Лекция 10
Комплексные числа и действия над ними
Рассмотрим уравнение
 .
Среди действительных чисел решений данного уравнения нет. По этой причине, в частности, квадратные уравнения имеют решения только тогда, когда дискриминант такого уравнения неотрицателен. Расширим множество действительных чисел, формально добавив к ним число  (мнимую единицу), которая по определению удовлетворяет уравнению . Поскольку мы желаем, чтобы элементы этого расширенного множества можно было бы умножать и складывать, то вместе с мнимой единицей мы автоматически присоединяем к вещественной прямой все возможные комбинации вида
 ,  ,  .
Совокупность всех чисел называется множеством комплексных чисел. При этом число  называется вещественной частью комплексного числа  и обозначается как
 ,
а число  называется мнимой частью комплексного числа и обозначается как
 .
Удобно изображать комплексные числа 
в виде точек двумерной плоскости с декартовыми координатами  . В этом случае соответствующая двумерная плоскость называется комплексной.
 
Операции умножения и деления комплексных чисел.
При умножении комплексных чисел используется обычное соглашение о раскрытии скобок (дистрибутивность умножения):
Пример.
 .
При делении следует использовать операцию умножения на сопряженное выражение.
Пример.
Комплексному числу можно приписать понятие модуля
и аргумента, используя полярные координаты на комплексной плоскости.
Модуль числа равен  .
Аргументом числа называется полярный угол  ,  (аргумент является многозначной функцией).
Тригонометрическая форма записи комплексного числа:
 , где  .
Теперь умножение комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, выполняется по формуле
(то есть при умножении комплексных чисел модули перемножаются, а аргументы складываются).
Следствием формулы умножения является следующая формула.
Формула возведения в степень (формула Муавра)
 .
Пример.
 ,  ,  ,
Формула извлечения корня  -й степени
 ,  .
Пример. Вычислить  .
Запишем  в тригонометрической форме:
 .
Тогда получаем
при 
при 
при 
Таким образом, всего имеется три комплексных кубических корня из числа : , ,  .
Формула Эйлера
 .
Пример использования.
Вычислить  .
Воспользуемся формулой Эйлера для выражения функции  через показательную функцию. Имеем:
откуда
 Û .
Следовательно,
 ,
откуда
 .
Первообразная является вещественной функцией, записанной в комплексной форме Чтобы получить вещественную запись этой функции, вновь воспользуемся формулой Эйлера.
 ,
Отсюда следует
Ответ:  .
Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.
Рассмотрим уравнение
где и константы, а функция  в правой части уравнения имеет один из следующих трех видов
 ,  ,  ,
 - произвольный многочлен степени . Решение такого уравнения может быть получено следующим образом. Квадратное уравнение
назовем характеристическим уравнением
для нашего уравнения. Пусть  ,  – корни этого квадратного уравнения. Общее решение однородного уравнения
имеет вид
 ,
если , - два различных вещественных числа; имеет вид
 ,
если  и, наконец, решение имеет вид
 ,
если  ,  - комплексно-сопряженные корни характеристического уравнения.
Общее решение неоднородного уравнения может быть получено как сумма общего решения однородного уравнения  и произвольного частного решения неоднородного уравнения  . Это частное решение можно найти методом неопределенных коэффициентов по следующему правилу.
Сопоставим функции в правой части исходного уравнения число  . Если  не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в том же виде, в каком записана правая часть, то есть
если  , и в виде
если  или  . Здесь  ,  многочлены степени , коэффициенты которых можно определить, подставив в исходное уравнение и приравняв коэффициенты при одинаковых функциях. Если является корнем характеристического уравнения (эта ситуация называется резонансом), то степень многочленов , увеличивается на 1.
Пример.
Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения.
Решение.
Сначала найдем общее решение однородного уравнения. Выпишем характеристическое уравнение
 Û
Следовательно, общее решение линейного однородного уравнения имеет вид
 .
Поскольку корни характеристического уравнения не совпадают с соответствующим показателем правой части  , частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде
 .
Получаем:
 ,
 Подставляя  ,  ,  в исходное уравнение, получаем:
Сокращая на  и приводя подобные, получим
 ,
 ,
откуда
 Û
Общее решение неоднородного уравнения имеет, следовательно, вид
 .
Теперь найдем решение задачи Коши. Имеем:
 ,
Поскольку  , второе уравнение имеет вид  . Решаем систему линейных уравнений на неизвестные  и  :
Умножая первое уравнение системы на 2 и вычитая из него второе уравнение, получим:
 Û .
Далее,
 .
Ответ:
 .
Пример
.
Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения.
Решение.
Характеристическое уравнение имеет вид:
 ,
откуда
 ,
где  - мнимая единица. Следовательно,  ,  , и общее решение однородного уравнения есть
 .
Правая часть исходного неоднородного уравнения имеет то же собственное число, что и характеристическое уравнение, следовательно, мы имеем дело с резонансом. Поэтому частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде
 .
Подставляя в исходное уравнение, с учетом того, что
 ,
получим:
откуда
и, следовательно,
 ,  .
Таким образом, частным решением неоднородного уравнения является функция
 .
Общее решение неоднородного уравнения может быть записано в виде
 .
Найдем константы и , при которых выполнены краевые условия
 , .
Так как
 ,
получаем систему линейных уравнений на и :
откуда  .
|