|
Для напоминания и повторения приведём обзор некоторых функций, изучаемых в школьной программе.
1. Линейная функция.
Это функция вида  . Число  называется угловым коэффициентом, а число  -- свободным членом. Графиком  линейной функции служит прямая на координатной плоскости  , не параллельная оси  .
Угловой коэффициент равен тангенсу угла  наклона графика к горизонтальному направлению -- положительному направлению оси  .
Рис.1.8.График линейной функции -- прямая
2. Квадратичная функция.
Это функция вида  ( ).
Графиком квадратичной функции служит парабола с осью, параллельной оси . При  вершина параболы оказывается в точке  .
Рис.1.9.Парабола  ( )
В общем случае вершина лежит в точке  . Если , то "рога" параболы направлены вверх, если  , то вниз.
Рис.1.10.Парабола с вершиной в точке  ()
3. Степенная функция.
Это функция вида  ,  . Рассматриваются такие случаи:
а). Если  , то  . Тогда  ,  ; если число -- чётное, то и функция  -- чётная (то есть  при всех  ); если число -- нечётное, то и функция -- нечётная (то есть  при всех ).
Рис.1.11.График степенной функции при 
б). Если  ,  , то  . Ситуация с чётностью и нечётностью при этом такая же, как и для  : если -- чётное число, то и  -- чётная функция; если -- нечётное число, то и  -- нечётная функция.
Рис.1.12.График степенной функции при 
Снова заметим, что при всех . Если  , то  при всех  , кроме  (выражение  не имеет смысла).
в). Если -- не целое число, то, по определению, при :  ; тогда , .
Рис.1.13.График степенной функции при
При  , по определению,  ; тогда .
Рис.1.14.График степенной функции при
4. Многочлен.
Это функция вида  , где  ,  . Число  называется степенью многочлена. При  и  многочлены являются соответственно линейной функцией и квадратичной функцией (квадратным трёхчленом) и рассмотрены выше. При  и  (  ) получается степенная функция, которую мы также рассмотрели выше. В общем случае ; при чётном значении степени  характерный вид графика таков:
Рис.1.15.График многочлена чётной степени при 
или таков:
Рис.1.16.График многочлена чётной степени при 
а при нечётном значении степени -- таков:
Рис.1.17.График многочлена нечётной степени при
или таков:
Рис.1.18.График многочлена нечётной степени при
5. Показательная функция (экспонента).
Это функция вида  (,  ). Для неё ,  ,  , и при  график имеет такой вид:
Рис.1.19.График показательной функции при
При  вид графика такой:
Рис.1.20.График показательной функции при
Число  называется основанием показательной функции.
6. Логарифмическая функция.
Это функция вида  (, ). Для неё ,  ,  , и при график имеет такой вид:
Рис.1.21.График логарифмической функции при
При график получается такой:
Рис.1.22.График логарифмической функции при
Число называется основанием логарифма. Обратим внимание читателя на то, что с точностью до поворотов и симметричных отражений на последних четырёх чертежах изображена одна и та же линия.
7. Функция синус:
 . Для неё ; функция периодична с периодом  и нечётна. Её график таков:
Рис.1.23.График функции 
8. Функция косинус:
 . Эта функция связана с синусом формулой приведения:  ; ; период функции  равен ; функция чётна. Её график таков:
Рис.1.24.График функции 
9. Функция тангенс:
 (в англоязычной литературе обозначается также  ). По определению,  . Функция  нечётна и периодична с периодом  ;
то есть не может принимать значений  ,  , при которых (стоящий в знаменателе) обращается в ноль.
Рис.1.25.График функции 
10. Функция котангенс:
 (в англоязычной литературе также  ). По определению,  . Если  ( ), то  . Функция  нечётна и периодична с периодом ;
то есть не может принимать значения вида  , , при которых обращается в 0.
Рис.1.26.График функции 
11. Абсолютная величина (модуль):
 , . Эта функция определяет расстояние на вещественной оси от точки  до точки 0:
Функция  чётная, её график такой:
Рис.1.27.График функции
12. Обратные тригонометрические функции.
Это функции арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Они определяются как функции, обратные к главным ветвям
синуса, косинуса, тангенса и котангенса соответственно, о чём подробнее в конце главы, в разделе Обратная функция.
13. Расстояние до начала координат на плоскости и в пространстве.
На координатной плоскости  расстояние  от точки  до точки определяется по формуле  (по теореме Пифагора) и, следовательно, задаёт функцию
Эта функция имеет область значений
График её ограничения на круг  построен в примере 1.8.
Аналогично, расстояние в пространстве  от точки  до точки  определяется по формуле  и задаёт функцию
Эта функция имеет ту же область значений
что и в двумерном случае.
14. Арифметическая прогрессия.
Функция  , задаваемая формулой
где  ,  -- фиксированные числа, а  , называется арифметической прогрессией. Число  называется при этом первым членом прогрессии, а число  -- разностью прогрессии. Функцию можно представить как ограничение на множество натуральных чисел  линейной функции  с угловым коэффициентом и свободным членом  . Арифметическую прогрессию можно задать и другим, рекуррентным
способом:
 при 
Уравнение, рекуррентно задающее арифметическую прогрессию, -- это линейное уравнение в конечных разностях первого порядка, с одним начальным условием  .
Рис.1.28.График арифметической прогрессии
15. Геометрическая прогрессия.
Функция , задаваемая формулой
где ,  -- фиксированные числа, а , называется геометрической прогрессией. Число называется при этом первым членом прогрессии, а число  -- знаменателем прогрессии. Функцию (при  ,  ) можно представить как ограничение на множество натуральных чисел показательной функции с основанием , умноженной на постоянный коэффициент  , то есть функции
Рис.1.29.График геометрической прогрессии
Геометрическую прогрессию можно задать и иначе, рекуррентным способом
:
 при
|