Контрольная работа: Многомерные и многосвязные системы
Название: Многомерные и многосвязные системы Раздел: Рефераты по математике Тип: контрольная работа | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Контрольная работа«Многомерные и многосвязные системы»ЗаданиеДля многомерной системы, заданной матрицами А, В, С, получить:1. Передаточную функцию ; 2. Частотную передаточную функцию ; 3. Годограф; 4. Импульсную характеристику ; 5. Переходную характеристику ; 6. ЛАЧХ ; 7. ФЧХ . Составить структурную схему системы. Дано:; ; . Решение:1. Передаточная функцияРассматриваем линейную систему с постоянными параметрами: , . Преобразуем по Лапласу матричные уравнения: ; (1) , (2) где ; ; – лапласовы преобразования координат состояния , выходных и входных сигналов. Преобразуем уравнение (1): Выносим за скобки: где – единичная матрица. Умножаем слева на обратную матрицу: Откуда получаем: . Подставляем в уравнение (2): Получаем: Выражение называют передаточной функцией системы. Находим её: Находим обратную матрицу: Подставляем: . 2. Частотная передаточная функцияДля получения частотной передаточной функции производим замену в передаточной функции : , получаем: . Выделим действительную и мнимую части: , для этого умножим числитель и знаменатель на комплексно – сопряжённый знаменатель: ; ; ; . 3. ГодографГодограф – это график частотной передаточной функции на комплексной плоскости при изменении частоты от нуля до бесконечности. Изменяя частоту, производим расчёт действительной и мнимой частей частотной передаточной функции. Результат расчёта записываем в таблицу 1. Таблица 1. Расчёт годографа
Можно построить график на комплексной плоскости – рис. 1.
4. Импульсная характеристикаИмпульсная характеристика вычисляется как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции: . Найдём полюса передаточной функции: Видим – полюса расположены в правой полуплоскости, а это значит, что процесс будет расходящимся. Разложим передаточную функцию на простые дроби: . Используя табличные значения, находим: , . Таким образом, получаем: . Изменяя время от нуля до 5 секунд, производим расчёт по формуле, результаты заносим в таблицу 2. Таблица 2. Импульсная характеристика
Строим график импульсной характеристики – рис. 2. Рис. 2. Импульсная характеристика 5. Переходная характеристика Переходная характеристика вычисляется как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции, делённой на р: . Найдём полюса передаточной функции: ; . Видим – полюса расположены в правой полуплоскости, а это значит, что процесс будет расходящимся. Разложим передаточную функцию, делённую на р, на простые дроби: . Приводим к общему знаменателю: . Приравниваем коэффициенты при равных степенях р: , , . Откуда находим: , , . Используя табличные значения, находим: , , . Таким образом, получаем: . Изменяя время от нуля до 5 секунд, производим расчёт по формуле, результаты заносим в таблицу 3. Таблица 3. Переходная характеристика
Строим график переходной характеристики – рис. 3. Рис. 3. Переходная характеристика 6. ЛАЧХДля получения ЛАЧХ найдём модуль частотной передаточной функции: . далее находим 20 десятичных логарифмов от найденного модуля: . Это и есть выражение для ЛАЧХ. Расчёт значений ЛАЧХ ведём в логарифмическом масштабе. Результаты записываем в таблицу 4. Размерность ЛАЧХ – децибелы (дБ). Таблица 4. ЛАЧХ
Строим график ЛАЧХ – рис. 4.
7. ФЧХФЧХ – угол поворота вектора на комплексной плоскости в зависимости от частоты: . Расчёт значений ФЧХ ведём в логарифмическом масштабе. Результаты записываем в таблицу 5. Размерность ФЧХ – радианы (рад). Таблица 5. ФЧХ
Строим график ФЧХ – рис. 5. Рис. 5. ФЧХ 8. Структурная схема системыЗаписываем матричные уравнения системы: ; . Подставляем исходные данные: ; . Производим умножение матриц: , , . Получили систему уравнений, на основе которой строим структурную схему – рис. 6. Рис. 6. Структурная схема системы Часть 2:Осуществить синтез замкнутой системы с собственными числами {–1; –4; ± 5 j }. Построить наблюдатель полного порядка. Дано:, , . Решение:1. Синтез замкнутой системыРассматриваем линейную систему с постоянными параметрами: , . Пусть управление линейно зависит от координат состояния системы: , где – входной командный сигнал, К – матрица коэффициентов обратной связи. После замыкания эта система имеет структуру, изображённую на рис. 7. Рис. 7. Структура исходной системы Движение системы описывается линейным дифференциальным уравнением: . Таким образом, динамические свойства системы полностью определяются матрицей А – ВК, её характеристическими числами. Характеристический многочлен исходной системы равен: . Спектр характеристических чисел (корни характеристического многочлена): . Желаемый характеристический многочлен замкнутой системы по условию имеет 4 собственных числа, но наша исходная система имеет третий порядок, поэтому одно из собственных чисел необходимо убрать, убираем собственное число (–1), тогда: . Пусть матрица коэффициентов обратной связи , тогда характеристический полином замкнутой системы: . Приравниваем коэффициенты при равных степенях многочленов и : , , , . Решая полученную систему уравнений, получаем: , , . Искомое управление принимает вид: . Структура синтезированной системы представлена на рис. 8. Она построена по уравнениям: , , , , . Рис. 8. Структура синтезированной системы 2. Построение наблюдателя полного порядкаСистема называется асимптотическим наблюдателем полного порядка, если для любого начального состояния х(0) и всех оценка с ростом времени асимптотически приближается к вектору состояния . Найдём структуру асимптотического наблюдателя, для чего определим ошибку восстановления и найдём модель её изменения: . Затем потребуем, чтобы при всех и . Это равенство возможно при: , . Таким образом, структура асимптотического наблюдателя полного порядка определяется моделью вида: . На рис. 9 изображена структура системы и её наблюдателя. Рис. 9. Структура системы с наблюдателем Задача синтеза наблюдателя системы состоит в том, чтобы найти матрицу . Это можно сделать, исходя из условия асимптотической сходимости оценки к вектору состояния при любых начальных состояниях наблюдателя и системы. Пусть ошибка восстановления , тогда . Ошибка восстановления описывается линейным однородным дифференциальным уравнением с матрицей и ненулевыми начальными условиями, а поэтому асимптотическая сходимость ошибки к нулю возможна тогда и только тогда, когда собственные числа матрицы , которые называют полюсами наблюдателя, располагаются в левой полуплоскости. Пусть матрица , тогда матрица . Полюса наблюдателя определяются уравнением: . Переходные процессы в наблюдателе будут несравнимы с процессами в системе, если полюса наблюдателя будут значительно левее полюсов системы. Поскольку характеристические числа замкнутой системы равны: {– 4; ± 5 j }, то расположим полюса наблюдателя в точках: . Желаемый характеристический полином наблюдателя принимает вид: , что будет иметь место тогда, когда: , , . Решая полученную систему уравнений, получаем: ; ; . Находим матрицу: Модель асимптотического наблюдателя системы принимает вид: , , , . Структура системы со своим асимптотическим наблюдателем полного порядка представлена на рис. 10. Она построена по уравнениям: , , , , , , . |