Реферат: Математичне моделювання та диференціальні рівняння
Название: Математичне моделювання та диференціальні рівняння Раздел: Рефераты по математике Тип: реферат |
Реферат на тему: Математичне моделювання та диференціальні рівняння. 1.1. Поняття математичного моделювання. Поняття математичного моделювання трактується різними авторами по своєму. Ми будемо його пов’язувати з нашою спеціалізацією – прикладна математика. Під математичним моделюванням ми будемо розуміти метод дослідження процесів або явищ шляхом пибудови їхніх математичних моделей і дослідження цих процесів. В основу методу покладемо адекватність між змінними складеного рівняння і досліджуваного процесу. Зрозуміло, що на практиці ці процеси не будуть абсолютно ідентичні. Але можна удосконалювати математичну модель, яка більш точно буде описувати цей процес. Треба пам’ятати, що в останньому випадку,як правило, математичні рівняння ускладнюються. А це означає, що їх моделювання на ЕОМ потребує більше часу, або ж більше не визначаючих обчислювальних комплексів. Схема таких досліджень починається з постановки задачі і щакінчується проведенням ефективного обчислювального експеременту. Її умови можна записати в такй формі: а) постановка задачі; б) побудова математичної моделі; в) перевірка її адекватності; г) узагальення та теоретичне дослідження данного класу задач; д) створення програмного забезпечення; е) проведення обчислювального експеременту; ж) впровадження цих результатів в виробнитство. Розглянемо питання використання диіеренціальних рівнянь в деяких предметних областях. 1.2. Диференціальні рівняння в екології. Екологія вивчаеє взаємо відношення людини і, взагалі, живих організмів з навколишнім середовищем. Основним об’єктом дослідження в екології являється еволюція популяцій (сукупність одного виду рослин, тварин, чи мікроорганізмів, які населяють протягом тривалого часу певну територію). Опишемо математично процес розмноження чи вмирання популяцій. Нехай – кількісний стан популяції в момент , – число, яке відповідає кількості народжених, – умираючих в одиницю часу. Тоді запис зміни координати задається формулою: (1.1) В (1.1) і можуть залежити від . Наприклад: (1.2) Де – коефіцієнт народжуваності, – смертності. Маємо з (1.2) (1.3) Розв’язок диференціального рівняння запишемо в вигляді З розв’язку (1.4) видно, що при популяція вижчваюча, а при – вмираюча. (1.4) Рівняння (1.3) в деяких випадках береться нелінійне (1.5) Це рівняння Беруллі при і його розв’язок запишеться в такому вигляді (1.6) З формули (1.6) видно, що при . При цьому можливі випадки , та Рівняння (1.5) описує. Можна говорити і про більш складні рівняння, системи рівнянь. Розглянемо більш детально двух видову модель «хижак-жертва», яка була побудована для виявлення коливань рибних уловів в Адріатичному морі. Нехай –число великих риб-хижаків, – число малих риб-жертв в момент часу , тоді число риб-хижаків буде рости до тих пір, поки у них буде їжа. Якщо корму не буде вистачати, то кількість риб-хижаків буде зменьшуватися і тоді, починаючи з деякого моменту, буде рости число риб-жертв. Модель має вигляд (1.7) де – додатні константи. В (1.7) доданок виражає залежність прирісту великих риб від числа малих, – зменьшення числа малих риб від великих. 1.3. Закони Кеплера руху планет. Згідно закону всесвітнього тяжіння два тіла, які знаходятся на віддалі друг від друга і які мають маси і притягаються з силою (1.8) де - константа тяжіння. Опишемо рух планети з масою навколо Сонця маси . Вплив других планет на них не будемо враховувати. (Мал 1.1). Сонце знаходиться в початку координат, а планета має положення в момент часу . Використавши другий закон Ньютона маємо: (1.9) Враховуючи, що Позначимо , прийдемо до системи (1.10) Без обмеження загальності візьмемо початкові умови: при (1.11) Перейдемо до полярних координат: Позначивши отримані вирази в (1.10) будемо мати Помножимо перше рівняння на ,друге на і складемо: (1.12) Домножимо перше рівняння на ,друге на і складемо: (1.13) Перепишемо в нових змінних умови (1.11): Рівняння (1.13) перепишемо у вигляді (1.14) (1.15) Звідки маємо (1.6) Константа має цікаву гнометричну інтерпретацію. З курсу математичного аналізу відомо, що площа сектора обчислюється за формулою Звідки (1.17) ,або Останній вираз означає секторну швидкість. З (1.16) випливає, що вона являється постійною. Це означає, що радіус-вектор “замітає” за рівні проміжки часу рівні площі. 1-ій закон Кеплера : кожна із планет рухається по плоскій кривій відносно Сонця так, що радіус-вектор, який зв’язує Сонце і кожну з планет, “замітає” рівні площі за рівні проміжки часу. Задачу Кощі (1.12)-(1.14) можна розв’язати. Розв’зок має еліпсоідальну форму, на основі цього робиться наступний висновок: 2-ій закон Кеплера : траєкторії планет рухаються по еліпсам, в одному з фокусів яких знаходиться Сонце. З аналізу траєкторій випливає таке твердження: 3-ій закон Кеплера : квадрати періодів обертання планет пропорційні кубам великих осей їх орбіт. 1.4. Диференціальні рівняння закону пропиту і пропозиції в економічних дослідженнях. Пропит і пропозиція – економічній категорії товарного виробництва. Пропит – представлена на ринку потреба в товарах, пропозиція – продукт, який є на ринку чи може бути доставлений на нього. Нехай – ціна, наприклад, на фрукти, – тенденція формування ціни. Тоді, як попит так і пропозиція будуть функціями введених величин. Як показує практика, ці функції можуть бути різними. Часто попит і пропозиція задаються лінійними (1.17) залежностями. Наприклад: Для того, щоб попит відповідав пропозиції необхідно: Звідки (1.8) Припустимо, що в момент 1кг фруктів коштував 1крб. Тоді , , отже (1.19) Це закон зміни цін, щоб між попитом і пропозицією була рівновага. 1.5 Найпростіші рівняння руху частинок в електромагнитних поясах. Швидкість зміни імпульсу частинки дорівнює силі Лоренса, яка діє на неї (1.20) де – зарядове число, – заряд частинки, – вектор напруженності прискорюючого поля, – вектор магнітної індукції, – вектор швидкості частинки. де – маса спокою, -приведена енергія частинки. - векторний добуток двох змінних. З (1.20) маємо: (1.21) Рівняння (1.21) не враховує власного поля пучка(кулонівських сил). Систему (1.21) перепишемо в скалярній формі: (1.22) Визначимо тобто так як , то визначимо: Тому (1.23) Підставляючи (1.23) в (1.22) отримаємо рівняння руху. Але в ці складні рівняння ще входять компоненти електромагнітного поля, які визначаються рівняннями максвела: (1.24) Тут – електрична і магнітна сталі, – об’ємна густина заряду, – вектор густини струму, - знак транспонування. А (1.24) – це рівняння в частинних похідних з складними граничними умовами. Задача заключається не тільки в моделюванні рівнянь руху, а й в розрахунках оптимальних систем. 1.6. Використання диференціальних рівнянь в біології і математичних обчисленнях. Біологія .Необхідно знайти залежність площі молодого листка, що має форму круга, від часу . Відомо, що швидкість зміни площі в момент пропорцієн площі листка, довжини його ободу та косинусу кута між падаючим на листок сонячним променем і верікаллю листка. Маємо модель: де (1.25) – const, , – коефіцієнт пропорційності; розв’язуючи рівняння (1.25) ми отримаємо таку залежність: (1.26) Математика . Обчислити невласний інтеграл (1.27) залежний від параметра . Знайдемо похідну: Отримали диференціальне рівняння (1.28) При цьому відомо: (1.29) Розв’язуючи задачу Коші (1.28),(1.29), отримаємо: (1.30) 1.7. Побудова диференціальнихрівнянь з заданими параметричними сімействами кривих. Припустимо, шо задано однопараметричне сімейство кривих: (1.31) Задача полягає в тому, щоб знайти диференціальне рівняння, розв’язками якого являються криві (1.31). Вважаючи, що функція (1.31) має повну похідну за x запишемо: (1.32) Тоді з (1.31) та (1.32) як з системи рівнянь, вилучаємо сталу і отримаємо шукане диференціальне рівняння першого порядку. Якщо ж задано - параметричне сімейство кривих: (1.33) то до (1.33) додаються дані співвідношення: (1.34) з(1.33) та (1.34), як з системи рівнянь, кількість яких , вилучаються сталі і отримане таким чином співвідношення між (1.35) і буде шуканим диференціальним рівняння -го порядку. В (1.32) та (1.34) означають частинні похідні відповідних порядків за вказаними змінними. При цьому припускаємо, що похідні існують, тобто функції (1.32) та (1.34) являються диференційовними відповідну кількість разів. Аналогічно поступають і при складанні систем рівнянь. Приклад 1.1. Знайти диференціальне рівняння першого порядку, розв’язками якого буде однопараметричне сімейство (1.36) Розв ’ язання . Продиференйіюємо за праву частину нашого співвідношення в припущенні, що . (1.37) Враховуючи (1.36) рівність (1.37) перепишемо таким чином: (1.38) З (1.38) знаходимо
і підставивши в (1.36) отримаємо шукане диференціальне рівняння (1.39) Приклад 1.2. Знайти диференціальне рівняння другого порядку, розв’язками якого буде двопараметричне сімейство (1.40) Розв ’ язання . Згідно описаного вище складаємо систему рівнянь: (1.41) З якої вилучивши і знаходимо шукане диференціальне рівняння: (1.42). |