Реферат: Решение системы линейных уравнений методом Крамера и с помощью расширенной матрицы

Название: Решение системы линейных уравнений методом Крамера и с помощью расширенной матрицы
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат

1 ˝ ºŁ Ø ß Ł

— ææ	Ł	æ	ı	Ł	ŁØ	Ø x = x _∗ ,	º
Œ	ßı æ	ºŁ	æ
				f (x ) = 0.			(1)

´ ŁŁŁ f (x ) - Œ ºŁ Ø Œ Ł x .

¯æºŁ ŒŁ Ł æ ø æ , Ł ß æ Œ Ł -

Ł (1). ˚ ß æ æ ß , æºŁ f ⁰ (x _∗ ) 6= 0 Ł Œ ß , æºŁ f ^(k
) (x _∗ ) = 0 º k = 1,...,n − 1, f ^(n
) (x _∗ ) 6= 0. º n ß æ Œ æ Œ .

1.1 ˛ º Ł Œ Ø

ˇ º Ł Œ Ø Ł (1) Ł º Ł æ -

Œ ª Ł º (a,b ), Œ º Ł Œ Ł . ˛æ Ø º Ł Œ Ø æº Ł

^{^[1]} . ˇ æ Œ Ł º Ł ß Œ -

Œ [a,b ], Œ ı Œ ª Ł Ł Ł ßı Œ .

ª a Ł b Ø æ ı Æß Œ c , Œ Ø Œ Ł Æ ø æ º :

f (c ) = 0, a < c < b.

¯æºŁ Œ Ł f (x ) Ł º , Ł ª º Ł

º Œ Ł Œ Ł f (x ) = 0 .

ºª Ł º Ł ºŁ æº øŁ Æ

YesDo:=True; While YesDo do

Input a,b, M ; h = (b − a )/M ; f_min := 1. 0e 20; x_i := a ; f_i := f (a ); for i:=1 to M do begin {i }

x i −1 := x i ; f i −1 := f i ; x_i := a + h ∗ i ; f_i := f (x_i ); If f_i < f_min Then begin {min }

f min := f i ; x min := x i ; end; {min } If f_i ₋₁ ∗ f_i ≤ 0 Then

Output x i −1,f i −1, x i ,f i ; end; {i }

Output f min ,x min ; Input YesDo; end; {While }

1.2 ÆŁæ Œ ŁØ ÆŁæ Œ ŁØ( º Ł º ) æ æº ø Ł -

Ł ææ : Ł º a,b , Œ (f_a = f (a )) · (f_b = f (b )) < 0,

ºŁ æ º - x_s = (a +b )/ 2 Ł ß Łæº æ f_s = f (x_s ). ¯æºŁ f_s ·f (a ) ≥ 0, a := x_s , f_a := f_s , Ł b := x_s , f_b := f_s ; ˜ º ß º æ æº øŁØ ł ª, Ł . .

˝ i- ł ª ŁÆºŁ ß Ł Œ æº Ł º æ (a +b )/ 2,

Œ Ø ª ł æ Ł - º æ (b − a )/ 2.

ÆŁæ Œ ŁØ Łæ æº øŁ ºª Ł ^{^[2]}

1: Input a,b, δ,N ;

2: i := 0;

3: fa := f (a ); fb := f (b );

4: Repeat

5: xs := (a + b )/ 2; fs := f (xs );;

6: If fs ∗ fa ≥ 0

7: Then begin fa := fs ; a := xs end;

8: Else begin fb := fs ; b := xs end;

9: i := i + 1;

10: xⁱ := (a + b )/ 2;

11: dx := (b − a )/ 2;

12: Until ((|dx | ≤ δ |xⁱ |) OR (i ≥ N ));

13: Output i,xⁱ ,dx ;

1.3 ı

´ ı æ º Ł Œ (a,b ) º Łæ º æ ºŁØ Ł º Ł ª Ł ßı ŁØ Œ ŁŁ f (x )

f ˆ(t ) = f (a )(1 − t ) + f (b )t, 0 ≤ t = (x − a )/ (b − a ) ≤ 1.

º ø Œ º Œ ı Ł æ Ł Ł f ^ˆ (t ) = 0:

t _∗ = f (a )/ (f (a ) − f (b )), x_s = a + t _∗ (b − a );

˜ º Łæı Ł æ Łª ª Ł Ł º Œ , Œ Œ ÆŁæ Œ ŁØ. ı Łæ æº øŁ ºª Ł

1: Input a,b, δ,N ;

2: fa := f (a ); fb := f (b );

3: i := 0;

4: fa := f (a ); fb := f (b );

5: Repeat

6: y := x 2 − x 1;

7: t := fa/ (fa − fb ); xs := a + y ∗ t

8: fs := f (xs );;

9: If fs ∗ fa ≥ 0

10: Then begin fa := fs ; a := xs end;

11: Else begin fb := fs ; b := xs end;

12: i := i + 1;

13: xⁱ := (a + b )/ 2;

14: dx := (b − a )/ 2;

15: Until ((|dx | ≤ δ |xⁱ |) OR (i ≥ N ));

16: Output i,xⁱ ,dx ;

ÆŁæ Œ ŁØ Ł

Łæ

æº

1.4 æ º Ł

¨ ª æ æ Ł ı ºŁ Ø ª Ł (1) Œ

ÆßŒ Ł Ł º Ł

dx/dt = f (x ), x (0) = x ⁰ . (2)

Ł º Æº æ Ø Ł ß º ß æ Ł ß æ æ Ł , Æß Ł t → ∞ x (t ) → x _∗ . ª ŁÆºŁ ł Ł

ŁŁ (2) æ ø æ Ø Ł ª Łæº ª ( º -

æ	Æ º łŁı t ) ı ł ŁÆºŁ Ł Œ ł Ł		(1).
ˇ	æ ØłŁ ºª Ł Æ Øº , º		øŁØæ	Ł
	æ	Ø Ł ŁŁ
		xⁱ ⁺¹ = xⁱ + τf (xⁱ ).		(3)
	æ	º Ł Łæ æº øŁ ºª	Ł
1:	Input	x ⁰ , τ , δ, N ;
2:		i := 0;
3:		Repeat
4:		dx = τ ∗ f (xⁱ );
5:		i := i + 1;
6:		xⁱ := xⁱ + dx ;
7:		Until ((\|dx \| ≤ δ \|xⁱ \|) OR (i ≥ N ));
8:	Output	i,xⁱ ,dx ;
˜º	ª ł	æ Ł ²^k = x_k − x _∗ Ł (3) º æ æº ²^k ⁺¹ = ²^k + τ (f (x^k ) − f (x _∗ )).	ø	Ł
ˇ	æ Ł	f (x^k ) − f (x _∗ ) = f ⁰ (x ˜)²^k , º Ł æ ł ²^k ⁺¹ = (1 + τf ⁰ (x ˜))²^k ,	Ł
Ł Œ ª æº , º æı Ł æ Ł æ			º Ł º ß

ß º æ æº øŁ æº Ł : æº º æ {x_k ,k = 0, 1,... }º ı Ł æ Æº æ Ł |x_k −x _∗ | < R , Œ Ø Ł ª Ł-

Ł æ ı æ Ø Œ. ª ßÆ τ , º ø ª

æº Ł ,

sign (τ ) = −sign (f ⁰ ), |τ | < 2/ max|f ⁰ |,

Æ æ Ł æı Ł æ æ º Ł .

1.5 ˝

˝ º Ł (1) Łæß æ Ł

xⁱ ⁺¹ = xⁱ − [df/dx ]⁻¹ f (xⁱ ). (4)

˛ º Ł :

ª , Œ Ł g (x ) ∈ Lip_c (X ) , æºŁ |g (x ) − g (y )| ≤ c |x − y | º æ ı (x,y ) ∈ X .

( æı Ł æ Ł ˝ ). ˇ æ f : D → R ª D - Œ ß ßØ Ł º , R - ø æ æ ,

Ł æ f ⁰ ∈ Lip_c (D ). ˇ º Ł , º Œ ª ρ > 0 |f ⁰ | ≥ ρ Ł æ ı x ∈ D . ¯æºŁ Ł f (x ) = 0 Ł ł Ł , æ ø æ

Œ η > 0, Œ , æºŁ |x ⁰ − x _∗ | < η , æº º æ , º Ø

x^k ⁺¹ = x^k − f (x^k )/f ⁰ (x^k ), k = 0, 1, 2,...,

æ ø æ Ł æı Ł æ Œ x _∗ . ` º ª , º k = 0, 1, 2,...

˙ Ł 1. ˚ Œ æº Ł ß, Ł f ⁰ (x _∗ ) = 06 æı Ł æ Œ Ł . ¯æºŁ f ⁰ (x _∗ ) = 0 , º Œ ºŁ Ø .

˙ Ł 2. ˜º æı Ł æ Ł ˝ º ŁÆºŁ Ł x ⁰ º Æß æ ÆºŁ Œ Œ Œ . ¯æºŁ ææ Ł |x ⁰ −x _∗ |

ºŁŒ , ˝ Æø æı Ł æ . ˝ ºŁ æº øŁ ºª Ł

1: Input x ⁰ , δ, N ;

2: i := 0; 3: Repeat

4: df := [df/dx ](xⁱ );

5: dx = f (xⁱ )/df ;

6: i := i + 1;

7: xⁱ := xⁱ − dx ;

8: Until ((|dx | ≤ δ |xⁱ |) OR (i ≥ N )); 9: Output

—Łæ. 1: — ÆŁ	Ł º æŒ æ Ł Ł	e^x − a − bx ³ = 0
1.6 æ	Ł
1. ´ Œ æ 1-ª	æ ª Łæ º æ Ł
	f (x ) = exp(x ) − a − bx ³ = 0.	(5)
´ ŁæŁ æ Ł	ŁØ a,b	Ł Ł
m = 0, 1, 2, 4 Œ	. ˜º Łææº Ł Œ 1-Ø	Ł Ø Œ ŁŁ
f (x ) º ı	Ł Œ Ł Ł

g (x ) = f ⁰ (x ) = exp(x ) − 3bx ² = 0. (6)

˝ Łæ Œ 1 Œ ÆŁ Ł º æŒ æ Ł a,b Æº æ Ł æ ºŁ ß Łæº Œ Ø Ł (5).

2. ´ Œ æ 2-ª æ ª Łæ º æ Ł

f (x ) = exp(−1/ (x − 1)² ) = 0. (7)

Ł Ł Ł æ ßØ Œ x _∗ = 1 Æ æŒ Ø Œ æ Ł( f ^(k
) (1) = 0, k = 0, 1,... ). ˇ Ł f ⁰ (x ) < 0 º x < 1 Ł f ⁰ (x ) > 0 º x > 1 .

1.7 ˚ ß Œæ Ł ß

1. ˜º Œ ŁŁ Ł (5) æ Ł a = 1. 15,b = 1. 25 Ø Ł

ª Ł ß Œ Ø. ˜º Œ ŁŁ Ł (6) æ b = 1. 25 ØŁ ª Ł ß Œ Ø Ł ŒŁ æ Ø ø æ Ø æŁ.

˚ º Ł Ł :

Œ Ł f (x ): Œ Ł( ŁÆºŁ )

x ₁ = −0. 83, x ₂ = 0. 14, x ₃ = 1. 20, x ₄ = 5. 14

Œ Ł g (x ) = f ⁰ (x ): ŒŁ Ł Œ Ł

(−... −) − 0. 41 (+... +) 0. 75 (−... −) 4. 18 (+... +)

2. ˛ Łæ ß Ł ßł Ł(ÆŁæ Œ ŁØ, ı , æ º Ł , ˝ -

) º ŁØ δ = 1. 0e − 2, 1. 0e − 3, 1. 0e − 4, 1. 0e − 5 Ø Ł Œ Ł Œ ŁŁ (5)æ Ł Ł a = 1. 15,b = 1. 25. ˜º Łı Œ Ø æ æ Ł ÆºŁ ß ŁæŁ æ Ł Łæº Ł ŁØ δ .

3. æ º Ł ß æ Ø Ł Œ Œ ŁŁ (5), Æ Ł τ , º Œ ßı æı Ł æ Ł. ˚ ŒŁ Æ º æ æı Ł æ Ł Ł ª ææ ?

4. ˝ :

æº Œ Œ æ Ł 2 ˝ æı Ł æ ºŁ Ø , . .æ ø æ

º , æº æ ª Œ . ˇ Ł , Æ ºŁ Ł ŁŁ ßØ ˝

xⁱ ⁺¹ = xⁱ − 2[df/dx ]⁻¹ f (xⁱ )

Ł º Œ Œ æ Ł 2 æŒ æ æı Ł æ Ł, Ł æ ßØ º æ ª Œ . ˜º ŒŁ Łæ º Ł

h (x ) = sin((x − 1)² ) = 0.

˜º Ł δ = 1. 0e − 7 Ø Ł Œ ª Ł æ ß Ł Ł Ł Ł ß ˝ . Ł Łæº Ł ŁØ.

[1] 1ˇ ` º -˚ łŁ

[2] 2´ Ł Ł ßı Ł ºª Ł ı Łæ º æ º Œ æ Ł Ł ŁØ. ˝ -

Łı Ł Ł Ł , Łæ º æ Œ ß Ł Øº it_gen.pdf