Реферат: Степеневі ряди Теорема Абеля Область збіжності степеневого ряду
Название: Степеневі ряди Теорема Абеля Область збіжності степеневого ряду Раздел: Рефераты по астрономии Тип: реферат |
Міністерство освіти і науки України Київський державний торговельно-економічний університет Коломийський економіко-правовий коледж Реферат З дисципліни „Вища математика” Розділ : 7 „Ряди ” Н а тему : „Степеневі ряди . Теорема Абеля . Область збіжності степеневого ряду” Виконала : Студентка групи Б-13 Комар Ірина Перевірив Викладач Лугова Л.Б. Коломия 2003 План 1. Розвинення функції у степеневий ряд. Контрольні запитання 1. Яке розвинення в степеневий ряд функції ex . 2. Яке розвинення в степеневий ряд функції sinx. 3. Яке розвинення в степеневий ряд функції cosx. 4. Яке розвинення в степеневий ряд функції ln(1+x). 5. Яке розвинення в степеневий ряд функції arctgx Література 1. Соколенко О.І. Вища математика: Підручник. – К.: Видавничий центр „Академія”, 2002. – 432с. Розвинення в степеневі ряди функцій, ex , sinx,cosx Додатковий член формули Тейлора у формі Лагранжа для функціїf(x)=ex має вигляд (1) Нехай R– довільне фіксоване додатне число. Якщо xє (-R; R), то (2) Позначивши через , матимемо (3) За ознакою Д’Аламбера ряд а1 +а2 +…an +… збіжний, тому . Звідси дістанемо (4) для всіх x є (-R;R). Оскільки число Rбуло взято довільно, рівність правильна для всіх Х є За теоремою Д’Аламбера функція f(x)=ex в інтервалі , який розвивається в степеневий ряд, який для цієї функції має вигляд. . (5) Додатковий член формули Тейлора у формі Лагранжа для функції f(x)=sinx має вигляд (6) Додатковий член формули Тейлора у формі Лагранжа легко оцінюється зверху: , (7) Вище було показано, що для всіх R>0. Тому для всіх х є правильною є рівність Звідси дістанемо (8) для всіх х є . Функція f(x)=sinx в інтервалі розвивається в степеневий ряд, який для цієї функції має вигляд . (9) Аналогічно можна діяти при розвиненні в степеневий ряд функціїf(x)=cosx.Однак простіше скористатись теоремою, згідно з якою степеневий ряд в інтервалі збіжності можна диференціювати почленно. Про диференціювавши почленно попередній ряд, матимемо (10) Розвинення в степеневий ряд функції ln(1+x). Правильною є рівність (геометрична прогресія із знаменником, що дорівнює –x).Попередній степеневий ряд можна почленно інтегрувати на проміжку з кінцями 0 таx,де -1 x 1.Виконавши це дістанемо (11) Оскільки На підставі двох останніх рівностей знаходимо (12) Розвинення в степеневий ряд функціїarсtgx.Знаючи, що для х є (-1;1) правильною є рівність. (чому це так?),по членним інтегруванням її дістанемо Оскільки, остаточно маємо Приклади 1. Розвинути функцію у степеневий ряд в околиці точки х0 =2. Виконаємо над заданою функцією тотожні перетворення, такі, щоб під знаком функції одержати вираз (х-2) Тепер скористаємось формулою (10), ф яку замість х підставимо Тоді . Записаний ряд збігається до заданої функції при , тобто при Таким чином, 2. Розвинути в ряд Макларена функцію Маємо таке розвинення Підставивши сюди замість х змінну –х, дістанемо Віднявши від першої рівності другу, знайдемо |