«УТВЕРЖДАЮ» «СОГЛАСОВАНО» Директор Федерального института Председатель Научнопедагогических измерений методического совета ФИПИ по математике

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ

Демонстрационный вариант КИМ 2009 г.

подготовлен Федеральным государственным научным учреждением

«ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ»

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ

Пояснения к демонстрационному варианту

При ознакомлении с Демонстрационным вариантом 2009 года следует иметь в виду, что задания, включённые в демонстрационный вариант, не отражают всех вопросов содержания, которые будут проверяться с помощью вариантов КИМ в 2009 году . Полный перечень вопросов, которые могут контролироваться на едином государственном экзамене 2009 года, приведен в кодификаторе, помещенном на сайте www.fipi.ru .

Назначение демонстрационного варианта заключается в том, чтобы дать возможность любому участнику ЕГЭ и широкой общественности составить представление о структуре будущих КИМ, количестве заданий, их форме, уровне сложности: базовом, повышенном и высоком.

К каждому заданию с развернутым ответом (тип С), включенному в демонстрационный вариант, дается только одно из возможных решений. Приведённые критерии оценки этих решений позволят составить представление о требованиях к полноте и правильности записи развёрнутого ответа.

Эти сведения позволят выпускникам выработать стратегию подготовки и сдачи ЕГЭ в соответствии с целями, которые они ставят перед собой.

Для правильной распечатки файла демонстрационного варианта по математике необходимо установить на компьютере программное обеспечение MathType версии не ниже 5.0.

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ

Демонстрационный вариант 2009 г.

Инструкция по выполнению работы

На выполнение экзаменационной работы по математике дается 4 часа (240 мин). Работа состоит из трех частей и содержит 26 заданий.

Часть 1 содержит 13 заданий (А1–А10 и В1–В3) базового уровня по материалу курса математики. К каждому заданию А1–А10 приведены 4 варианта ответа, из которых только один верный. При выполнении этих заданий надо указать номер верного ответа. К заданиям В1–В3 надо дать краткий ответ.

Часть 2 содержит 10 более сложных заданий (В4–В11, С1, С2) по материалу курса математики. К заданиям В4–В11 надо дать краткий ответ, к заданиям С1 и С2 – записать решение.

Часть 3 содержит 3 самых сложных задания, два – алгебраических (С3, С5) и одно – геометрическое (С4). При их выполнении надо записать обоснованное решение.

Советуем для экономии времени пропускать задание, которое не удается выполнить сразу, и переходить к следующему. К выполнению пропущенных заданий можно вернуться, если у вас останется время.

Желаем успеха!

ЧАСТЬ 1

При выполнении заданий А1–А10 в бланке ответов №1 под номером выполняемого задания поставьте знак " ×" в клеточке, номер которой соответствует номеру выбранного вами ответа.

101,4

Упростите выражение .

0,7 10

1) 0,7 2) 2 3) 10^0,7 4) 10²

Вычислите: ³ 0,064 27.⋅

Вычислите: log 400 − log 25.

2 2

1) 8 2) 2 3) 3 4) 4

На одном из рисунков изображен график функции y = log x . Укажите

2

номер этого рисунка.

^A5 Найдите производную функции h x ( ) = _e ^x − 4_x ² .

1) h ′( )x = e x − x 3

2) h ′( )x = e x − 8x

3) h ′( )x = e x − 2x 4) h ′( )x = e x − 4x

Найдите множество значений функции y = 3 cos x .

1) (− ∞ + ∞; ) 2) [− 3; 3] 3) [−1; 1] 4) [0; 3]

На рисунке показано изменение уровня воды водохранилища в течение 12 часов во время паводка. Как только уровень воды превысил отметку 10 метров, через сливные отверстия в плотине начали сбрасывать воду до того момента, пока её уровень понизился до отметки 10 метров. Определите, сколько часов длился сброс воды.

1) 10 2) 2 3) 6 4) 4

6x +18 Решите неравенство ≤ 0.

7x

1) [− 3; 0) ∪ (0; + ∞)

2) [− 3; 0)

3) [− 3; + ∞)

4) (− ∞; − 3] ∪ (0; + ∞)

A9

Решите уравнение cos x −= 0.

1) n n Z

2) n n Z

3) n n Z

4) n n Z

Решите неравенство 4^{6x +11} ≥16.

1) (− ∞; −1,5] 2) [−1,5; + ∞) 3) ⎢⎣^⎡ − ⁵ 3; + ∞) 4) (− ∞; − 5 3⎥⎦⎤

Ответом на задания В1–В11 должно быть некоторое целое число или число, записанное в виде десятичной дроби. Это число надо записать в бланк ответов №1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус отрицательного числа и запятую в записи десятичной дроби пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

4 π

Найдите cosα, если sinα = , и 0 < α < .

5 2

На рисунке изображён график функции у = f(х) и касательная к нему в точке с абсциссой х ₀ . Найдите значение производной в точке х ₀ .

B3 Для оклейки стен ванной комнаты (см. 2 м рисунок) нужно приобрести керамическую плитку, причем плитка покупается с запасом в 10% от оклеиваемой площади. Ширина двери равна 0,75 м, высота – 2 м. Цена плитки 300 р. за 1 м² . Определите стоимость плитки, если стены решено оклеить полностью, от пола до потолка.

ЧАСТЬ 2

x

Решите уравнение 5^x + 20⋅( 5) −125 = 0.

(Если уравнение имеет более одного корня, то в бланке ответов запишите их произведение.)

Функция у = f (x ) определена на промежутке (– 2; 7). На рисунке изображен график ее производной. Укажите точку минимума функции у = f (x ) на промежутке (− 2; 7).

Вычислите значение выражения 6 ⁶ +100 .

Функция y = f x ( ) определена на всей числовой

прямой и является периодической с периодом 3. На рисунке изображен график этой функции при − 2 ≤ x ≤1. Найдите значение выражения f ( 1)− ⋅ f (9)

.

f ( 2)−

Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение x +5− a = 2 имеет ровно 3 корня.

(Если значений a более одного, то в бланке ответов запишите их сумму.)

B9 Объемы ежегодной добычи нефти первой, второй и третьей скважинами

относятся как 6 : 7 : 10. Планируется уменьшить годовую добычу нефти из первой скважины на 10% и из второй – тоже на 10%. На сколько процентов нужно увеличить годовую добычу нефти из третьей скважины, чтобы суммарный объем добываемой за год нефти не изменился?

Концы отрезка MK лежат на окружностях двух оснований цилиндра.

Угол между прямой MK и плоскостью основания цилиндра равен 30°,

MK = 8, площадь боковой поверхности цилиндра равна 40π. Найдите периметр осевого сечения цилиндра.

B11

Средняя линия прямоугольной трапеции равна 9, а радиус вписанной в нее окружности равен 4. Найдите большее основание трапеции.

Для записи ответов на задания С1 и С2 используйте бланк ответов №2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем – решение.

Найдите наименьшее значение функции

2х

f x ( ) = при x − 5,5 ≤ 2,5.

х 2 +16

Найдите все значения х, при каждом из которых выражения

4 x 4 x

^{sin 2x} и 2 sin ² − 2 cos ² принимают равные значения. tg x tg x

ЧАСТЬ 3

Для записи ответов на задания С3–С5 используйте бланк ответов №2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем – обоснованное решение.

Найдите все значения x >1, при каждом из которых наибольшее из двух чисел a =log x + 2log 32 − 2 и b = 41−log² x ² больше 5.

2 x 2

Около правильной пирамиды FABC описана сфера, центр которой лежит в плоскости основания АВС пирамиды. Точка М лежит на ребре AB так, что AM MB : =1:3. Точка Т лежит на прямой AF и равноудалена от точек М и B . Объем пирамиды TВCM равен . Найдите радиус сферы,

описанной около пирамиды FABC .

Найдите все значения параметра p , при каждом из которых уравнение

x

(1,5p − 7) 32⋅ ^{0,4x +0,2} + (29p −154) 0,125⋅ ^{− 3} + 11p − 41= 0 имеет ровно

10p − p ² − 24 различных корней.

ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЯМ

ДЕМОНСТРАЦИОННОГО ВАРИАНТА ПО МАТЕМАТИКЕ

Ответы к заданиям с выбором ответа

Ответы к заданиям с кратким ответом

Ответы к заданиям с развернутым ответом

КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ И ОЦЕНКИ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ С РАЗВЁРНУТЫМ ОТВЕТОМ

Найдите наименьшее значение функции

2х

f x ( ) = при x − 5,5 ≤ 2,5.

2

х +16

Решение:

1) x −5,5 ≤ 2,5 ⇔ − 2,5≤ x −5,5≤ 2,5 ⇔ 3≤ x ≤ 8.

2(х ² +16) − 2х х ⋅2 2

′( )x = = 2⋅ 16 − х .

2) f

2 2 2 2

(х +16) (х +16)

f ′( )x = 0 при x = 4, при x = − 4.

− 4∉[ 3;8].

f .

Наименьшее значение функции y = f x ( )на отрезке [3;8] равно 0,2.

Ответ: 0,2.

^C2 Найдите все значения х, при каждом из которых выражения ^{sin 2x} 2 sin 4 ² x ₋ 2 cos4 ² x принимают равные значения.

и

tg x tg x

Решение:

⎧2 sin x +

Z .

^C3 Найдите все значения x >1, при каждом из которых наибольшее из двух

чисел a =log x + 2log 32 − 2 и b = −41 log^{2 2} x больше 5.

2 x 2

Решение:

Так как x >1, то log x > 0.

2

1) a >5⇔ log x +2log 32 − 2 >5⇔ > ⇔

2 x log x

2

⎡ log₂ x > 5

⇔ (log x − 2) (⋅ log x −5) > 0 ⇔ ⎢

^{2 2} ⎢⎣log2 x < 2.

2) .

3) Наибольшее из чисел a и b больше 5 тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них больше 5, т.е. когда

⎡a > 5 ⎡log₂ x > 5 ⎡x > 32

^⎢ ⎣b > 5 ⇔ ^⎢ ⎢⎣log₂ x < 3 ⇔ _⎣ ^⎢ x < 8.

Ответ: 1< x <8, x > 32.

^C4 Около правильной пирамиды FABC описана сфера, центр которой лежит в плоскости основания АВС пирамиды. Точка М лежит на ребре AB так, что AM MB : =1:3. Точка Т лежит на прямой AF и равноудалена от точек М и B . Объем пирамиды TВCM равен . Найдите радиус сферы,

описанной около пирамиды FABC .

Решение:

1) Пусть O – центр сферы радиуса R, описанной около пирамиды FABC. Так как OA = OB = OC = OF = R , а О ∈ АВС, то точка О является также центром окружности радиуса R, описанной около треугольника АВС. Треугольник АВС – правильный, следовательно, О – точка пересечения медиан треугольника АВС,

AB R 3=. A M N P B

2) FABC – правильная пирамида, поэтому FO – высота пирамиды и AFO ⊥ ABC. По условию T∈AF и TM TB= . Опустим из точки T перпендикуляр TН на прямую АO. Так как AFO ⊥ ABC, то TH ⊥ ABC, и следовательно, ТН – высота пирамиды TВCM, а отрезки НМ и HB – проекции равных наклонных TМ и TB. Значит, HM HB= , и поэтому треугольник ВНМ – равнобедренный, а его высота НР является медианой, то есть PM PB= .

3) Объем V пирамиды TВCM, равный TH S_BCM , выразим через R. Из

1 R 3 3R 3

условия имеем AM = AB = , MB = ,

4 4 4

MP = . Отсюда AP = . В прямоугольном треугольнике

АРН угол А равен 30^D , следовательно, AH = ^AP = ^5R . Так как cos30^D 4

OA = OF, то прямоугольный треугольник AOF – равнобедренный, поэтому в прямоугольном треугольнике АТН угол А равен 45^D , следовательно, AH TH= . Медиана CN правильного треугольника АВС является его высотой. Поэтому CN – высота треугольника ВСМ.

Следовательно, площадь треугольника ВСМ можно найти по формуле

3 3R 9R² 3

S_BCM = 0,5CN B⋅ M. Имеем CN = CO = и S_BCM = . Отсюда

2 2 16

1 5R 9R² 3 15R³ 3 15R³ 3 5

V = ⋅ ⋅ = . По условию = ,

3 4 16 64 64 64

³ 1 1

откуда R = и R=.

3 3

Ответ: .

C5

Найдите все значения параметра p , при каждом из которых уравнение

x

(1,5p − 7) 32⋅ ^{0,4x +0,2} + (29p −154) 0,125⋅ ^{− 3} + 11p − 41= 0 имеет ровно

10p − p ² − 24 различных корней.

Решение:

−x −x

1) Так как 320,4x +0,2 = (2 )5 0,4x +0,2 = 22x +1 = 2 4⋅ x , 0,125 3 = (2−3) 3 = 2x , то (3p −14)4^x + (29p −154)2^x +11p − 41= 0.

Пусть t = 2^x > 0. Тогда получаем квадратное уравнение относительно t с параметром p :

(3p −14)t ² + (29p −154)t +11p − 41= 0. (*)

Значит, число n различных корней исходного уравнения не больше 2.

2) Если n = 2, то по условию 10p − p ² − 24 = 2, p ² −10p + 26 = 0, что невозможно, т.к. D = − 4 < 0. Остаются случаи n =1 и n = 0.

Если n =1, то 10p − p ² − 24 =1, p ² −10p + 25 = 0, p = 5. Тогда уравнение (*) примет вид t ² −9t +14 = 0, t = 2, t = 7 . Так как t = 2^x , то

1 2

x =1, x = log 7. Поэтому n = 2. Противоречие с равенством n =1.

1 2 2

3) Если n = 0, то 10p − p ² − 24 = 0, p ² −10p + 24 = 0, p = 4, p = 6.

1 2

Пусть p = 4. Тогда уравнение (*) примет вид − 2t ² −38t + 3= 0. Ветви параболы направлены вниз, ось Oy она пересекает выше точки (0; 0). Поэтому уравнение (*) имеет ровно один положительный корень t и

0

исходное уравнение имеет ровно один корень x = log t . Значит, n =1.

2 0

Противоречие с равенством n = 0.

Пусть p = 6. Тогда уравнение (*) примет вид

4t ² + 20t + 25 = 0, t = − 2,5. Так как t = 2^x > 0, то исходное уравнение не имеет корней. Значит, p = 6 удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 6.

ЗАМЕЧАНИЯ.

А) В шаге 2) не обязательно явно указывать 2 корня исходного уравнения. Допустимо использование только положительности корней уравнения (*).

Б) В шагах 2) – 3) можно не объяснять, как найдены корни квадратного уравнения.

В) В шаге 3) можно явно решить квадратное уравнение относительно t и указать его положительный корень.

[1] Неточностью в обоснованиях является замена свойства на определение или на признак или наоборот, а также неверные названия теорем или формул.