и несправедливости в играх и в реальных жизненных коллизиях – все это, несомненно, находится в сфере реальных интересов становления и развития личности.

Подготовку человека к таким проблемам и осуществляет школьный курс математики. Принципиальные решения о включении вероятностно-статистического материала как равноправной составляющей обязательного школьного математического образования приняты ныне и в нашей стране. Все перспективные государственные образовательные документы последних лет содержат вероятностно-статистическую линию в курсе математики 5-9 классов наравне с такими привычными линиями, как «Числа», «Функции», «Уравнения и неравенства», «Геометрические фигуры». Продолжение изучения этой линии предполагается в старших классах.

Современные стандарты и программы математического образования в основной школе предполагают пропедевтику основных понятий, знакомство на наглядном, интуитивном уровне с вероятностно-статистическими закономерностями в 5-6 классах, определение основных понятий, построение и изучение базовых вероятностно-статистических моделей – в 7-9 классах.

Первые учебники, в которых последовательно с 5 по 9 класс проводится вероятностно-статистическая линия, органично связанная с другими темами курса - это новый учебный комплект «Математика 5-6» по ред. Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина, «Математика 7-9» под ред. Г.В. Дорофеева. в этих учебных комплектах принят статистический подход к понятию вероятности, который методически и психологически соответствует возрастным особенностям учеников основной школы.

Следует отметить, что наиболее подходит для реализации оптимального обучения школьников 10-11 лет математике учебный комплект под редакцией Г.В Дорофеева, а также комплект «Арифметика 5-6 класс» под редакцией С.М. Никольского. Был проведен сравнительный анализ обучения школьников 5-6 классов решению комбинаторных задач, обучающихся с помощью учебника С.М. Никольского и с помощью учебника Г.В. Дорофеева. Дети, наученные составлять дерево возможных вариантов, более осмысленно решали предложенные задачи, отсекая, если нужно, повторяющиеся комбинации. Так, решение задачи, с применением специальных методов, привело к правильному ответу на 37% учащихся больше, чем решение простым перебором.

Сохранение интереса к изучению математики при использовании новых комплектов учебников обеспечивается не только через дополнительные темы, но и через достаточное количество занимательных задач.

Занимательные задачи — инструмент для развития мышления, ведущего к формированию творческой деятельности школьника. К таким задачам относятся задачи «на соображение», «на догадку», головоломки, нестандартные задачи, логические задачи, творческие задачи. Например, задача 6-го класса: Восемь подружек решили обменяться фотографиями так, чтобы у каждой из них оказались фотографии остальных подруг. Сколько фотографий для этого потребуется.

Занимательный материал многообразен, но его объединяет следующее:
1. способ решения занимательных задач не известен;

2. занимательные задачи способствуют поддержанию интереса к предмету. Для решения занимательных задач характерен процесс поисковых проб. Появление догадки свидетельствует о развитии у детей таких качеств умственной деятельности как смекалка и сообразительность. Смекалка – это особый вид проявления творчества. Она выражается в результате анализа, сравнений, обобщений, установления связей, аналогий, выводов, умозаключений.

Систематизированный набор нестандартных задач применяется по индивидуальному плану учителя на уроках и во внеурочной работе. Конкретно можно рассмотреть некоторые темы: 5 класс, тема «Перебор возможных вариантов», в которой начинается изучение новой содержательной линии «Анализ данных»; 6 класс, тема «Вероятность события». Представлены характерные для комбинаторики задачи на размещения, сочетания, перестановки, но сами термины и формулы не рассматриваются. Предлагается более доступный детям данного возраста метод решения - построение дерева.

2.1 Анализ учебной литературы

Анализ начнём с учебника для 6 класса средней школы (под редакцией Дорофеева Г.В., Шарыгина И.Ф.). Авторы рассматривают комбинаторный принцип умножения, различные виды сочетаний (перестановки, размещения, сочетания) с повторениями и без повторений и формулы для их вычисления. Относительно теории вероятностей Дорофеев рассматривает понятие случайного события и вычисление вероятностей с помощью формул комбинаторики. Аналогично этому изданию учебник Зубаревой И.И., Мордковича А.Г. “Математика 5(6)”.

В учебнике Никольского С.М. и др. “Арифметика5-6” даются лишь определения различных соединений, формулы для их вычисления (6кл.) и классическое определение вероятности (8кл.). В этом учебнике рассмотрен минимальный круг вопросов. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. в учебнике для общеобразовательных учебных заведений “Алгебра. Функции. Анализ данных”. Рассмотрел вопросы, касающиеся исключительно теории вероятностей. Это классическое определение вероятности, понятие о генеральной совокупности и выборке, их параметры и оценки, а также оценка вероятности события по частоте.

Авторами разработана методика проведения практических занятий по информатике по теме "Начала комбинаторики". Основу теоретического материала составляет бесформульная комбинаторика: генерация сочетаний, перестановок и подмножеств, разбиения на слагаемые. Кроме этого предлагаются задачи, состоящие в требовании выделить из всех возможных решений такое, которое удовлетворяет заданному дополнительному требованию.

Опыт проведения занятий подтвердил, как велика роль комбинаторных задач как средства развития мышления учащихся, формирования приемов умственной деятельности - анализа, синтеза, обобщения через реализацию полной схемы эвристических рассуждений: анализ проблемы, выдвижение гипотез, их проверка. Кроме этого поддерживается на достаточно высоком уровне познавательный интерес учащихся и к математике, и к информатике, а также укрепляются межпредметные связи.

2.2 Анализ учебно-методической литературы по комбинаторике и теории вероятностей

В учебном пособии для проведения факультативного курса по теории вероятностей Лютикаса В.С. вначале даны сведения из прошлого теории вероятностей, затем достаточно подробно и систематично рассматриваются вопросы комбинаторики, вероятности события, операций над вероятностями, независимые повторные испытания (формулы Бернулли, Муавра-Лапласа, Пуассона и Лапласа), дискретные и непрерывные случайные величины, а также рассмотрены различные интересные задачи (например, задача Бюффона, парадокс Бертрана и т.д.). Эта книга интересна как с методической, так и с познавательной точек зрения. Она может быть одинаково доступна как учителю, так и ученику, так как написана простым, понятным языком, в ней дано много таблиц, диаграмм, все главы находятся во взаимосвязи. Материал систематичен и постепенно усложняется.

Книга предназначена для учителей, работающих в школах и классах с углублённым изучением математики. Она содержит методические рекомендации по изучению некоторых теоретических вопросов и решению задач, планирование уроков, образцы самостоятельных и контрольных работ по всем темам; эти материалы написаны в соответствии с учебным пособием Виленкина Н.Я., Ивашева-Мусатова О.С. и Шварцбурда С.И.

Книга посвящена элементарной комбинаторике, теории вероятностей и их приложениям, в ней систематически используется теоретико-множественный язык. Абстрактность этого языка компенсируется большим количеством подробно разобранных примеров. Задачи собраны в отдельные части, которые можно читать независимо. Там рассматриваются простые модели, связанные с приложениями комбинаторики и теории вероятностей. Книга предназначена для и преподавателей, учащихся, а также для студентов.

Авторы книги для внеклассного чтения Балк М.Б., Балк Г.Д. в интересном изложении дают комбинаторику и теорию вероятностей, кроме теории в этой книге есть исторические сведения, которые предлагается дать детям на занятиях кружков или факультативе по математике. После теории представлен набор занимательных задач на соединения без повторений и с повторениями. В отличие от пособия Лютикаса В.С. на занятия по теории вероятностей представлен материал только для одного или двух тематических занятий, а комбинаторика рассматривается без связи с теорией вероятностей. Но в книге представлен большой список литературы по комбинаторике и теории вероятностей.

Книга является пособием для факультетов подготовки учителей начальных классов. В ней дан достаточно большой объём материала по комбинаторике и, преимущественно, теории вероятностей. Этот материал отличается высоким уровнем сложности, он постепенно усложняется, в книге даны обширные исторические сведения.

В статье М.В. Ткачёвой под названием “Анализ данных в учебниках Н.Я. Виленкина и других” приводится пример того, как можно ввести в изучение математики V-IX классов новую содержательную линию, основная цель которой – формирование у учащихся элементарных статистических знаний, а также развитие комбинаторного и вероятностно-статистических стилей мышления. М.В. Ткачёва говорит о том, что вопросы статистики и комбинаторики можно вводить в изучение уже сейчас, на базе учебников и учебных пособий Виленкина Н.Я., Жохова В.И., Чеснокова А.С., Шварцбурда С.И. и др. “Математика 5” и “Математика 6” (М.: Мнемозина, 1996 и далее), которые сейчас наиболее распространены в школах России. Так, предлагается в практически каждой теме решать с детьми комбинаторные задачи при изучении натуральных чисел, операциях над ними, обыкновенных, десятичных дробей, операций над десятичными дробями (5 кл.); при изучении делимости чисел, умножение и деление натуральных и отрицательных чисел, при решении уравнений (6 кл.), далее эта линия усложняется введением элементов статистики и теории вероятностей (систематизация и подсчёт данных в частотных таблицах, столбчатые диаграммы, среднее значение и мода как характеристики совокупности числовых данных (5 кл.); нахождение частот данных по их относительным частотам в выборке заданного объёма и обратно, систематизация и представление данных в частотных таблицах, представление распределения данных в выборке в виде полигона частот (6 кл.). В статье приведён вариант планирования (для 5-6 классов), даны способы адаптации материала учебника к введению элементарных комбинаторных и статистических знаний. Т.е. комбинаторный материал даётся применительно к темам, изучаемым в нынешнем школьном курсе математики. Элементы теории вероятностей вводятся на практических занятиях (например, практическая работа по сбору, распределению данных по признакам, представление их в виде частотных таблиц) и в задачах.

Также в журнале “Математика в школе” есть статья от министерства образования, в которой говорится о том, что одним из важнейших аспектов модернизации содержания математического образования состоит во включении в программы элементов статистики и теории вероятностей. Изучение элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в основной и старшей школе станет обязательным после утверждения федерального компонента государственного стандарта общего образования. Но в связи с тем, что внедрение в практику этого нового материала требует несколько лет и накопления методического опыта, Министерство образования РФ рекомендовало образовательным учреждениям начинать его преподавание в основной школе уже в 2003-2004 учебном году перечислен примерный круг вопросов, на которые следует ориентироваться учителям при введении комбинаторики, статистики и теории вероятностей в основной и старшей школе. Причем рекомендуется начинать изучение этих вопросов уже в 5 классе, т.к., по мнению психологов, дети этого возраста способны усвоить комбинаторный и статистический материал наиболее продуктивно. Кроме этого, в статье приведён достаточно большой список литературы по данной теме (включая учебники, вкладыши к ним, дополнительную литературу по данной теме и материалы для организации подготовки учителей).

В 2003 году издательство «Просвещение» опубликовало учебное пособие Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. «Элементы статистики и теории вероятностей» (под редакцией С.А. Теляковского). Книга предназначена для учащихся VII-IX классов и дополняет учебно-методический комплект: Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. «Алгебра 7», «Алгебра 8», «Алгебра 9» (под редакцией С.А. Теляковского), который сегодня является самым массовым, наиболее широко используемым учебным пособием по математике в основной школе. Поэтому выход в свет дополнения к указанному комплекту, предназначенного для изучения вероятностно-статистического материала, свидетельствует о том, что введение новой вероятностно-статистической линии в школьное математическое образование уже стало реальностью и данное пособие является основным для изучения этой линии.

Учебное пособие «Элементы статистики и теории вероятностей» содержит теоретический и практический материал по элементам статистики и теории вероятностей, а также методический комментарий и планирование, составленное из расчета, что на изучении математики в VII-IX классах отводится 5 часов в неделю.

Небольшое по объему пособие состоит из четырех параграфов и дополняет учебники:

1. Статистические характеристики.

2. Статистические исследования.

3. Элементы комбинаторики.

4. Начальные сведения из теории вероятностей.

Структура пособия аналогична структуре указанных выше учебников. Параграфы делятся на пункты. В каждом пункте содержатся теоретические сведения и соответствующие упражнения. В конце пункта приводятся упражнения для повторения. К каждому параграфу даются дополнительные упражнения более высокого уровня сложности по сравнению с основными упражнениями.

Концепция введения элементов статистики и теория вероятностей в основной школе, которой придерживаются авторы нового пособия, в основном совпадает с концепцией, реализованной в рамках учебного комплекта «Математика 7», «Математика 8», «Математика 9» под редакцией Г.В.Дорофеева, но материал несколько сокращен. Исключением является только параграф об элементах комбинаторики. Он помещен в курс IX класса (а не в VII класс, как это сделано в УМК под ред. Г.В.Дорофеева) и содержит гораздо больше и теоретических сведений и практических упражнений, чем соответствующий материал в учебнике «Математика 7» под ред. Г.В.Дорофеева.

Остановимся подробнее на особенностях предлагаемых подходов к изучению элементов статистики в курсе алгебры 7-8 классов.

В VII классе учащиеся знакомятся с такими простейшими статистическими характеристиками, как среднее арифметическое, мода, медиана, размах. Их содержательный смысл разъясняется на примерах. Учащиеся должны знать соответствующие определения, научиться находить эти характеристики в несложных случаях, понимать их практический смысл в конкретных ситуациях. На изучение этого материала рекомендуется выделить 4 урока в конце учебного года за счет времени, отводимого на итоговое повторение.

Среднее арифметическое ряда данных является одним из основных статистических показателей. Оно используется в статистике наряду с такими средними величинами, как средняя квадратичная, средняя гармоническая.

Авторы подробно рассматривают графические способы представления статистических данных. При этом предлагают использовать столбчатую диаграмму для изображения распределения частот дискретных данных.

Наибольший объем материала запланирован для изучения в IX классе. Этот материал объединен в два параграфа: «Элементы комбинаторики» и «Начальные сведения из теории вероятностей», причем второй параграф включает два пункта, один из которых – обязательный, а решение об изучении второго пункта принимает учитель. На изучение вероятностно-статистического материала в IX классе выделяется 12 уроков (или, по решению учителя, 15 уроков), из них 8 уроков – на комбинаторику, 3 урока (или, по решению учителя, 6 уроков) – на теорию вероятностей и 1 урок – контрольная работа.

Элементы комбинаторики излагаются традиционно. Сначала на простых примерах демонстрируется решение комбинаторных задач методом перебора возможных вариантов. Затем разъясняется и формулируется комбинаторное правило умножения (которое чаще называют правилом произведения).

Далее последовательно вводятся понятия перестановки, размещения из n элементов по k и сочетания из n элементов по k. С помощью комбинаторного правила умножения выводятся формулы для вычисления числа всевозможных перестановок, размещений и сочетаний из данного числа п элементов. Изложение материала сопровождается большим числом задач для самостоятельного решения. Комбинации с повторением элементов не рассматриваются (кроме нескольких несложных примеров).

Соответствующее планирование приведено в «Методическом комментарии» в конце указанного пособия.

В §3 «Элементы комбинаторики» содержится четыре пункта:

1. Примеры комбинаторных задач.

2. Перестановки.

3. Размещения.

4. Сочетания.

Последний параграф пособия «Начальные сведения из теории вероятностей» включает в себя два пункта:

1. Вероятность случайного события.

2. Сложение и умножение вероятностей.

Как указывают авторы в методическом комментарии к пособию, в пункте «Вероятность случайного события» вводятся начальные понятия теории вероятностей, формируется представление о случайных, достоверных и невозможных событиях, приведены статистическое и классическое определение вероятности. При вычислении вероятностей используются формулы комбинаторики.

Авторы пособия использовали тот же подход к введению базовых понятий теории вероятностей, который реализован в УМК под редакцией Г.В. Дорофеева: школьникам показывают, что понимать под словом «вероятность» и как оценивать вероятность наступления несложных случайных событий сначала на качественном уровне – по результатам простейших экспериментов, а позднее происходит количественный подсчет вероятностей. Однако, при реализации этого подхода авторы пособия, будучи жестко ограниченными выделенным на изучение временем и, как следствие, малым объемом пособия, проявили определенную непоследовательность – не смогли избежать некоторых противоречий и не дали четкого понятия о вероятности случайного события и способах ее нахождения в различных частных случаях. Пункт «Вероятность случайного события» начинается с рассмотрения эксперимента и его результата.

В последнем пункте пособия «Сложение и умножение вероятностей» рассматриваются теоремы сложения и умножения вероятностей и связанные с ними понятиями. Авторы вводят понятие несовместных событий и рассматривают случаи наступления одного из двух несовместных событий, не вводя понятия «сумма случайных событий». Далее разъясняется понятие «противоположные события» и формулируется утверждение о сумме вероятностей противоположных событий.

В заключении авторы формулируют утверждение о вероятности события, состоящего в совместном появлении двух независимых событий. При этом не вводится понятие «произведение случайных событий», не вводится и понятие условной вероятности.

В заключении отметим, что пособие содержит большое количество интересных, хорошо подобранных упражнений разного уровня сложности, к большинству из которых даны ответы и указания по решению. К сожалению, в ответах много опечаток, есть неточности и ошибки (подробное рассмотрение ошибок имеется в статье В.Н. Студенецкой, О.М. Фадеевой «Статистика и теория вероятностей на пороге основной школы»).

Материал пункта 1 является подготовительным к пунктам 2-4. в нем рассматриваются примеры комбинаторных задач, при решении которых требуется непосредственно составлять те или иные комбинации и лишь после этого подсчитывать число возможных вариантов. Этот этап очень важный. В процессе составления различных комбинаций учащиеся начинают понимать структуру той или иной комбинации, а также усваивают способы рассуждений и подсчета вариантов. Здесь же разъясняется и формулируется комбинаторно правило умножения, которое неоднократно используется при изучении последующего материала.

Для того чтобы разъяснить учащимся смысл этого правила, рассматривается такая задача: «Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?».

При решении этой задачи сначала составляется древо всех возможных вариантов.

Далее делается важное замечание, что ответ на поставленный вопрос в задаче можно получить, не выписывая сами числа и не строя дерево возможных вариантов. Рассуждать будем так. Первую цифру трехзначного числа можно выбрать четырьмя способами. Так после выбора первой цифры останутся три, то вторую цифру можно выбрать из оставшихся цифр уже тремя способами. Наконец, третью цифру можно выбрать (из оставшихся двух) двумя способами. Следовательно, общее число искомых трехзначных чисел равно произведению 4·3·2 = 24.

После этого формулируется комбинаторное правило умножения: «Пусть имеется n элементов и требуется выбрать один за другим некоторые k элементов. Если первый элемент можно выбрать n1 способами, после чего второй элемент можно выбрать из оставшихся n2 способами, затем третий элемент – n3 способами и т.д., то число способов, которыми могут быть выбраны все k элементов, равно произведению n1·n2·n3·…·nk».

Применение правила умножения иллюстрируется на следующем примере:

«Из города А в город В ведут две дороги, из города В в город С – три дороги, из города С до пристани – две дороги (рис. 1). Туристы хотят проехать из города А через города В и С к пристани. Сколькими способами они могут выбрать маршрут?

Решение. Путь из А в В туристы могут выбрать двумя способами. Далее в каждом случае они могут проехать из В в С тремя способами. Значит, имеется 2·3 вариантов маршрута из А в С. Так как из города С на пристань можно попасть двумя способами, то всего существует 2·3·2, т.е. 12 способов выбора туристами маршрута из города А к пристани.

Упражнения в данном пункте направлены на составление различных комбинаций и подсчет числа возможных вариантов этих комбинаций.

В конце пункта 4 помещены задания смешанного типа, в которых рассматриваются различные комбинации элементов (перестановки, размещения, сочетания).

Дополнительные упражнения к §3 «Элементы комбинаторики» включают усложненные задания. Они могут быть использованы в работе с учащимися, проявляющими интерес и склонности к математике.

В 2004 году издательством «Дрофа» было выпущено пособие Е.А. Бунимовича, В.А. Булычева «Основы статистики и вероятность» для 5-9 классов. Пособие содержит необходимый теоретический и интересный практический материал для изучения новой вероятностно-статистической линии. Пособие может быть использовано вместе с любым из действующих учебников.

Цель данного пособия – помочь ребенку в формировании вероятностного мышления, в освоении школьного курса «Вероятность и статистика», помочь учителю в постановке преподавания этого нового материала.

В книге содержится дополнительный теоретический материал и соответствующие ему блоки задач, которые могут оказаться полезными для проведения занятий в профильных классах, математических кружках и на факультативах. Ко всем задачам учебного пособия даны ответы, а к большинству задач – подробные указания, комментарии и решения.

2.3 Общие сведения

В обыденной жизни нам нередко встречаются задачи, которые имеют несколько различных вариантов решения. Чтобы сделать правильный выбор, важно не упустить ни один из них. Для этого надо уметь осуществлять перебор всех возможных вариантов или подсчитывать их число. Задачи, требующие такого решения, называются комбинаторными. Область математики, в которой изучают комбинаторные задачи, называется комбинаторикой.

Комбинаторика возникла в XVI веке и первоначально в ней рассматривались комбинаторные задачи, связанные в основном с азартными играми. В процессе изучения таких задач были выработаны некоторые общие подходы к их решению, получены формулы для подсчета числа различных комбинаций.

В настоящее время комбинаторика является одним из важных разделов математической науки. Ее методы широко используются для решения практических и теоретических задач. Установлены связи комбинаторики с другими разделами математики.

В начальном обучении математике роль комбинаторных задач постоянно возрастает, поскольку в них заложены большие возможности не только для развития мышления учащихся, но и для подготовки учащихся к решению проблем, возникающих в повседневной жизни.

Комбинаторные задачи в начальном курсе математики решаются, как правило, методом перебора. Для облегчения этого процесса нередко используются таблицы и графы. В связи с этим учителю необходимы определенные умения и навыки решения комбинаторных задач.

КОМБИНАТОРИКА – раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Комбинаторику можно рассматривать как введение в теорию вероятностей, поскольку методы комбинаторики используются для решения многих вероятностных задач, в которых речь идет о подсчете числа возможных исходов и числа благоприятных исходов в различных конкретных случаях.

Выбором объектов и расположением их в том или ином порядке приходится заниматься чуть ли не во всех областях человеческой деятельности.

С аналогичными задачами, получившими название комбинаторных, люди сталкивались в глубокой древности. Уже несколько тысячелетий назад в Древнем Китае увлеклись составлением магических квадратов, в которых заданные числа располагались так, что их сумма по всем горизонталям, вертикалям и главным диагоналям была одной и той же. В Древней Греции подсчитывали число различных комбинаций длинных и коротких слов в стихотворных размерах, занимались теорией фигурных чисел, изучали фигуры, которые можно составить из частей особым образом разрезанного квадрата и т.д.

Комбинаторные задачи возникли и в связи с такими играми, как шашки, шахматы, домино, карты, кости и т.д.

Комбинаторика становится наукой лишь в 18 веке - в период, когда возникла теория вероятностей. Чтобы решать теоретико-вероятностные задачи, нужно было уметь подсчитывать число различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям. После первых работ, выполненных в 18 веке итальянским ученым Дж. Кардано, Н. Тартальей, и Г. Галилеем, такие задачи изучали французские математики Б. Паскаль и П. Ферма. Первым рассматривал комбинаторику как самостоятельную ветвь науки немецкий философ и математик Г. Лейбниц, опубликовавший в 1666 году работу " Об искусстве комбинаторики", в которой впервые появляется сам термин "комбинаторный".

Замечательные достижения в области комбинаторики принадлежат Л.Эйлеру. Комбинаторными задачами интересовались и математики, занимавшиеся составлением и разгадыванием шифров, изучением древних письменностей. Теперь комбинаторика находит применение во всех областях науки и техники: в биологии, где она применяется для изучения состава белков и ДНК, в химии, в механике и т.д.

По мере развития комбинаторики выяснилось, что, несмотря на внешнее различие изучаемых ею вопросов, многие из них имеют одно и то же математическое содержание и сводятся к задачам о конечных множествах и их подмножествах. Постепенно выяснилось несколько основных типов задач, к которым сводится большинство комбинаторных проблем. Важную область комбинаторики составляет теория перечислений. С ее помощью можно пересчитать число решений различных комбинаторных задач.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ – это раздел математики, изучающий закономерности, основанные на взаимодействии большого числа случайных явлений (статистические закономерности).

Отношение числа случаев благоприятствующих событию А, к числу всех возможных случаев называют вероятностью события А. (6 кл. учебник для образовательных учреждений / С.М. Никольский, А.В. Шевкин и др., стр.42)

Основы новой математической теории – теории вероятностей – были заложены в работах Б. Паскаля и других математиков XVII века. Во второй половине XIX века выдающиеся исследования по теории вероятностей велись русскими учеными П.Л. Чебышевым (1821-1894), А.А. Марковым (1856-1922) и другими. К настоящему времени в России сложилась сильная школа теории вероятностей. Крупнейшим ее представителем являлся А.Н. Колмогоров (1903-1987).

3. Развитие интереса к изучению математики у учащихся

В последние годы много и часто говорят о недостаточной эффективности процесса обучения в школе. Главную причину видят в том, что его традиционная организация не отвечает требованиям времени, не создает условий для улучшения качества обучения и развития учащихся. С этим трудно не согласиться. Решение этой проблемы, главным образом, зависит от того, на получение какого именно результата ориентируется учитель в своей работе. В этой связи главным критерием деятельности учителя является представление о конечном результате. Хотим ли мы дать ученику определенный набор знаний по предмету или сформировать личность, готовую к творческой деятельности. Главное найти тот рычаг, который приведет в движение механизм развития творческой деятельности, а вместе с тем и личности учащегося. Исходя из общей цели, стоящего перед системой обучения, направленной на общее развитие школьников, курс математики нацелен на решение следующих задач:

1. Способствовать продвижению школьников в общем развитии, то есть развивать их мышление;

2. Дать представление о математике как науке, обобщающей реально существующие и происходящие явления и способствующей познанию окружающей действительности;

3. Сформировать знания, умения и навыки, необходимые ученику в жизни.

При знакомстве с программой нужно иметь в виду, что ее содержание не однородно и относится к трем разным уровням, каждый из которых имеет свою специфику и требует различного подхода. Воспитать инициативного, думающего, ответственного человека традиционными способами невозможно и программа развивающего обучения – один из путей достижения этой цели. Проблема, которая особенно беспокоит педагогов, работающих в подростковых классах – потеря познавательного интереса, снижение внутренней мотивации учения.

Педагог должен исходить из реальной учебной ситуации. Ему надо не исследовать мышление ребенка, а анализировать ошибки детей, которые они допускают в процессе выполнения учебных заданий. Главной задачей для педагога является формирование у учащихся познавательной мотивации. А это может произойти только через грамотно построенное образование.

3.1 Примерные уроки по теме «Решение комбинаторных задач и теория вероятностей»

Класс: 6 класс

Тема: «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».
Цель: Сообщение новых знаний, формирование умения решать простейшие комбинаторные задачи и вычислять вероятность событий.
Оборудование: 4 монеты, 4 игральных кубика (от 1 до 6), 1 кубик (от 1 до 3), 4 спичечных коробка пустых, таблицы с видами событий, таблица для занесения результатов испытаний.

Ход занятия

Сообщение темы занятия и цели.

С некоторыми комбинаторными задачами вы уже знакомы. Например, следующие:

1. Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7 (цифры в числе не повторяются)? (Шесть: 14, 17, 41, 47, 71, 74).
2. Сколько различных 3-значных чисел можно составить из цифр 3, 7 и 8 (цифры не повторяются)? (Тоже шесть: 378, 387, 738, 783, 873, 837).
3. Сколько 4-значных чисел можно составить из 4 цифр? Разбор решения. «На 1-е место в 4-значном числе – 4 варианта, на 2-е – 3 варианта, на 3-е – 2 варианта, на 4-е – 1 вариант». 4•3•2•1=24. 4!=1•2•3•4. 3!=1•2•3.

Вводится определение: Задачи о подсчете числа возможных комбинаций называются комбинаторными.

Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. С комбинаторными задачами люди столкнулись в глубокой древности. Несколько тысячелетий назад в Древнем Китае занимались составлением магических квадратов. С ними мы знакомились в 5-м классе.

Инсценированная задача.

Ребята, представьте, что мы с вами оказались в конце XIX в. на постоялом дворе.

Пассажир ходит, ожидая кучера. Затем появляется кучер и пассажир спрашивает:
- Не пора ли запрягать?

- Что вы! – ответил кучер. – Еще полчаса до отъезда. За это время я успею 20 раз и запрячь, и отпрячь, и опять запрячь. Нам не впервой…

- А сколько в карету впрягается лошадей?

- Пять.

- Сколько времени полагается на запряжку лошадей?

- Да минуты 2, не более.

- Ой, ли? – усомнился пассажир. – Пять лошадей запрячь в две минуты… Что-то уж очень скоро!

- И очень просто, - отвечал кучер. – Выведут лошадей в сбруе, постромках с вальками, в вожжах. Остается только накинуть кольца вальков на крюки, приструнить двоих средних лошадей к дышлу, взять вожжи в руки, сесть на козлы и готово… Поезжай!

- Ну, хорошо! – заметил пассажир. – Допустим, что таким образом можно запрячь и отпрячь лошадей хоть 20 раз в полчаса. Но если их придется перепрягать одну на место другой, да еще всех, то уж этого не сделать не только в полчаса, но и в два часа.

- Тоже пустячное дело! – расхвастался кучер. – Разве нам не приходится перепрягать! Да какими угодно способами я их всех перепрягу в час, а то и меньше – одну лошадь на место другой поставил, и готово! Минутное дело!
- Нет, ты перепряги их не теми способами, которые мне угодны, - сказал пассажир, - а всеми способами, какими только можно перепрячь 5 лошадей, считая на перепряжку одну минуту, как ты хвастаешь.
Самолюбие кучера было задето.

- Конечно, всех лошадей и всеми способами я перепрягу не более как за час.

- Я дал бы 100 рублей, чтобы посмотреть, как ты сделаешь это за час! – сказал пассажир.

- А я при всей своей бедности заплачу за ваш проезд в карете, если я этого не сделаю, - ответил кучер.

Так и условились.

Итак, ребята, кучер с пассажиром задали нам задачу: «Сколькими способами можно перепрячь пять лошадей?»

Решают сами. 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 5! = 120 (способов), значит, за один час кучер не успеет справиться с заданием.

Определения:

В природе, да и в обыденной жизни часто приходится иметь дело с явлениями случайными, т.е. с ситуациями, исход которых нельзя точно предвидеть. Вы покупаете лотерейный билет – можете выиграть, а можете и не выиграть; на выборах может победить один кандидат, а может и другой.

Случайным называется событие, которое может произойти, а может и не произойти.

События бывают: равновозможными (равновероятными); маловероятными; более вероятными; достоверными; невозможными.

Определите вид следующих событий:

1. Выпадение «орла» или «решки» при подбрасывании монеты.

2. Зашли в темную комнату, включили свет, загорелась лампочка.

3. Если опрокинуть стакан с водой, вода выльется.

4. В жаркий летний день пошел снег.

Важно знать, можно ли найти закономерности в мире случайного? Можно ли какими-либо способами оценить шансы наступления интересующего нас случайного события? Ответ на эти вопросы дает наука, которая так и называется – теория вероятностей. Это наука о вычислении вероятностей случайных событий.

Практическая часть.

Сейчас мы с вами проведем некоторые испытания.

1-й ряд: ученики подбрасывают по 25 раз спичечный коробок (таб. 2).

2-й ряд: по 25 раз подбрасывают монету (таблица 3). 3-й ряд: по 25 раз – игральный кубик (таблица 4).

Дается формула для подсчета частоты

Частота =Число появления событий/Число экспериментов

Подсчитываем частоту наступления вышеперечисленных событий. На доске заполняется таблица 5.

По частоте события определяют вероятность случайного события. Чем больше испытаний, тем точнее определяется вероятность.

Вероятность события обозначается большой латинской буквой P (от французского probabilite, что в переводе – возможность, вероятность).

Например, P(A) =0,5(вероятность выпадения «орла»).

В XVII в. Эксперименты с монетой проводил француз Жорж Луи де Бюффон, у которого «орел» выпал 2048 раз при 4040 испытаниях.

2048/4040=0,51

В начале XX в. Английский математик Карл Пирсон провел 24000 экспериментов. «Орел» выпал 12012 раз. 12012/24000 0,50 P(A)= 50%.

Прикладное значение.

Вероятностные оценки широко используются в физике, биологии, социологии, в экономике и политике, в спорте и повседневной жизни человека. Если в прогнозе погоды сообщают, что завтра будет дождь с вероятностью 70%, то это значит, что не обязательно будет дождь, но шансы велики и стоит взять зонтик, выходя из дома. Умение оценивать вероятность наступления событий очень полезно, например, при решении вопроса, стоит ли участвовать в лотерее или вступать в игру.

Мини-сценка.

Руслан предлагает сыграть Саше с ним в игру. Каждый по очереди бросает кубик, на противоположных гранях которого написаны числа 1, 2, 3. Если выпадает нечетное число, то 1 очко получает Руслан; если четное – очко Саше. Выигрывает тот, кто первый наберет 30 очков. Бросают несколько раз.

Саша: Эта игра несправедливая, потому что на 4 гранях написаны нечетные числа, а на 2 – четные.

Частота = 4/6 = 2/3; частота =2/6 = 1/3.

- Руслан, у тебя больше шансов, т.к. вероятность больше.

Рассмотрим другой пример из жизни.

У киоска встречаются Оля и Андрей. Ольга выбирает, какую из 3 видов лотереи купить: «Спортлото», «Поле чудес», «Русское лото».
Андрей: Что хочешь купить? Книгу какую-нибудь с задачами?
Оля: Нет, родители разрешили что-нибудь купить. Вот выбираю, билет какой лотереи купить. Возьму «Спортлото».

Андрей: Математик, прежде чем купить билеты той или другой лотереи, подсчитает шансы получить выигрыш. Смотри: 49•48•46•47•45•44=10.068.347.520, т.к. порядок нам не важен, то разделим на 6∙120=720 и получим 13.983.816 способов зачеркивания. Это твой шанс.

Оля: Ладно, билеты этой лотереи брать не буду, возьму «Поле чудес». Якубович обещает полный ящик денег, если угадаешь победителя в каждой тройке игроков в играх месяца. Это просто.

Андрей: А ты подсчитай, что в течение месяца проходит 4 передачи, в каждой передаче 3 тройки, да еще 4-я из победителей первых 3. Таким образом, надо угадать победителя в 16 тройках. В каждой тройке, естественно, 3 варианта выбрать победителя, а всего 316 вариантов, а это 43.046.721 вариант. Шанс еще меньше.

Оля: Ну а «Русское лото?» Самая популярная лотерея в стране.

Андрей: Да, это надо, чтобы ты закрыла 30 номеров из 90 возможных. Это 19-значное число. За счет того, что в этой игре несколько кругов, то шансы увеличиваются до 56 млн.

Оля: Да, Андрей, и как я до этого раньше не додумалась? Скажи, а как ты так быстро считаешь шансы?

Андрей: Недавно прочитал учебник по теории вероятностей, вот и научился.

Оля: Вот и я такой куплю. Спасибо за совет.

Подведение итогов.

Итак, ребята, сегодня вы познакомились с элементами комбинаторики и теории вероятностей. Вероятность – это ожидаемая частота того, что какое-то событие произойдет.

Определите, глядя на таблицу 1 к какому виду можно отнести каждое из следующих событий:

а) выигрыш 3 млн. в лотерее;

б) камень, брошенный в воду, поплыл по реке;

в) выходишь на улицу, а навстречу идет слон;

г) летом у школьников будут каникулы;

д) на этой неделе выпадет снег.

Домашнее задание.

1. Возьмите две пуговицы – «с ножкой» и без нее. Оцените вероятность выпадения на каждую из сторон пуговиц, проведя 100 экспериментов с каждой пуговицей.

2. На 100 батареек попадают 3 бракованные. Какова вероятность купить бракованную батарейку?

Класс: 5 класс

Тема: «Элементы комбинаторики».

Цель: Сообщение новых знаний, формирование умения решать простейшие комбинаторные задачи.

Оборудование: цветные треугольники и бумаги (синий, красный, зеленый, желтый).

Ход занятия.

Сообщение темы занятия и цели.

Ребята, сегодня мы с вами познакомимся с некоторыми комбинаторными задачами. К таким задачам относятся задачи на перебор всех возможных вариантов или подсчет таких вариантов. Например:

Задача 1. Запишите все трехзначные числа цифрами 1, 2 и 3 без повторения. Сколько таких чисел?

Решение: Запишем числа в порядке возрастания: 123, 132, 213, 231,312, 321. здесь выписаны все числа, удовлетворяющие условию задачи, без пропусков и повторений. На первое место можно поставить любую из трех цифр, на второе место можно поставить только одну из двух оставшихся, т.е. имеется 3·2=6 возможностей занять два первых места. В каждом из этих шести случаев третье место займет оставшаяся цифра. Всего таким образом можно составить только 6 трехзначных чисел (рисунок 1.)

Задача 2. Сколько двузначных чисел можно записать, используя цифры 1, 2 и 3?

Решение: в отличие от задачи 1 здесь можно повторять цифры. Чтобы ответить на вопрос задачи, можно выписать все числа без пропусков и повторений:

11 21 31

12 22 32

13 23 33

На первом месте может стоять одна из трех цифр: 1, 2 или 3. в каждом из этих трех случаев на второе место можно поставить одну из трех цифр 1, 2 или 3. Итого, имеется 3·3=9 двузначных чисел, записанных цифрами 1, 2 и 3.

Практическая часть.

Раздаются цветные треугольники из бумаги: синий, желтый, зеленый, красный.

- Ребята, а теперь давайте посмотрим какие и сколько можно составить елочек из предложенных треугольников, не повторяя цвета?

Ответ: 24 елочки.

Учащиеся раскладывают на партах елочки. Результаты оформляются на доске и в тетрадях (рис. 2).

- Ребята, а теперь давайте решим задачу. Коля написал два раза свое имя

К О Л Я

К О Л Я

Его сосед по парте заметил, что Коля может прочитать свое имя более 10 раз, и показал один из способов.

К–О Л Я

К О Л–Я

Сколькими способами Коля может прочитать свое имя?

Решение: К каждой букве О можно прийти двумя способами, к каждой букве Л – четырьмя способами, к каждой букве Я – восемью, а всего прочитать слово можно шестнадцатью способами.

К О 2 Л 4 Я 8

К О 2 Л 4 Я 8

Задача. Бросили два игральных кубика. На первом выпало 2 очка, на втором 6 очков. Сколькими различными способами может выпасть 8 очков на этих кубиках?

Решение: Рассмотрим варианты, когда может выпасть 8 очков: 2×6, 3×5, 4×4, 5×3, 6×2. Мы видим, что 8 очков может выпасть пятью способами.

Задача. Восемь друзей решили провести турнир по шашкам так, чтобы каждый сыграл с каждым одну партию. Сколько партий будет сыграно?

Решение: Каждый игрок должен сыграть по 7 партий. Рассмотрим случаи, когда игроки не повторяются. Первый должен сыграть 7 партий (со 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 игроками), второй – 6 партий (с 3, 4, 5, 6, 7, 8 игроками), третий – 5 партий (с 4, 5, 6, 7, 8 игроками), четвертый – 4 партии (с 5, 6, 7, 8 игроками), пятый – 3 партии (с 6, 7, 8 игроками), шестой – 2 партии (с 7, 8 игроками), седьмой – 1 партия (с 8-м игроком). Отсюда, количество партий: 7+6+5+4+3+2+1=28.

- Ребята, сегодня мы с вами изучили некоторые элементы комбинаторики, решили задачи на перебор всех возможных вариантов.

Домашнее задание:

1. Запишите все трехзначные числа, используя цифры 0, 3, 5, 9 с повторением, без повторений.

2. Четыре подружки купили четыре билета в кино. Сколькими различными способами они могут занять свои места в зрительном зале?

3. Запишите своё имя. Сколькими способами вы можете его прочитать?

4. Сколькими способами можно выложить узор из четырех предметов, используя треугольник, квадрат и круг.

3.2 Экспериментальная часть

Методику обучения решению комбинаторных задач и задач на вероятность в 5-6 классах основной школы была проверена на педагогической практике путем эксперимента в 6 «А» классе (гимназическом).

Эксперимент был построен в три этапа:

I. Констатирующий этап. На данном этапе были проведены и обработаны тесты на психодиагностику познавательных процессов и оценку мышления у школьников. А также даны задания на выборочное решение задач (обычные, комбинаторные, на теорию вероятностей).

Проведение психодиагностического теста на исследование гибкости мышления. Методика позволяет определить вариативность подходов, гипотез, исходных данных, точек зрения, операций, вовлекаемых в процесс мыслительной деятельности. Тест проводился в группе.

Учащимся предлагался бланк, каждому на парту, с записанными анаграммами (наборами букв). В течение 3 минут они должны составить из наборов букв слова, не пропуская и не добавляя ни одной буквы. Слова могут быть только существительными.

Предложенный бланк:

йво укб яодл аапл аицпт отмшр

йла ирм руот орщб уаргшоелсв

абл отм еноб оетл оосвл аашлп

ашр асд аукл оерм оалмс оесмт

озв обл иапл октс бреор аилдн

Обработка результатов:

Проведение психодиагностического теста на изучение логической памяти. Методика позволяет определить развитие логической памяти.

Учащимся зачитывается ряд слов, которые они должны запомнить, причем эти слова составляют часть предложений. Вторые части будут прочитаны несколько позже. Учитель читает слова первого ряда с 5-секундным интервалом. После 10-секундного перерыва зачитывает слова второго ряда с интервалом 10 сек.

Учащиеся записывают предложения, составленные из слов первого и второго рядов.

Первый ряд Второй ряд

БАРАБАН ВОСХОД СОЛНЦА

СЕЛА НА ЦВЕТОК ПЧЕЛА

ГРЯЗЬ ЛУЧШИЙ ОТДЫХ

ТРУСОСТЬ ПОЖАР

ПРОИЗОШЕЛ НА ФАБРИКЕ ВИСЕЛ НА СТЕНЕ

В ГОРАХ ДРЕВНИЙ ГОРОД

В КОМНАТЕ ОТВРАТИТЕЛЬНОЕ КАЧЕСТВО

СОН ОЧЕНЬ ЖАРКО

МОСКВА МАЛЬЧИК

МЕТАЛЛЫ ЖЕЛЕЗО И ЗОЛОТО

НАША СТРАНА ПРИЧИНА БОЛЕЗНИ

ПРИНЕС КНИГУ ПЕРЕДОВОЕ ГОСУДАРСТВО

Предложения

Барабан висел на стене

Пчела села на цветок

Грязь – причина болезни

Трусость – отвратительное качество

Восход солнца в горах

На фабрике произошел пожар

В комнате очень жарко

Лучший отдых – сон

Москва – древний город

Железо и золото – металлы

Наша страна – передовое государство

Мальчик принес книгу

Обработка результатов:

Задания на выборочное решение задач. Учащимся предлагается три задачи и дается задание: решить две из них (при желании – три).

Задача 1. В одном пакете кг конфет, а в другом – на меньше, чем в первом. Какова масса конфет в двух пакетах?

Решение: 1) (кг) – во 2-м пакете

2) (кг) – всего.

От

Задача 2. В кафе предлагают два первых блюда: борщ, рассольник – и четыре вторых блюда: гуляш, котлеты, сосиски, пельмени. Укажите все обеды из двух блюд, которые может заказать посетитель. Проиллюстрируйте ответ, построив дерево возможных вариантов.

Решение:

Итак, посетитель может заказать 8 вариантов обедов.

Ответ: 8 обедов.

Задача 3. В коробке 3 красных, 3 желтых, 3 зеленых шара. Вытаскиваем наугад 4 шара. Какие из следующих событий невозможные, какие – случайные, а какие – достоверные:

А = {все вынутые шары одного цвета};

В = {все вынутые шары разных цветов};

С = {среди вынутых шаров есть шары разных цветов};

D = {среди вынутых есть шары всех трех цветов}.

Решение:

Событие А – невозможное: нельзя вынуть из коробки четыре шара одного цвета, так как в ней только по три шара каждого цвета.

Событие В – тоже невозможное: шары в коробке трех цветов, а вынимаем четыре.

Событие С – достоверное: ведь все четыре шара, как мы уже выяснили не могут быть одного цвета, поэтому среди них обязательно есть шары хотя бы двух цветов.

Событие в – случайное.

Обработка результатов:

На данном этапе был проверен уровень знаний учащихся в области комбинаторики и теории вероятностей, т.к. автор на практике пробных уроков давал уроки на комбинаторику и теорию вероятностей в этом же классе. Учащиеся показали довольно высокий уровень знаний в данной области.

II. Формирующий этап. На уроках математики даются комбинаторные задачи и задачи на вероятность в домашнем задании и используются в устном счете.

Проведены внеклассные мероприятия на тему: «Элементы комбинаторики и теории вероятностей», на которых давался теоретический и практический материал.

В домашнем задании даются задачи из сборника задач (см. приложение 1).

В устном счете давались задачи из сборника (приложение 1), но не решались сами задачи, а учащиеся должны были определить к какому типу относятся эти задачи. Так же давались задания на вычисление факториала, типа:

1. Делится ли число 30! на:

а) 90; б) 92; в)94; г) 96?

Решение. а) 90=2·5·9. среди множителей числа 30! есть числа 2, 5 и 9. Значит, число 30! делится на 90.

б) 92=4∙23. среди множителей 30! есть числа 4, 23. значит, число 30! делится на 92.

в) 94=2·47. число 47 простое и больше, чем 30. так как среди множителей числа 30! Нет числа 47, то число 30! Не делится на 94.

г) 96=2·3·16. среди множителей 30! есть числа 2, 3, 16. значит, число 30! делится на 96.

2. Делится ли число 14! на:

а) 168; б) 136; в) 147; г) 132?

3. Найдите значение выражения:

а) б) в) г)

Решение: а)

б)

в)

г)

4. Что больше и во сколько раз:

а) 6!∙5 или 5! ∙6 б) (п+1)! ∙п или п! ∙(п+1)

Внеклассное мероприятие на тему «Элементы комбинаторики»

6 «А» класс (школа №858)

Цель: Ввести новые знания по теме «Элементы комбинаторики»

Задачи:

1. Образовательные:

· выявить, обобщить и расширить математические знания, имеющиеся у детей на данный момент в области комбинаторики;

· ввести понятия перестановки, факториал;

· начать формирование умений по применению знаний в решении заданий;

2. Развивающие:

· развивать логическое мышление, долговременную память, внимательность;

· развивать умение рассуждать, обобщать и делать выводы;

· развивать правильную математическую речь, вычислительный навык;

3. Воспитательные:

· воспитывать усидчивость, дисциплинированность, инициативность;

· воспитывать уважение к преподавателю, одноклассникам.

Ход мероприятия

1. Организационный момент: Здравствуйте, садитесь! Сегодня на уроке вы познакомитесь с комбинаторикой.

2. Подготовительный этап.

Вы уже знакомы с некоторыми задачами на перебор всех возможных вариантов, которые решали с помощью составления древа.

Например: Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?

При решении этой задачи сначала составляется древо всех возможных вариантов (учитель у доски со слов учащихся).

3. Введение новых знаний

Но как вы уже знаете, ответ на поставленный в вопрос можно получить, не выписывая сами числа и не строя дерево возможных вариантов. Рассуждать будем так. Первую цифру трехзначного числа можно выбрать четырьмя способами. Так после выбора первой цифры останутся три, то вторую цифру можно выбрать из оставшихся цифр уже тремя способами. Наконец, третью цифру можно выбрать (из оставшихся двух) двумя способами. Следовательно, общее число искомых трехзначных чисел равно произведению 4·3·2 = 24.

Ответ на поставленный в примере вопрос мы нашли, используя так называемое комбинаторное правило умножения (записывается в тетрадь).

Пусть имеется n элементов и требуется выбрать один за другим некоторые k элементов. Если первый элемент можно выбрать n1 способами, после чего второй элемент можно выбрать из оставшихся n2 способами, затем третий элемент – n3 способами и т.д., то число способов, которыми могут быть выбраны все k элементов, равно произведению n1·n2·n3·…·nk.

4. Практический этап

1. В кафе предлагают два первых блюда: борщ, рассольник – и четыре вторых блюда: гуляш, котлеты, сосиски, пельмени. Укажите все обеды из двух блюд, которые может заказать посетитель. Проиллюстрируйте ответ, построив дерево возможных вариантов.

Решение:

На первое место можно выбрать одно из двух блюд, на второе – одно из четырех блюд. Значит количество обедов из двух блюд: 2·4=8.

Ответ: 8 обедов.

2. Стадион имеет 4 входа: А, В, С и Д. укажите все возможные способы, какими посетитель может войти через один вход и выйти через другой. Сколько таких способов?

Решение: Посетитель может войти через один из четырех входа, а выйти через один из трех оставшихся, т.е. имеется 4·3=12 способов.

Ответ: 12 способов.

3. Из села Дятлово в село Матвеевское ведут три дороги, а из села Матвеевское в село Першино – четыре дороги. Сколькими способами можно попасть из Датлова в Першино через Матвеевское?

Решение: В село Матвеевское из Дятлова можно попасть тремя способами. А из Матвеевского в Першино – 4 способами. Значит, 3·4=12 способов.

Ответ: 12 способов.

4. Петр решил пойти на новогодний карнавал в костюме мушкетера. В ателье проката ему предложили на выбор различные по фасону и цвету предметы: пять пар брюк, шесть камзолов, три шляпы, две пары сапог. Сколько различных карнавальных костюмов можно составить из этих предметов?

Решение: Брюки можно выбрать пятью способами, камзолы – шестью, шляпы – тремя, сапоги – двумя. Значит, костюм можно составить 5·6·3·2=180 способами.

Ответ: 180 способов.

5. Введение новых знаний

Пример. Пусть имеются три книги. Обозначим их буквами a, b, c. Эти книги можно расставить на полке по-разному: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

Каждое из этих расположений называют перестановкой из трех элементов.

Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке.

Число перестановок из n элементов обозначается символом Pn (читается «Р из n»).

Мы установили, что Р3 = 6. Для того, чтобы найти число перестановок из трех элементов, можно не выписывать эти перестановки, а воспользоваться правилом умножения. Будем рассуждать так. На первое место можно поставить любой из трех элементов. Для каждого выбора первого элемента есть две возможности выбора второго из оставшихся двух элементов. Наконец, для каждого выбора первых двух элементов остается единственная возможность выбора третьего элемента. Значит, число перестановок из трех элементов равно 3·2·1, т.е. 6.

Выведем теперь формулу для числа перестановок из п элементов.

Пусть мы имеем n элементов. На первое место можно поставить любой из них. Для каждого выбора первого элемента на второе место можно поставить один из оставшихся n-1 элементов. Для каждого выбора первых двух элементов на третье место можно поставить один из оставшихся n-2 элементов и т.д. в результате получим, что

Pn = n(n-1)(n-2) ·…·3·2·1.

Расположив множители в порядке возрастания, получим

Pn = 1·2·3·…·( n -2)( n -1) n .

Для произведения первых n натуральных чисел используется специальное обозначение: n ! (читается «n факториал»).

Таким образом, число всевозможных перестановок из n элементов вычисляется по формуле Pn = n !

Например, 2!=1·2=2; 5!=1·2·3·4·5=120.

По определению считают, что 1!=1.

6. Практический этап

- Ребята, давайте вспомним басню И.А.Крылова «Квартет»:

Проказница мартышка,

Осел,

Козел,

Да косолапый мишка

Затеяли сыграть Квартет.

Достали нот, баса, альта, две скрипки

И сели на лужок под липки –

Пленять своим искусством свет.

Ударили в смычки, дерут, а толку нет.

«Стой, братцы, стой!» - кричит мартышка. – «Погодите!

Как музыке идти? Ведь вы не так сидите.

Ты с басом Мишенька садись против альта,

Я, прима, сяду против вторы;

Тогда пойдет уж музыка не та:

У нас запляшут лес и горы!»

Расселись, начали Квартет,

Он все-таки на лад нейдет.

«Постойте ж, я сыскал секрет! –

Кричит Осел, - мы верно уж поладим,

Коль рядом сядем.»

Послушались осла, уселись чинно в ряд;

А все-таки Квартет нейдет на лад.

Вот пуще прежнего пошли у них разборы

И споры,

Кому и как сидеть.

Случилось Соловью на шум их прилететь.

Тут с просьбой все к нему, чтоб их решить сомненье.

«Пожалуй, - говорят, - возьми на час терпенье,

Чтобы Квартет в порядок наш привесть:

И ноты есть у нас, и инструменты есть,

Скажи, лишь как нам сесть!» -

«Чтоб музыкантом быть, так надобно уменье

И уши ваших понежней, -

Им отвечает Соловей, -

А вы, друзья, как ни садитесь, все в музыканты не годитесь».

Сколько способами могут рассесться участники Квартета?

Решение: Квартет состоит из четырех участников. Число способов равно числу перестановок из 4 элементов. Р4=1∙2∙3∙4=24. Значит, существует 24 способа.

Ответ: 24 способа.

5. Сколькими способами могут быть расставлены 8 участниц финального забега на восьми беговых дорожках?

Решение: Число способов равно числу перестановок из 8 элементов.

Р8=1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8=40320. Значит, существует 40320 способов расстановки участниц забега на восьми беговых дорожках.

Ответ: 40320 способов.

6. Сколько различных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр 0, 2, 4, 6?

Решение: Из цифр 0, 2, 4, 6 можно получить Р4 перестановок. Из этого числа надо исключить те перестановки, которые начинаются с 0, т.к. натуральное число не может начинаться с цифры 0. число таких перестановок равно Р3. значит, искомое число четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 0, 2, 4, 6 равно Р4 – Р3= 4!–3!=1∙2∙3∙4 – 1∙2∙3= 24 – 6=18.

Ответ: 18 чисел.

7. Имеется девять различных книг, четыре из которых – учебники. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы все учебники стояли рядом?

Решение: Сначала будем рассматривать учебники как одну книгу. Тогда на полке надо расставить не 9, а 6 книг это можно сделать Р6 способами. В каждой из полученных комбинаций можно выполнить Р4 перестановок учебников. Значит, искомое число способов расположения книг на полке равно произведению Р6·Р4 = 6! ·4! = 720·24 = 17280.

Ответ: 17280 способов.

8. Сколькими способами 9 человек могут встать в очередь в театральную кассу?

Решение: Число способов равно числу перестановок из 9 элементов.

Р9=9!=1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9=362880.

Ответ: 362880 способов.

9. В расписании на понедельник шесть уроков: алгебра, геометрия, биология, история, физкультура, химия. Сколькими способами можно составить расписание на этот день так, чтобы два урока математики (алгебра и геометрия) стояли рядом?

Решение: Рассмотрим алгебру и геометрию как один урок. Тогда расписание надо составить не из 6, а из 5 уроков – Р5 способов. В каждой из полученных комбинаций можно выполнить Р2 перестановки алгебры и геометрии. Значит, искомое число способов составления расписания:

Р5∙Р2=1∙2∙3∙4∙5∙1∙2= 120∙2=240

Ответ: 240 способов.

7. Подведение итогов. Итак, вы познакомились с некоторыми правилами комбинаторики и применили их при решении задач. Какие это правила?

8. Домашнее задание:

1. В кафе имеются три первых блюда, пять вторых блюд и два третьих. Сколькими способами посетитель кафе может выбрать обед, состоящий из первого, второго и третьего блюд?

Решение. Первое блюдо можно выбрать 3 способами. Для каждого выбора первого блюда существует 5 возможностей выбора второго блюда. Значит, первые два блюда можно выбрать 3·5 способами. Наконец, для каждого выбора третьего блюда, т.е. существует 3·5·2 способов составления обеда из трех букв. Итак, обед из трех букв может быть составлен 30 способами.

2. Курьер должен разнести пакеты в 7 различных учреждений. Сколько маршрутов он может выбрать?

Решение: Число маршрутов равно числу перестановок из 7 элементов.

Р7=7!= 1∙2∙3∙4∙5∙6∙7=5040

Ответ: 5040 маршрутов.

3. Имеется девять различных книг, четыре из которых – учебники. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы все учебники стояли рядом?

Решение: Сначала будем рассматривать учебники как одну книгу. Тогда на полке надо расставить не 9, а 6 книг это можно сделать Р6 способами. В каждой из полученных комбинаций можно выполнить Р4 перестановок учебников. Значит, искомое число способов расположения книг на полке равно произведению Р6·Р4 = 6! ·4! = 720·24 = 17280.

4. Вычислите значение дроби:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е)

III. Контролирующий этап. Повторное проведение и обработка тестов на психодиагностику познавательных процессов, оценку мышления у школьников. Повторное задание на выборочное решение задач. Обработка результатов и сравнение с результатами констатирующего этапа.

Проведение психодиагностического теста на исследование гибкости мышления.

Обработка результатов:

Сравнение результатов с результатами констатирующего этапа представлены в диаграмме. Показатель гибкости мышления учащихся значительно увеличился.

Проведение психодиагностического теста на изучение логической памяти.

Обработка результатов:

Сравнение результатов с результатами констатирующего этапа представлено в диаграмме. Показатель развития логической памяти учащихся значительно увеличился – большее количество учащихся справилось с заданием верно.

Задания на выборочное решение задач. Учащимся предлагается три задачи и дается задание: решить две из них (при желании – три).

Задача 1. В первый день магазин продал 32% имевшегося ситца, а во второй день 7%. После этого осталось 305 м. сколько ситца поступило в магазин?

Решение: 1) 32+7=39 (%)-продали за 2 дня

2) 100-39=61 (%) – осталось.

3)305:0,61=500 (м) – ситца поступило в магазин

Ответ: 500 м ситца поступило в магазин.

Задача 2. Сколькими способами 5 мальчиков и 5 девочек могут занять в театре в одном ряду места с 1 по 10? Сколькими способами они могут это сделать, если мальчики будут сидеть на нечетных местах, а девочки – на четных?

Решение. Если мальчики и девочки сядут в один ряд в произвольном порядке, то это можно сделать Р10=10!=3628800 способами. Если мальчики сядут на нечетные места, то существуют Р5 способов их расположения. Столькими же способами могут расположиться девочки на четных местах. Каждому способу расположения мальчиков соответствует Р5 способов расположения девочек.

Значит, расположиться так, что мальчики будут сидеть на нечетных местах, а девочки – на четных, можно Р5·Р5=5! ·5!=120·120=14400 способами.

Задача 3. В коробке 2 красных, 4 желтых, 3 зеленых кубика. Вытаскиваем наугад 5 кубиков. Какие из следующих событий невозможные, какие – случайные, а какие – достоверные:

А = {все вынутые кубики одного цвета};

В = {все вынутые кубики разных цветов};

С = {среди вынутых кубиков есть кубики разных цветов};

D = {среди вынутых есть кубики всех трех цветов}.

Решение:

Событие А – невозможное: нельзя вынуть из коробки пять кубиков одного цвета, так как в ней каждого цвета меньше пяти кубиков.

Событие В – тоже невозможное: кубики в коробке трех цветов, а вынимаем пять.

Событие С – достоверное: ведь все пять кубиков, как мы уже выяснили не могут быть одного цвета, поэтому среди них обязательно есть кубики хотя бы двух цветов.

Событие в – случайное.

Обработка результатов:

Сравнение результатов с констатирующим этапом представлено в диаграмме.

Большее количество учащихся решило все три задачи верно, в том числе задачи на комбинаторику и вероятность, что говорит об успешности формирующего этапа эксперимента.

Значит, возможно сформировать первоначальное представление о вероятности и научить решать комбинаторные задачи учащихся 5-6 классов, используя методы проблемного обучения, занимательные задачи, задачи, содержащие жизненные ситуации и тем самым повысить показатель логической памяти и гибкости мышления у учащихся 5-6 классов.

Заключение

Исследуя тему «Методика обучения решению комбинаторных задач и формирование первичного представления о вероятности» проанализировали научно-методическую литературу, выявили уровень логического мышления учащихся 5-6 классов основной школы. Так же изучили психологические особенности учащихся 5-6 классов основной школы, изучили методику ознакомления учащихся с задачами на комбинаторику. Разработаны фрагменты уроков.

Цель исследования выполнена – изучили методику обучения решению комбинаторных задач и задач на вероятность в 5-6 классах основной школы.

Гипотеза, положенная в основу исследования подтверждается – возможно сформировать первоначальное представление о вероятности и научить решать комбинаторные задачи учащихся 5-6 классов, используя методы проблемного обучения, занимательные задачи.

Библиография

1. Бардиер Г.Л. «Тонкости психологической помощи детям», Издательство Генезис, М., 2002.

2. Бунимович Е.А., Булычев В.А. Вероятность и статистика. Пособие для общеобразовательных учебных заведений. – М.: Дрофа, 2002.

3. Бунимович Е.А., Булычев В.А. Основы статистики и вероятность. 5-9 кл.: Пособие для общеобразовательных учреждений – М.: Дрофа, 2004.

4. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по теории вероятностей: Учебное пособие для студ.втузов – 5 изд., испр. – М.: Издательский центр «Академия», 2003.

5. Выготский Л.С. Воображение и творчество в детском возрасте. Спб.: Союз, 1997.

6. Дорофеев Г.В. Петерсон А.Г. Математика. 5-й класс. Часть 1: Учеб. для общеобразоват. учеб.заведений. – М.: издательство «Ювента», 2002.

7. Дорофеев Г.В. Петерсон А.Г. Математика. 5-й класс. Часть 2: Учеб. для общеобразоват. учеб.заведений. – М.: издательство «Ювента», 2002.

8. Дорофеев Г.В. Петерсон А.Г. Математика. 6-й класс. Часть 1: Учеб. для общеобразоват. учеб.заведений. – М.: издательство «Ювента», 2002.

9. Дорофеев Г.В. Петерсон А.Г. Математика. 6-й класс. Часть 2: Учеб. для общеобразоват. учеб.заведений. – М.: издательство «Ювента», 2002.

10. Дорофеев Г.В. Петерсон А.Г. Математика. 6-й класс. Часть 3: Учеб. для общеобразоват. учеб.заведений. – М.: издательство «Ювента», 2002.

11. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Шарыгин И.Ф. и др. Математика. 6-й класс: Учеб. для общеобразоват. учеб.заведений - М.: Дрофа, 1997.

12. Дорофеев Г.В.Математика. 6-й класс: Рабочая тетрадь: К учебнику под редакцией Г.В.Дорофеева, И.Ф.Шарыгина "Математика 6". - М.: Дрофа, 1998.

13. Крутецкий В.А. Психология: Учеб. для учащ. пед. училищ – М.: Просвещение, 1986.

14. Крылов И.А. Басни. – М.: Просвещение, 1985.

15. Локалова Н.П. «Уроки психологического развития в средней школе (5-6 классы), издат. Ось, М., 1989.

16. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра. Элементы статистики и теории вероятностей. Учебное пособие для учащихся 7-9 классов общеобразовательных учреждений/ под редакцией Теляковского С.А. – М., «Просвещение», 2003.

17. Немов Р.С. Психология. Учеб. для студ.высш.пед.учеб.заведений – в 2 кн. Кн.1. общие основы психологии. – М.: Просвещение: Владос, 1994.

18. Нестеренко Ю.В., Олехник С.Н., Потапов М.К. Лучшие задачи на смекалку. – М.: Научно-технический центр "Университетский": АСТ-ПРЕСС, 1999.

19. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Арифметика 5-й класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений – Издат. Отдел УНЦ ДО МГУ, 1997

20. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Арифметика 6-й класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений – Издат. Отдел УНЦ ДО МГУ, 1997

21. Оганесян В.А. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Санинский В.Я. Методика преподавания математики в средней школе/ Общая методика. Учебное пособие для студ. физ.-мат.фак.пед. институтов – М.: Просвещение, 1980.

22. Петровский А.В. Практические занятия по психологии. – М., 1972

23. Савельев Л.Я. Комбинаторика и вероятность. – Новосибирск, Наука, 1975.

24. Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика - М.: Педагогика-Пресс, 1997.

25. Свешникова А.А. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций – М., Наука, 1965.

26. Стойлова Л.П. Математика: Учеб. пособие для студ. сред. пед. учеб. заведений – М.: Издательский центр «Академия», 1998

27. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А., Высоцкий И.Р., Ященко И.В. Теория вероятностей и статистика. – М.: МЦНМО: АО «Московские учебники», 2004.

28. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А., Высоцкий И.Р., Ященко И.В. Теория вероятностей и статистика. – 2-е изд., переработанное. – М.: МЦНМО: АО «Московские учебники», 2008.

29. Фадеев Д.К., Никулин М.С., Соколовский И.Ф. Элементы высшей математики для школьников. - М.: Наука, главная редакция физико-математической литературы, 1987.

30. Журнал «Математика в школе» №9, 2001

31. Журнал «Математика в школе» №5, 2003

32. Журнал «Математика в школе» №6, 2003

33. Журнал «Математика в школе» №5, 2004

34. Журнал «Математика в школе» №6, 2004

35. Журнал «Математика в школе» №7, 2004.

Приложения

Приложение 1

Сборник основных правил комбинаторики и упражнений для их применения

1. Примеры комбинаторных задач

Пример 1. Из группы теннисистов, в которую входят четыре человека – Антонов, Григорьев, Сергеев и Федоров, тренер выделяет пару для участия в соревнованиях. Сколько существует вариантов выбора такой пары?

Решение: Составим сначала все пары, в которые входит Антонов (для краткости будем писать первые буквы фамилий). Получим три пары: АГ, АС, АФ.

Выпишем теперь пары, в которые входит Григорьев, но не входит Антонов. Таких пар две: ГС, ГФ.

Далее составим пары, в которые входит Сергеев, но не входят Антонов и Григорьев. Такая пара только одна: СФ.

Других вариантов составления пар нет, так как все пары, в которые входит Федоров уже составлены.

Итак, мы получили 6 пар:

АГ, АС, АФ

ГС, ГФ

СФ,

т.е. 3·2·1=6. значит, существует всего шесть вариантов выбора тренером пары теннисистов из данной группы.

Способ рассуждений, которым мы воспользовались при решении задачи, называют перебором возможных вариантов .

Пример 2. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?

При решении этой задачи сначала составляется древо всех возможных вариантов.

Заметим, что ответ на поставленный в примере вопрос можно получить, не выписывая сами числа и не строя дерево возможных вариантов. Рассуждать будем так. Первую цифру трехзначного числа можно выбрать четырьмя способами. Так после выбора первой цифры останутся три, то вторую цифру можно выбрать из оставшихся цифр уже тремя способами. Наконец, третью цифру можно выбрать (из оставшихся двух) двумя способами. Следовательно, общее число искомых трехзначных чисел равно произведению 4·3·2 = 24.

Ответ на поставленный в примере 2 вопрос мы нашли, используя так называемое комбинаторное правило умножения .

Пусть имеется n элементов и требуется выбрать один за другим некоторые k элементов. Если первый элемент можно выбрать n1 способами, после чего второй элемент можно выбрать из оставшихся n2 способами, затем третий элемент – n3 способами и т.д., то число способов, которыми могут быть выбраны все k элементов, равно произведению n1·n2·n3·…·nk.

Пример 3. Из города А в город В ведут две дороги, из города В в город С – три дороги, из города С до пристани – две дороги (рис. 1). Туристы хотят проехать из города А через города В и С к пристани. Сколькими способами они могут выбрать маршрут?

А В С Пристань Рис. 1

Решение. Путь из А в В туристы могут выбрать двумя способами. Далее в каждом случае они могут проехать из В в С тремя способами. Значит, имеется 2·3 вариантов маршрута из А в С. Так как из города С на пристань можно попасть двумя способами, то всего существует 2·3·2, т.е. 12 способов выбора туристами маршрута из города А к пристани.

Упражнения в данном пункте направлены на составление различных комбинаций и подсчет числа возможных вариантов этих комбинаций.

Упражнения

5. В кафе предлагают два первых блюда: борщ, рассольник – и четыре вторых блюда: гуляш, котлеты, сосиски, пельмени. Укажите все обеды из двух блюд, которые может заказать посетитель. Проиллюстрируйте ответ, построив дерево возможных вариантов.

6. Имеется белый хлеб, черный хлеб, сыр, колбаса и варенье. Сколько видов бутербродов можно приготовить?

7. На тарелке лежат 5 яблок и 4 апельсина. Сколькими способами можно выбрать один плод?

Решение. По условию задачи яблоко можно выбрать пятью способами, апельсин – четырьмя. Так как в задаче речь идет о выборе «либо яблоко, либо апельсин», то его, согласно правилу суммы, можно осуществить 5 + 4 = 9 способами.

8. На тарелке лежат 5 яблок и 4 апельсина. Сколькими способами можно выбрать пару плодов, состоящую из яблока и апельсина?

Решение: По условию задачи яблоко можно выбрать пятью способами, апельсин – четырьмя. Так как в задаче речь идет о выборе пары (яблоко, апельсин), то ее, согласно правилу произведения, можно выбрать 5·4=20 способами.

9. Сколько всего двузначных чисел можно составить из цифр 7, 4 и 5 при условии, что они в записи числа не повторяются?

Решение: чтобы записать двузначное число, надо выбрать цифру десятков и цифру единиц. Согласно условию на месте десятков в записи может быть любая из цифр 7, 4 и 5. другими словами, выбрать цифру десятков можно тремя способами. После того, как цифра десятков определена, для выбора цифры единиц остается две возможности, цифры в записи числа не должны повторяться. Так как любое двузначное число – это упорядоченная пара, состоящая из цифр десятков и цифр единиц, то ее выбор, согласно правилу произведения, можно осуществить 3·2=6 способами.

10. Сколько трехзначных чисел можно составить, используя цифры 7, 4 и 5?

Решение: в данной задаче рассматриваются трехзначные числа, так как цифры в записи этих чисел могут повторяться, то цифру сотен, цифру десятков и цифру единиц можно выбрать тремя способами каждую. Поскольку запись трехзначного числа представляет собой упорядоченный набор из трех элементов, то, согласно правилу произведения, его выбор можно осуществить 3·3·3=27 способами.

11. Сколько всего четырехзначных чисел можно составить из цифр 0 и 3?

Решение: Запись четырехзначного числа представляет собой упорядоченный набор (кортеж) из четырех цифр. Первую цифру – цифру тысяч можно выбрать только одним способом, так как запись числа не может начинаться с нуля. Цифрой сотен может быть либо ноль, либо три, т.е. имеется два способа выбора. Цифру десятков можно выбрать двумя способами, цифру единиц – двумя. Чтобы узнать, сколько всего четырехзначных чисел можно составить из цифр 0 и 3, согласно правилу произведения, способы выбора каждой цифры надо перемножить: 1·2·2·2=8. таким образом, имеем 8 четырехзначных чисел.

12. Сколько трехзначных чисел можно записать, используя цифры 0, 1, 3, 6, 7 и 9, если каждая из них может быть использована в записи только один раз?

Решение: Так как запись числа не может начинаться с нуля, то цифру сотен можно выбрать пятью способами; выбор можно также осуществить пятью способами, поскольку цифры в записи числа не должны повторяться, а одна из шести цифр будет уже использована для записи сотен; после выбора двух цифр (для записи сотен и десятков) выбрать цифру единиц из данных шести можно четырьмя способами. Отсюда, по правилу произведения, получаем, что трехзначных чисел можно образовать 5·5·4 = 100 способами.

13. У Ирины пять подруг: Вера, Зоя, Марина, Полина и Светлана. Она решила двух из них пригласить в кино укажите все возможные варианты выбора подруг. Сколько таких вариантов?

14. Сколько можно составить пар, выбирая:

а) первый предмет из 4, а второй из 8;

б) первый предмет из 6, а второй из 3;

в) первый предмет из 15, а второй из 12;

15. В школе есть все классы с 1 по 11. каждый из них имеет дополнительную букву «а», «б», «в», «г» или «д». сколько всего классов в этой школе?

16. на каждом барабане игрального автомата изображены символы: «вишня», «лимон» и числа от 1 до 9. автомат имеет три одинаковых барабана, которые вращаются независимо друг от друга. Сколько всего комбинаций может выпасть?

17. Первый класс праздновал Новый год. Каждая девочка подарила каждому мальчику открытку, а каждый мальчик подарил каждой девочке гвоздику. Чего было больше – подаренных открыток или подаренных гвоздик?

18. Стадион имеет 4 входа: А, В, С и Д. укажите все возможные способы, какими посетитель может войти через один вход и выйти через другой. Сколько таких способов?

19. Укажите все способы, какими можно разложить три яблока в две вазы (учтите при этом случаи, когда одна из ваз окажется пустой).

20. Составьте все возможные двузначные числа, используя в записи указанные цифры не более одного раза:

а) 1, 6, 8; б)0, 3, 4.

21. Из цифр 1, 2, 3 составьте все возможные двузначные числа при условии, что:

а) цифры в числе не повторяются;

б) допускается повторение цифр в числе.

22. Используя цифры 0, 2, 4, 6, составьте все возможные трехзначные числа, в которых цифры не повторяются.

23. В шахматном турнире участвуют 9 человек. Каждый из них сыграл с каждым по одной партии. Сколько всего партий было сыграно?

24. В соревнованиях по футболу участвовало 12 команд. Каждая команда провела с каждой из остальных по одной игре на своем поле и по одной игре на поле соперника. Сколько всего игр было сыграно?

25. При встрече 8 человек обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?

26. Учащиеся 6 класса решили обменяться фотографиями. Сколько фотографий для этого потребуется, если в классе 24 человека?

27. На входной двери дома установлен домофон, на котором нанесены цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. каждая квартира получает кодовый замок из двух цифр типа 0-2, 3-7, 7-3, 8-8 и т.п., позволяющий открывать входную дверь. Хватит ли кодовых замков для всех квартир дома, если в доме 96 квартир?

28. Из села Дятлово в село Матвеевское ведут три дороги, а из села Матвеевское в село Першино – четыре дороги. Сколькими способами можно попасть из Датлова в Першино через Матвеевское?

29. В кафе имеются три первых блюда, пять вторых блюд и два третьих. Сколькими способами посетитель кафе может выбрать ответ, состоящий из первого, второго и третьего блюд?

Решение. Первое блюдо можно выбрать 3 способами. Для каждого выбора первого блюда существует 5 возможностей выбора второго блюда. Значит, первые два блюда можно выбрать 3·5 способами. Наконец, для каждого выбора третьего блюда, т.е. существует 3·5·2 способов составления обеда из трех букв. Итак, обед из трех букв может быть составлен 30 способами.

30. Петр решил пойти на новогодний карнавал в костюме мушкетера. В ателье проката ему предложили на выбор различные по фасону и цвету предметы: пять пар брюк, шесть камзолов, три шляпы и две пары сапог. Сколько различных карнавальных костюмов можно составить из этих предметов?

2. Перестановки

Простейшими комбинациями, которые можно составить из элементов конечного множества являются перестановки .

Рассмотрим пример 1 . Пусть имеются три книги. Обозначим их буквами a, b, c. Эти книги можно расставить на полке по-разному:

abc, acb, bac, bca, cab, cba.

Каждое из этих расположений называют перестановкой из трех элементов.

Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке.

Число перестановок из n элементов обозначается символом Pn (читается «Р из n»).

Мы установили, что Р3 = 6. для того, чтобы найти число перестановок из трех элементов, можно не выписывать эти перестановки, а воспользоваться правилом умножения. Будем рассуждать так. На первое место можно поставить любой из трех элементов. Для каждого выбора первого элемента есть две возможности выбора второго из оставшихся двух элементов. Наконец, для каждого выбора первых двух элементов остается единственная возможность выбора третьего элемента. Значит, число перестановок из трех элементов равно 3·2·1, т.е. 6.

Выведем теперь формулу для числа перестановок из п элементов.

Пусть мы имеем n элементов. На первое место можно поставить любой из них. Для каждого выбора первого элемента на второе место можно поставить один из оставшихся n-1 элементов. Для каждого выбора первых двух элементов на третье место можно поставить один из оставшихся n-2 элементов и т.д. в результате получим, что

Pn = n(n-1)(n-2) ·…·3·2·1.

Расположив множители в порядке возрастания, получим

Pn = 1·2·3·…·( n -2)( n -1) n .

Для произведения первых n натуральных чисел используется специальное обозначение: n! (читается «n факториал»).

Таким образом, число всевозможных перестановок из n элементов вычисляется по формуле Pn = n !

Например, 2!=1·2=2; 5!=1·2·3·4·5=120.

По определению считают, что 1!=1.

Применение данной формулы иллюстрируется в пособии следующими примерами.

Пример 2. Сколькими способами могут быть расставлены 8 участниц финального забега на восьми беговых дорожках?

Число способов равно числу перестановок из 8 элементов. По формуле числа перестановок находим, что Р8 = 8!= 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 = 40320.

Значит, существует 40320 способов расстановки участниц забега на восьми беговых дорожках.

Пример 3. Сколько различных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр 0, 2, 4, 6?

Из цифр 0, 2, 4, 6 можно получить Р4 перестановок. Из этого числа надо исключить те перестановки, которые начинаются с 0, т.к. натуральное число не может начинаться с цифры 0. число таких перестановок равно Р3. значит, искомое число четырехзначных чисел (без повторения цифр), которые можно составить из цифр 0, 2, 4, 6, равно Р4 – Р3. Получаем, Р4 – Р3 = 4! – 3! = 24 – 6 = 18.

Пример 4. Имеется девять различных книг, четыре из которых – учебники. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы все учебники стояли рядом?

Сначала будем рассматривать учебники как одну книгу. Тогда на полке надо расставить не 9, а 6 книг это можно сделать Р6 способами. В каждой из полученных комбинаций можно выполнить Р4 перестановок учебников. Значит, искомое число способов расположения книг на полке равно произведению Р6·Р4 = 6! ·4! = 720·24 = 17280.

Упражнения

31. Сколькими способами 4 человека могут разместиться на четырехместной скамейке?

32. Курьер должен разнести пакеты в 7 различных учреждений. Сколько маршрутов он может выбрать?

33. Сколькими способами 9 человек могут встать в очередь в театральную кассу?

34. В автосервис одновременно приехали 3 машины для ремонта. Сколько существует способов выстроить их в очередь на обслуживание?

35. Сколько есть способов раздать спортивные номера с 1 по 5 пяти хоккеистам?

36. Сколько существует выражений тождественно равных произведению аbcde, которые получаются из него перестановкой множителей?

37. Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается цифрами 5, 6, 7, но забыла в каком порядке эти цифры следуют. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придется перебрать, чтобы дозвониться подруге.

38. Сколько шестизначных чисел (без повторения цифр) можно составить из цифр:

а) 1, 2, 5, 6, 7, 8; б) 0, 2, 5, 6, 7, 8?

39. Сколько среди четырехзначных чисел (без повторения цифр), составленных из цифр 3, 5, 7, 9, таких, которые:

а) начинаются с цифры 3; б) кратны 15?

40. Найдите сумму цифр всех четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 3, 5, 7 (без их повторения).

41. Сколько чисел (без повторения цифр) можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, таких которые:

а) больше 3000; б) больше 2000?

42. Семь мальчиков, в число которых входят Олег и Игорь, становятся в ряд. Найдите число возможных комбинаций, если:

а) Олег должен находиться в конце ряда;

б) Олег должен находиться в начале ряда, а Игорь – в конце;

в) Олег и Игорь должны стоять рядом.

Решение. а) так как место Олега фиксировано, то число комбинаций зависит от расположения остальных шести мальчиков. Значит число комбинаций равно Р6=6!=1·2·3·4·5·6=720.

б) Так как места Олега и Игоря фиксированы, то число комбинаций зависит от расположения пяти остальных мальчиков, т.е. равно Р5=5!=1·2·3·4·5=120.

в) Будем рассматривать пару Олег-Игорь как один элемент. Расположение этой пары и пяти остальных мальчиков может быть выполнено Р6=6! способами. В каждой из этих комбинаций Олег и Игорь могут располагаться Р2=2! Способами. Значит искомое число способов расположения мальчиков равно Р6·Р2=6! ·2!=720·2=1440.

43. В расписании на понедельник шесть уроков: алгебра, геометрия, биология, история, физкультура, химия. Сколькими способами можно составить расписание на этот день так, чтобы два урока математики (алгебра и геометрия) стояли рядом?

44. Сколько существует перестановок букв слова «конус», в которых буквы к, о, н стоят рядом?

45. Сколькими способами можно расставить на полке 12 книг, из которых 5 книг – это сборники стихов, так, чтобы сборники стихов стояли рядом?

46. Сколькими способами 5 мальчиков и 5 девочек могут занять в театре в одном ряду места с 1 по 10? Сколькими способами они могут это сделать, если мальчики будут сидеть на нечетных местах, а девочки – на четных?

Решение. Если мальчики и девочки сядут в один ряд в произвольном порядке, то это можно сделать Р10=10!=3628800 способами. Если мальчики сядут на нечетные места, то существуют Р5 способов их расположения. Столькими же способами могут расположиться девочки на четных местах. Каждому способу расположения мальчиков соответствует Р5 способов расположения девочек. Значит, расположиться так, что мальчики будут сидеть на нечетных местах, а девочки – на четных, можно Р5·Р5=5! ·5!=120·120=14400 способами.

47. Делится ли число 30! на:

а) 90; б) 92; в)94; г) 96?

Решение. а) 90=2·5·9. Среди множителей числа 30! есть числа 2, 5 и 9. значит, число 30! делится на 90.

б) 92=4∙23. Среди множителей 30! есть числа 4, 23. Значит, число 30! делится на 92.

в) 94=2·47. Число 47 простое и больше, чем 30. Так как среди множителей числа 30! нет числа 47, то число 30! не делится на 94.

г) 96=2·3·16. Среди множителей 30! есть числа 2, 3, 16. Значит, число 30! делится на 96.

48. Делится ли число 14! на:

а) 168; б) 136; в) 147; г) 132?

49. Найдите значение выражения:

а) б) в) г)

Решение: а) б)

в) г)

50. Вычислите значение дроби:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е)

51. Выпишите все натуральные делители числа:

а) 4!; б) 5!; в)6!

52. Докажите, что если n<m, то m! делится на n! без остатка.

53. Что больше и во сколько раз:

а) 6!∙5 или 5! ∙6 б) (п+1)! ∙п или п! ∙(п+1)

3. Размещения

Пусть имеется 4 шара и 3 пустых ячейки. Обозначим шары буквами a, b, c, d. в пустые ячейки можно по-разному разместить три шара из этого набора шаров. Если мы поместим шар a в первую ячейку, шар b во вторую, а шар с в третью ячейку, то получим одну из возможных упорядоченных троек шаров:

Выбирая по-разному первый, второй и третий шары, будем получать различные упорядоченные тройки шаров, например:

Каждую упорядоченную тройку, которую можно составить из четырех элементов, называют размещением четырех элементов по три.

После этого дается определение и вводится соответствующее обозначение.

Размещением из n элементов по k (k ≤ n) называется любое множество, состоящее из любых k элементов, взятых в определенном порядке из данных n элементов.

Число размещений из n элементов по k обозначают (читают «А из n по k»).

Из определения следует, что два размещения из п элементов по k считаются различными, если они отличаются самими элементами или порядком их расположения.

Составим из элементов a, b, с, в все размещения по три элемента. В первой строке запишем все размещения, которые начинаются с элемента a, во второй – с элемента b, в третьей – с элемента c, в четвертой – с элемента d. Получим такую таблицу:

abc, abd, acb, acd, adb, adc,

bac, bad, bca, bcd, bda, bdc,

cab, cad, cba, cbd, cda, bdc,

dab, dac, dba, dbc, dca, dcb.

Из составленной таблицы видно, что =24.

Число размещений из четырех элементов по три можно найти, не выписывая самих размещений. Первый элемент можно выбрать четырьмя способами, так как им может быть один из четырех элементов. Для каждого выбранного первого элемента можно тремя способами выбрать второй элемент из трех оставшихся. Наконец, для каждых первых двух элементов можно двумя способами выбрать из двух оставшихся третий элемент. В результате получаем, что =4·3·2=24.

Приведенный способ рассуждений используем для вывода формулы числа размещений из n элементов по k, где n≤ k.

Первый элемент можно выбрать n способами. Так как после этого остается n-1 элементов, то для каждого выбора первого элемента можно n-1 способами выбрать второй элемент. Далее, для каждого выбора первых двух элементов можно n-2 способами выбрать третий элемент (из n-2 оставшихся). Наконец, для каждого выбора первых k-1 элементов можно n – (k – 1) способами выбрать k-й элемент (из n – (k -1) оставшихся).

Значит, = n ( n – 1)( n – 2)∙…∙( n – ( k – 1))

Мы получили формулу для вычисления числа размещений из п элементов по k.

Например, число размещений из шестнадцати элементов по пять равно произведению пяти множителей, первый из которых – число 16, а каждый следующий на 1 меньше предыдущего, т.е. = 16·15·14·13·12=524160.

В пособии приводятся примеры применения формулы числа размещений.

Пример 1. Учащиеся второго класса изучают 8 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было четыре различных предмета?

Любое расписание на один день, составленное из 4 различных предметов, отличается от другого либо предметами, либо порядком следования предметов. Значит, в этом примере идет речь о размещениях из 8 элементов по 4. Имеем, = 8·7·6·5 = 1684.

Расписание можно составить 1680 способами.

Пример 2. Сколько трехзначных чисел (без повторения цифр) можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6?

Если среди семи цифр нет нуля, то трехзначных чисел (без повторения), которые можно составить из этих цифр, равно числу размещений из 7 элементов по 3. однако среди данных цифр есть цифра 0, с которой не может начинаться трехзначное число. Поэтому из размещений из 7 элементов по 3 надо исключить те элементы, у которых первой цифрой является 0. их число равно числу размещений из 6 элементов по 2. значит, искомое число трехзначных чисел равно .

Из данных цифр можно составить 180 трехзначных чисел (без повторения цифр).

Упражнения

54. Сколькими способами может разместиться семья из трех человек в четырехместном купе, если других пассажиров в купе нет?

55. Из 30 участников собрания надо выбрать председателя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать?

56. Сколькими способами могут занять первое, второе и третье места 8 участниц финального забега на дистанцию 100 м?

57. На станции 7 запасных путей. Сколькими способами можно расставить на них 4 поезда?

58. Сколькими способами можно изготовить трехцветный флаг с горизонтальными полосами, если имеется материал 7 различных цветов?

59. На соревнования по легкой атлетике приехала команда из 12 спортсменок. Сколькими способами тренер может определить, кто из них побежит в эстафете 4×100 м на первом, втором, третьем и четвертом этапах?

Решение. В этом задании идет речь о размещениях из 12 элементов по 4. Таким образом, искомое число выбора спортсменок равно = 12·11·10·9 = 11880 способов.

60. Сколькими способами могут быть распределены первая, вторая и третья премии между 15 участниками конкурса?

61. Сколькими способами 6 студентов, сдающих экзамен, могут занять места в аудитории, в которой стоит 20 одноместных столов?

62. На странице альбома 6 свободных мест для фотографий. Сколькими способами можно вложить в свободные места:

а) 2 фотографии; б) 4 фотографии; в) 6 фотографий?

63. На плоскости отметили 5 точек. Их надо обозначить латинскими буквами. Сколькими способами это можно сделать (в латинском алфавите 26 букв)?

64. Сколько четырехзначных чисел, в которых нет одинаковых цифр, можно составить из цифр:

а) 1, 3, 5, 7, 9; б) 0, 2, 4, 6, 8?

65. Из трехзначных чисел, записанных с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (без повторения цифр), сколько таких, в которых:

а) не встречаются цифры 6 и 7;

б) цифра 8 является последней?

66. Сколько существует семизначных телефонных номеров, в каждом из которых все цифры различные и первая цифра отлична от нуля?

Решение. В этом задании идет речь о размещениях из 10 элементов по 7, т.е. . Но первая цифра номера должна отличаться от нуля, т.е. размещение из 9 элементов по 6.

Так как из всех размещений надо исключить те, которые начинаются с цифры 0, то имеем: = 10·9·8·7·6·5·4 – 9·8·7·6·5·4 = 604800 – 60480 = 544320.

67. Сколько различных трехзначных чисел (без повторения цифр) можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, таких, которые являются:

а) четными; б) кратными 5?

4. Сочетания

Пусть имеется пять гвоздик разного цвета. Обозначим их буквами a, b, c, d, е. требуется составить букет из трех гвоздик. Выясним, какие букеты могут быть составлены.

Если в букет входит гвоздика а, то можно составить такие букеты:

abc, abd, abe, acd, ace, ade

Если в букет не входит гвоздика а, но входит гвоздика b, то можно получить такие букеты:

bcd, bce, bde.

Наконец, если в букет не входит ни гвоздика а, ни гвоздика b, то возможен только один вариант составления букета: cde.

Мы указали все возможные способы составления букетов, в которых по-разному сочетаются три гвоздики из данных пяти. Говорят, что мы составили все возможные сочетания из пяти элементов по три.

Сочетанием из п элементов по k (0<k<n) называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных п элементов.

Число сочетаний из п элементов по k обозначают (читают «С из n по k»).

В отличие от размещений в сочетаниях не имеет значения, в каком порядке указаны элементы. Два сочетания из n элементов по k отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.

В рассмотренном примере, составив все сочетания из 5 элементов по 3, мы нашли, что

Выведем формулу числа сочетаний из п элементов по k, где k≤n. Для этого сначала выясним, как выражается через и .

Мы нашли, что из пяти элементов a, b, c, d, e можно составить следующие сочетания по трем элементам:

abc, abd, abe, acd, ace, ade, bed, bec, bde, cde.

В каждом сочетании выполним все перестановки. Число таких перестановок равно Р3. В результате получим все возможные комбинации из 5 элементов по 5, которые отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов, т.е. все размещения из 5 элементов по 3. всего мы получим размещений.

Значит, . Отсюда .

Аналогично будем рассуждать и в общем случае. Допустим, сто имеется множество, содержащее n элементов, и из его элементов составлены все возможные сочетания по k элементов. Число таких сочетаний равно . В каждом сочетании можно выполнить Pk перестановок. В результате мы получим все размещения, которые можно составить из n элементов по k. Их число равно .

Значит, . Отсюда, .

Мы получили формулу: .

Формулу числа сочетаний можно записать в другом виде. Умножим числитель и знаменатель дроби на (n – k)!, где n ¹ k. Получим:

Очевидно, что в числителе дроби записано произведение всех натуральных чисел от n до 1, взятых в порядке убывания, т.е. числитель дроби равен п!.

Получаем формулу: .

Заметим, что эту формулу можно использовать и в случае, когда n=k, если принять по определению, что 0!=1.

Пример 1. Из 15 членов туристической группы надо выбрать трех дежурных. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

Каждый выбор отличается от другого хотя бы одним дежурным. Значит, здесь речь идет о сочетаниях из 15 элементов по 3:

.

Следовательно, трех дежурных можно выбрать 455 способами.

Пример 2. Из вазы с фруктами, в которой лежит 9 яблок и 6 груш, надо выбрать 3 яблока и 2 груши. Сколькими способами можно сделать такой выбор?

Выбрать 3 яблока из 9 можно способами, а выбрать 2 груши из 6 можно способами. Так как при каждом выборе яблок груши можно выбрать способами, то сделать выбор фруктов, о котором говорится в задаче, можно способами.

Значит, указанный выбор фруктов можно сделать 1260 способами.

Упражнения

68. В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?

69. В магазине «Филателия» продается 8 различных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?

Решение. Искомое число способа выбора трех наборов равно .

70. Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

71. Из трех игроков, заявленных на теннисный матч, надо выбрать двух для выступления в парном разряде (порядок игроков не важен). Сколькими способами это можно сделать?

72. Сколькими способами можно выбрать 49 предметов из 50

73. Сколькими способами можно отобрать стартовую шестерку в волейбольном матче, если в команде заявлено 10 игроков?

74. Из лаборатории, в которой работают заведующий и 10 сотрудников, надо отправить 5 человек в командировку. Сколькими способами это можно сделать, если:

а) заведующий лабораторией должен ехать в командировку;

б) заведующий лабораторией должен остаться?

75. На полке стоит 12 книг: англо-русский словарь и 11 художественных произведений на английском языке. Сколькими способами читатель может выбрать 3 книги, если:

а) словарь нужен ему обязательно; б) словарь ему не нужен?

Решение. а) Так как выбор англо-русского словаря уже сделан, то оставшиеся 2 книги из 11 можно выбрать способами. Следовательно, .

Значит, выбор можно сделать 55 способами.

б) В этом случае надо выбрать 3 книги из 11. это можно сделать способами. Находим, что .

Выбор можно сделать 165 способами.

Ответ: а) 55 способов;

б) 165 способов.

76. В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории требуется выделить 4 мальчиков и 3 девочек. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Четырех мальчиков из 16 можно выделить способами, а трех девочек из 12 можно выделить способами. Каждому выбору четырех мальчиков соответствует возможностей выбора трех девочек. Значит, указанный выбор дежурных можно сделать × способами.

.

Значит, выбор дежурных можно сделать 400400 способами.

Ответ: 400400 способов.

В задачах 54-60 рассматриваются различные комбинации элементов (перестановки, размещения, сочетания).

77. Сколько среди всех перестановок букв слова «высота» таких, которые:

а) начинаются с буквы в;

б) начинаются с буквы а, а оканчиваются буквой т?

78. Пять мальчиков и четыре девочки хотят сесть на девятиместную скамейку так, чтобы каждая девочка сидела между двумя мальчиками. Сколькими способами они могут это сделать?

79. Из 12 солдат, в число которых входят Иванов и Петров, надо отправить в наряд 3 человек. Сколькими способами это можно сделать, если:

а) Иванов и Петров должны пойти в наряд;

б) Иванов и петров должны остаться;

в) Иванов должен пойти, а Петров – остаться?

80. В шахматном кружке занимаются 16 человек. Сколькими способами тренер может выбрать из них для предстоящего турнира:

а) команду из четырех человек;

б) команду из четырех человек, указав при этом, кто из членов команды будет играть на первой, второй, третьей и четвертой досках?

81. Для ремонта школы прибыла бригада, состоящая из 12 человек. Трех из них надо отправить на четвертый этаж, а четырех на пятый. Сколькими способами это можно сделать?

82. Номер машины в некотором городе состоит из двух различных букв, взятых из набора М, Н, К, Т, С, и трех различных цифр. Сколько машин можно обеспечить такими номерами?

83. Из группы туристов четырех дежурных можно выбрать в 13 раз большим числом способов, чем двух дежурных. Сколько туристов в группе?

Дополнительные упражнения

84. Сколько существует четырехзначных чисел, кратных 10, если цифры в числах могут повторяться?

85. Пешеход должен пройти один квартал на север и три квартала на запад. Выпишите все возможные маршруты пешехода.

86. Выпишите все пятизначные числа, записанные тремя четверками и двумя единицами.

87. Из цифр 1, 2, 3, 5 составили все возможные четырехзначные числа (без повторения цифр). Сколько среди них таких цифр, которые больше 2000, но меньше 5000?

88. Сколько четных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно записать с помощью цифр:

а) 1, 2, 3, 7; б) 1, 2, 3, 4?

89. Делится ли число 50! на:

а) 100; б) 305; в) 1550?

90. Найдите наименьшее значение п, при котором число п! оканчивается:

а) одним нулем; б) двумя нулями; в) тремя нулями.

91. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составили все возможные трехзначные числа (без повторения цифр). Сколько среди них таких, которые:

а) кратны 2; б) кратны 3?

92. Сократите дробь:

а) ; б) ; в)

93. Решите уравнение:

а) ; б) .

94. Сколькими способами из класса, где учатся 24 учащихся, можно выбрать:

а) двух дежурных; б) старосту и помощника старосты?

95. У Антона шесть друзей. Он может пригласить в гости одного или нескольких из них. Определите общее число возможных вариантов.

96. Сколько команд участвовало в финале первенства, если известно, что каждая команда сыграла с каждой из остальных по одной игре на своем поле и по одной игре на своем поле и по одной игре на поле соперника, причем всего было сыграно 30 игр?

97. Сколькими способами четыре пассажира: Алексеев, Смирнов, Федоров и Харитонов – могут разместиться в девяти вагонах поезда, если:

а) все они хотят ехать в разных вагонах;

б) Алексеев и Смирнов хотят ехать в одном вагоне, а Смирнов и Харитонов в других вагонах, причем различных?

98. В 9 «А» классе учатся 25 учащихся, в 9 «Б» - 20 учащихся, а в 9 «В» - 18 учащихся. Для работы на пришкольном участке надо выделить трех учащихся из 9 «А», двух – из 9 «Б» и одного – из 9 «В». Сколько существует способов выбора учащихся для работы на пришкольном участке?

99. Из группы туристов требуется выбрать дежурного и его помощника. Если туристов было бы на одного больше, то возможностей выбора было бы в 1,25 раза больше. Сколько туристов в группе?

100. Сколькими способами группу из 12 человек можно разбить на две группы:

а) по 4 и 8 человек; б) по 5 и 7 человек?

101. В отделе работают 5 ведущих и 8 старших научных сотрудников. В командировку надо послать двух ведущих и трех старших научных сотрудников. Сколькими способами может быть сделан выбор сотрудников, которых надо послать в командировку?

102. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составили все возможные трехзначные числа (с повторением цифр) сколько среди них таких, сумма цифр которых равна:

а) 3; б) 4; в) 6?

103. Из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5 составили все возможные трехзначные числа (без повторения цифр). Сколько среди них таких, сумма цифр которых равна:

а) 6; б) 9?

104. Найдите значение выражения:

а) ; б) ; в) .

105. Сколько надо взять элементов, чтобы число размещений из них по 4 было в 12 раз больше, чем число размещений из них по 2?

106. Число размещений из п элементов по 4 в 14 раз больше числа размещений из п – 2 элементов по 3. Найдите п.

107. Решите уравнение:

а)

б)

в)

г)

108. Школьники из Волгограда собрались на каникулы поехать в Москву, посетив по дороге Нижний Новгород. Из Волгограда в Нижний Новгород можно отправиться на теплоходе или поезде, а из Нижнего Новгорода в Москву на самолете, теплоходе или автобусе. Сколькими различными способами ребята могут осуществить свое путешествие? Назовите все возможные варианты этого путешествия.

109. Сколько различных двузначных чисел можно записать, используя цифры 3, 4, 5 и 6? Сколько различных двузначных чисел можно записать, используя при записи числа каждую из указанных цифр только один раз? Запишите эти числа.

110. Сколько трехзначных чисел можно составить из трех различных, не равных нулю цифр? Зависит ли результат от того, какие цифры будут взяты? Укажите какой-нибудь способ перебора трехзначных чисел, при котором ни одно число не может быть пропущено.

111. Сколько всевозможных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3 и 4 так, чтобы цифры в записи числа не повторялись? Изменится ли решение этой задачи, если вместо цифры 4 будет дана цифра 0?

112. Сколько всевозможных четырехзначных чисел можно составить, используя для записи цифры 1, 2, 3 и 4? Какова разность между самым большим и самым маленьким из них?

113. Сколько пятизначных чисел, первые (слева) три цифры которых 2, 3 и 4, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5? Изменится ли ответ этой задачи, если цифры числа не будут повторяться?

114. Из цифр 0, 1, 2, 3,4 составляют всевозможные пятизначные числа, причем так, что в записи данного числа содержатся все данные цифры. Сколько можно составить таких чисел? Чему будет равна разность между наименьшим и наибольшим из полученных чисел?

115. Сколько натуральных чисел, меньших 1000, можно записать, используя цифры 7, 4 и 5? Сколько среди них четных? Нечетных? Кратных 5?

Размещения и сочетания

116. Покажите, что в нижеприведенных задачах рассматриваются размещения из n элементов по k; определите значения n и k и найдите число размещений:

а) Из 20 учащихся класса надо выбрать старосту, его заместителя и редактора газеты. Сколькими способами это можно сделать?

б) В классе изучаются 7 предметов. В среду 4 урока, причем все разные. Сколькими способами можно составить расписание на среду?

в) В соревновании участвуют 10 человек. Сколькими способами могут распределиться между ними места?

г) Сколько всевозможных трехзначных чисел можно записать, используя цифры 3, 4, 5 и 6?

117. Покажите, что в нижеприведенных задачах рассматриваются сочетания из n элементов по k; определите значения n и k и найдите число для каждой задачи:

а) Сколькими способами можно выбрать из 6 человек комиссию, состоящую из трех человек?

б) Сколькими способами можно выбрать 4 краски из 10 различных красок?

118. Два человека обменялись своими фотокарточками. Сколько было фотокарточек?

119. Два человека пожали друг другу руки. Сколько было рукопожатий? А если 15 человек пожали друг другу руки, то, сколько будет рукопожатий?

120. Сколькими способами можно расставить на полке 3 различные книги?

121. 15 человек сыграли друг с другом по одной партии в шахматы по одной партии. Сколько было сыграно партий?

122. На плоскости отметили 7 точек. Каждые две точки соединили отрезком. Сколько получилось отрезков?

123. Решите следующие задачи, используя формулы. Ответ проверьте с помощью перебора всех возможных вариантов:

а) Сколько словарей необходимо переводчику, чтобы он мог переводить непосредственно с любого из четырех языков – русского, английского, немецкого и французского на любой другой из этих языков?

б) Государственные флаги некоторых стран состоят из трех горизонтальных полос разного цвета. Сколько различных вариантов флагов с белой, синей и красной полосами можно составить?

в) Мальчик выбрал в библиотеке 5 книг. По правилам библиотеки одновременно можно взять только две книги. Сколько у мальчика вариантов выбора двух книг из пяти?

г) четыре друга собрались на футбольный матч. Но им удалось купить только три билета. Из скольких вариантов им надо выбрать тройку счастливцев? Как осуществить выбор, чтобы у всех ребят были равные шансы попасть на матч?

д) В классе три человека хорошо поют, двое других играют на гитаре, а еще один умеет показывать фокусы. Скольким способами можно осуществить концертную бригаду из певца, гитариста и фокусника?

е) Задача Леонарда Эйлера. Трое господ при входе в ресторан отдали швейцару свои шляпы, а при выходе получили их обратно. Сколько существуют вариантов, при которых каждый из них получит чужую шляпу?

ж) Имеется ткань двух цветов: голубая и зеленая, и требуется обить диван, кресло и стул. Сколько существует различных вариантов обивки этой мебели?

124. Аня, Боря, Вера и Гена – лучшие лыжники школы. На соревнования надо выбрать троих из них. Сколькими способами это можно сделать?

125. Круг разделили на две части и решили раскрасить их карандашами разных цветов. Сколькими способами можно это сделать, если имеются красный, синий и зеленый карандаши?

126. При изготовлении авторучки корпус и колпачок могут иметь одинаковый или разный цвет. На фабрике есть пластмасса четырех цветов: белого, красного, синего и зеленого. Какие отличающиеся по цвету ручки можно изготовить?

127. На прямой взяли 4 точки. Сколько всего получилось отрезков, концами которых являются эти точки?

128. За свои рисунки ученик получил две положительные отметки. Какими они могут быть?

129. В соревнованиях участвуют 5 футбольных команд. Каждая команда играет один раз с каждой из остальных команд. Сколько матчей будет сыграно?

Приложение 2

Таблица 1. Виды событий:

Таблица 2. Варианты падения спичечного коробка:

Таблица 3. Варианты падения монеты:

Таблица 5. Результаты эксперимента:

Приложение 3.

Рисунок 1. Древо составления трехзначных чисел из цифр 1, 2, 3 без повторения.

Рисунок 2.

Приложение 4

Диаграмма 1. Сравнение показателей гибкости мышления.

Диаграмма 2. Сравнение показателей развития логической памяти.

Диаграмма 3. Сравнение показателей выбора и решения учащимися задач.